Евклидово число
В математике евклидовы числа представляют собой числа вида En целые = p n # + 1 , где p n # — n- е простое число , т.е. произведение первых n простых чисел . Они названы в честь древнегреческого математика Евклида , в связи с теоремой Евклида о том, что простых чисел бесконечно много.
Примеры [ править ]
Например, первые три простых числа — 2, 3, 5; их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.
Первые несколько чисел Евклида — это 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (последовательность A006862 в OEIS ).
История [ править ]
Иногда ошибочно утверждают, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел основывалось на этих числах. [1] Евклид не начинал с предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее, он сказал: рассмотрим любое конечное множество простых чисел (он не предполагал, что оно содержит только первые n простых чисел, например, это могло быть {3, 41, 53} ) и пришел к выводу, что по крайней мере одно простое число существует то, чего нет в этом наборе. [2] Тем не менее аргумент Евклида, примененный к множеству первых n простых чисел, показывает, что n -е евклидово число имеет простой множитель , которого нет в этом множестве.
Свойства [ править ]
Не все числа Евклида являются простыми. E 6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 — первое составное число Евклида.
Каждое евклидово число конгруэнтно 3 по модулю 4, поскольку простое число, из которого оно состоит, в два раза превышает произведение только нечетных простых чисел и, таким образом, соответствует 2 по модулю 4. Это свойство означает, что ни одно евклидово число не может быть квадратом .
Для всех n ≥ 3 последняя цифра En числа равна 1, поскольку En имеют 2 и 5 в − 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все простые числа, большие, чем E 2, качестве простых множителей, они делятся на все En 10, таким образом , ≥ 3 + 1 имеют последнюю цифру 1.
Нерешенные проблемы [ править ]
Существует ли бесконечное количество простых евклидовых чисел?
Неизвестно, существует ли бесконечное количество простых евклидовых чисел ( первичных простых чисел ). [3] Также неизвестно, каждое ли число Евклида является числом, свободным от квадратов . [4]
Каждое ли число Евклида свободно от квадратов?
Обобщение [ править ]
Евклидово число второго рода (также называемое числом Куммера ) — это целое число вида E n = p n # − 1, где p n # — n-й первоначальный элемент. Первые несколько таких чисел:
- 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (последовательность A057588 в OEIS )
Как и в случае с числами Евклида, неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Куммера. Первое из этих чисел, которое является составным, — 209 . [5]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, «Prime Simplicity», Mathematical Intelligencer , том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.
- ^ «Предложение 20» .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006862 (числа Евклида)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Варди, Илан (1991). Вычислительные развлечения в системе Mathematica . Аддисон-Уэсли. стр. 82–89. ISBN 9780201529890 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A125549 (составные числа Куммера)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Классы натуральных чисел |
|---|
