Самоописательный номер

В математике самоописательное число — это целое число m , длина которого в данной базе b имеет длину b цифр , в котором каждая цифра d в позиции n (самая значащая цифра находится в позиции 0, а наименее значащая в позиции b -1) имеет значение. сколько экземпляров цифры n содержится в m .

Пример [ править ]

Например, число 6210001000 в системе счисления 10 является самоописательным по следующим причинам:

В базе 10 число имеет 10 цифр, обозначающих его основание;
Он содержит цифру 6 в позиции 0, что указывает на то, что в числе 6210001000 шесть нулей;
Он содержит 2 в позиции 1, что указывает на то, что в числе 6210001000 есть две единицы;
Он содержит 1 в позиции 2, что указывает на то, что в 6210001000 есть одна 2;
Он содержит 0 в позиции 3, что указывает на то, что в 6210001000 нет 3;
Он содержит 0 в позиции 4, что указывает на то, что в 6210001000 нет 4;
Он содержит 0 в позиции 5, что указывает на то, что в 6210001000 нет 5;
Он содержит 1 в позиции 6, что указывает на то, что в числе 6210001000 есть одна цифра 6;
Он содержит 0 в позиции 7, что указывает на то, что в 6210001000 нет 7;
Он содержит 0 в позиции 8, что указывает на то, что в 6210001000 нет 8;
Он содержит 0 в позиции 9, что указывает на то, что в числе 6210001000 нет 9.

В разных базах [ править ]

В основаниях 2, 3 или 6 нет самоописательных чисел. В основаниях 7 и выше имеется ровно одно самоописательное число: $(b-4)b^{b-1}+2b^{b-2}+b^{b-3}+b^{3}$ , который имеет b −4 экземпляров цифры 0, два экземпляра цифры 1, один экземпляр цифры 2, один экземпляр цифры b – 4 и ни одного экземпляра каких-либо других цифр. В следующей таблице перечислены некоторые самоописательные числа в нескольких выбранных базах:

База	Самоописательные числа (последовательность A138480 в OEIS )	Значения в десятичной системе счисления (последовательность A108551 в OEIS )
4	1210, 2020	100 , 136
5	21200	1425
7	3211000	389305
8	42101000	8946176
9	521001000	225331713
10	6210001000	6210001000
11	72100001000	186492227801
12	821000001000	6073061476032
...	...	...
16	C210000000001000	13983676842985394176
...	...	...
36	W21000...0001000 ( Многоточие пропускает 23 нуля)	Прибл. 9,4733 × 10 ⁵⁵
...	...	...

Свойства [ править ]

Из чисел, перечисленных в таблице, может показаться, что все самоописательные числа имеют суммы цифр, равные их основанию, и что они кратны этому основанию. Первый факт тривиально следует из того, что сумма цифр равна общему числу цифр, равному основанию, из определения самоописательного числа.

То, что самоописательное число в базе b должно быть кратно этой базе (или, что то же самое, что последняя цифра самоописательного числа должно быть 0), можно доказать от противного следующим образом: предположим, что на самом деле существует самоописательное число. -описательное число m в базе b длиной b цифр, но не кратное b . Цифра в позиции b существует хотя бы один экземпляр цифры b – 1 – 1 должна быть не меньше 1, что означает, что в m . В какой бы позиции x ни находилась цифра b должно быть не менее b – 1 экземпляров цифры x – 1, в m . Следовательно, у нас есть хотя бы один экземпляр цифры 1 и b – 1 экземпляров x . Если x > 1, то m содержит более b цифр, что приводит к противоречию с нашим исходным утверждением. А если x = 0 или 1, это тоже приводит к противоречию.

Отсюда следует, что самоописательное число по основанию b является числом Харшада по основанию b .

Автобиографические номера [ править ]

Обобщение самоописательных чисел, называемое автобиографическими числами , допускает меньшее количество цифр, чем базовое, при условии, что цифр, включенных в число, достаточно, чтобы полностью его описать. например, в базе 10 число 3211000 имеет 3 нуля, 2 единицы, 1 двойку и 1 тройку. Обратите внимание, что это зависит от того, разрешено ли включать столько конечных нулей, сколько необходимо, без добавления какой-либо дополнительной информации о других присутствующих цифрах.

Поскольку ведущие нули не записываются, каждый автобиографический номер содержит хотя бы один ноль, так что его первая цифра не равна нулю.

Если рассматривать гипотетический случай, когда цифры обрабатываются в обратном порядке: единицы — это количество нулей, десятки — количество единиц и т. д., таких самоописывающих чисел не существует. Попытки составить одно число приводят к взрывоопасному требованию добавлять все больше и больше цифр.

Ссылки [ править ]

Пиковер, Клиффорд (1995). «Глава 28, Хаос в Онтарио» . Ключи от бесконечности . Нью-Йорк: Уайли. стр. 217–219 . ISBN 978-0471118572 .
Вайсштейн, Эрик В. «Самоописательное число» . Математический мир .
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A108551 (Понятные числа в различных основаниях)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046043 (Автобиографические номера)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Хованова, Таня (2008), Автобиографические номера , arXiv : 0803.0270

Внешние ссылки [ править ]

Хованова, Таня (23 августа 2018 г.). «Сможете ли вы разгадать загадку Леонардо да Винчи?» . Урок об автобиографических числах . TED-Ed.