Мультипликативный цифровой корень

В теории чисел мультипликативный цифровой корень натурального числа. $n$ в заданной системе счисления $b$ находится умножения цифр числа путем $n$ вместе, а затем повторяя эту операцию до тех пор, пока не останется только одна цифра, которая называется мультипликативным цифровым корнем $n$ . ^[1]^[2] Мультипликативный цифровой корень для первых нескольких положительных целых чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 2, 8, 4, 0. (последовательность A031347 в OEIS )

Мультипликативные цифровые корни являются мультипликативным эквивалентом цифровых корней .

Определение [ править ]

Позволять $n$ быть натуральным числом. Определим цифровое произведение для базы $b>1$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ быть следующим:

F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}

где $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ это количество цифр в числе по основанию $b$ , и

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

— значение каждой цифры числа. Натуральное число $n$ является мультипликативным цифровым корнем, если он является фиксированной точкой для $F_{b}$ , что происходит, если $F_{b}(n)=n$ .

Например, в базе $b=10$ , 0 — мультипликативный цифровой корень числа 9876, так как

F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024

F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0

F_{10}(0)=0

Все натуральные числа $n$ являются предпериодическими точками для $F_{b}$ , независимо от базы. Это потому, что если $n\geq b$ , затем

n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}

и поэтому

F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n

Если $n<b$ , то тривиально

F_{b}(n)=n

Следовательно, единственными возможными мультипликативными цифровыми корнями являются натуральные числа. $0\leq n<b$ , и нет никаких циклов, кроме фиксированных точек $0\leq n<b$ .

Мультипликативная персистентность [ править ]

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{b}^{i}(n)$ достижение фиксированной точки — мультипликативная устойчивость это $n$ . Мультипликативная устойчивость не определена, если она никогда не достигает фиксированной точки.

в системе счисления 10 не существует числа с мультипликативным постоянством. Предполагается, что $i>11$ : известно, что это верно для чисел $n\leq 10^{20585}$ . ^[3]^[4] Наименьшие числа с постоянством 0, 1,...:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (последовательность A003001 в OEIS )

Поиск этих чисел можно ускорить, если использовать дополнительные свойства десятичных цифр этих рекордных чисел. Эти цифры необходимо отсортировать, и, за исключением первых двух цифр, все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. С учетом этих ограничений число кандидатов на $k$ Двухзначные числа с рекордной стойкостью пропорциональны только квадрату числа. $k$ , малая часть всех возможных $k$ -значные числа. Однако любое число, отсутствующее в приведенной выше последовательности, будет иметь мультипликативную устойчивость > 11; Считается, что таких чисел не существует, и, если они действительно существуют, они должны содержать более 20 000 цифр. ^[3]

Расширение для отрицательных целых чисел [ править ]

Мультипликативный цифровой корень можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Пример программирования [ править ]

В приведенном ниже примере реализуется цифровое произведение, описанное в определении выше, для поиска мультипликативных цифровых корней и мультипликативных персистентностей в Python .

def digit_product(x: int, b: int) -> int:
    if x == 0:
        return 0
    total = 1
    while x > 1:
        if x % b == 0:
            return 0
        if x % b > 1:
            total = total * (x % b)
        x = x // b
    return total


def multiplicative_digital_root(x: int, b :int) -> int:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = digit_product(x, b)
    return x


def multiplicative_persistence(x: int, b: int) -> int:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = digit_product(x, b)
    return len(seen) - 1

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативный цифровой корень» . Математический мир .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A031347» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003001» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативная персистентность» . Математический мир .

Литература [ править ]

Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

Что особенного в номере 277777788888899? - Numberphile на YouTube (21 марта 2019 г.)

[mathworld1-1] Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативный цифровой корень» . Математический мир .

[OEIS_31347-2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A031347» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[OEIS_3001-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003001» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[mathworld2-4] Вайсштейн, Эрик В. «Мультипликативная персистентность» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]