Общительный номер

В математике аликвотные общительные числа — это числа, суммы которых образуют периодическую последовательность . Они являются обобщениями понятий совершенных чисел и дружественных чисел . Первые две коммуникативные последовательности или коммуникативные цепочки были открыты и названы бельгийским математиком Полем Пуле в 1918 году. В общительной последовательности каждое число представляет собой сумму собственных делителей предыдущего числа, т. е. сумма исключает само предыдущее число. Чтобы последовательность была общительной, она должна быть циклической и возвращаться в исходную точку.

Период . последовательности или порядок множества взаимодействующих чисел — это количество чисел в этом цикле

Если период последовательности равен 1, число является общительным числом порядка 1 или совершенным числом — например, собственные делители 6 — 1, 2 и 3, сумма которых снова равна 6. Пара дружественных чисел Числа представляют собой набор общительных чисел порядка 2. Общительные числа порядка 3 не известны, и их поиски ведутся до $5\times 10^{7}$ по состоянию на 1970 год.

Остается открытым вопрос, все ли числа заканчиваются либо общительным числом, либо простым числом (и, следовательно, 1), или, что то же самое, существуют ли числа, чья аликвотная последовательность никогда не заканчивается и, следовательно, растет без ограничений.

Пример

Например, число 1 264 460 — это общительное число, циклическая последовательность аликвот которого имеет период 4:

Сумма собственных делителей $1264460$ ( $=2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719$) является

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

сумма собственных делителей $1547860$ ( $=2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401$) является

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

сумма собственных делителей $1727636$ ( $=2^{2}\cdot 521\cdot 829$) является

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, и

сумма собственных делителей $1305184$ ( $=2^{5}\cdot 40787$) является

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Список известных общительных номеров

Ниже приведены категории всех известных общительных номеров по состоянию на июль 2018 г. по длине соответствующей аликвотной последовательности:

Последовательность длина	Количество известных последовательности	наименьшее число последовательно
1 ( Совершенное число )	51	6
2 ( Дружественный номер )	1225736919	220
4	5398	1,264,460
5	1	12,496
6	5	21,548,919,483
8	4	1,095,447,416
9	1	805,984,760
28	1	14,316

Предполагается , что если n конгруэнтно 3 по модулю 4 , не существует то такой последовательности длины n .

Последовательность из 5 циклов: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Единственный известный 28-цикл: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 27544. 4, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 (последовательность A072890 в OEIS ).

Эти две последовательности представляют собой единственные общительные числа ниже 1 миллиона (кроме идеальных и дружественных чисел).

Поиск общительных номеров

Последовательность аликвот можно представить в виде ориентированного графа , $G_{n,s}$, для данного целого числа $n$, где $s(k)$ обозначаетсумма собственных делителей $k$. Циклы в $G_{n,s}$ обозначают общительные числа в интервале $[1,n]$. Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

Гипотеза о сумме циклов коммуникативных чисел

Предполагается, что по мере того, как число циклов социальных чисел длиной более 2 приближается к бесконечности, доля сумм циклов социальных чисел, делящихся на 10, приближается к 1 (последовательность A292217 в OEIS ).

Ссылки

• Х. Коэн, О дружелюбных и общительных числах, Матем. Комп. 24 (1970), стр. 423–429.

Внешние ссылки

• Список известных общительных номеров
• Обширные таблицы идеальных, дружных и общительных чисел
• Вайсштейн, Эрик В. «Общительные числа» . Математический мир .
• A003416 (наименьшее социальное число из каждого цикла) и A122726 (все социальные числа) в OEIS