Jump to content

Простые числа в арифметической прогрессии

В чисел теории простые числа в арифметической прогрессии — это любая последовательность , состоящая как минимум из трех простых чисел , которые являются последовательными членами арифметической прогрессии . Примером может служить последовательность простых чисел (3, 7, 11), которая задается формулой для .

Согласно теореме Грина-Тао , существуют сколь угодно длинные последовательности простых чисел в арифметической прогрессии. Иногда эту фразу можно также использовать в отношении простых чисел, принадлежащих к арифметической прогрессии, которая также содержит составные числа. Например, его можно использовать для простых чисел в арифметической прогрессии вида , где a и b , взаимно просты что согласно теореме Дирихле об арифметических прогрессиях содержит бесконечное количество простых чисел, а также бесконечное количество составных чисел.

Для целого числа k ≥ 3 AP- k (также называемый PAP- k ) — это любая последовательность k простых чисел в арифметической прогрессии. AP- k можно записать как k простых чисел вида a · n + b для фиксированных целых чисел a (называемых общей разностью) и b , а также k последовательных целочисленных значений n . AP- k обычно выражается числами от n = 0 до k − 1. Этого всегда можно достичь, определив b как первое простое число в арифметической прогрессии.

Свойства [ править ]

Любая заданная арифметическая прогрессия простых чисел имеет конечную длину. В 2004 году Бен Дж. Грин и Теренс Тао разрешили старую гипотезу , доказав теорему Грина-Тао : простые числа содержат произвольной длины . арифметические прогрессии [1] существует бесконечно много AP- k Отсюда сразу следует, что для любого k .

Если AP- k не начинается с простого числа k , то общая разность кратна простому числу k # = 2·3·5·...· j , где j — наибольшее простое число ≤ k .

Доказательство : Пусть AP- k равен a · n + b для k последовательных значений n . Если простое число p не делит a , то модульная арифметика говорит, что p будет делить каждый p'-й член арифметической прогрессии. (Из HJ Weber, Cor.10 в «Исключительные простые числа-близнецы, тройки и мультиплеты», arXiv:1102.3075[math.NT]. См. также Теорию 2.3 в «Закономерности простых чисел-близнецов, триплетов и мультиплетов», arXiv :1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8 (2012), в печати.) Если AP является простым для k последовательных значений, то a должно делиться на все простые числа p k .

Это также показывает, что AP с общей разностью a не может содержать больше последовательных простых членов, чем значение наименьшего простого числа, которое не делит a .

Если k простое число, то AP- k может начинаться с k и иметь общую разность, кратную ( k −1)# вместо k #. (Из книги HJ Weber, «Менее регулярные исключительные и повторяющиеся мультиплеты простых чисел», arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Например, AP-3 с простыми числами {3, 5, 7} и общей разностью 2# = 2, или AP-5 с простыми числами {5, 11, 17, 23, 29} и общей разностью 4# = 6. Предполагается, что такие примеры существуют для всех простых чисел k по состоянию на 2018 год. самое большое простое число, для которого это подтверждено, - k = 19, для этого AP-19, найденного Войцехом Ижиковским в 2013 году:

19 + 4244193265542951705·17#·n, для n = от 0 до 18. [2]

, следует Из широко распространенных гипотез, таких как гипотеза Диксона и некоторых вариантов гипотезы о простых k-кортежах , что если p > 2 — наименьшее простое число, не делящее a , то существует бесконечно много AP-( p −1) с общей разностью а . Например, 5 — это наименьшее простое число, не делящее 6, поэтому ожидается, что будет бесконечно много AP-4 с общей разностью 6, что называется сексуальной простой четверкой. Когда a = 2, p = 3, это гипотеза о простых числах-близнецах с «AP-2» из 2 простых чисел ( b , b + 2).

Минимальные простые числа в AP [ править ]

Минимизируем последний член. [3]

Минимальная AP- k
к Простые числа от n = 0 до k −1
3 3 + 2 н
4 5 + 6 н
5 5 + 6 н
6 7 + 30 н.
7 7 + 150 н.
8 199 + 210 н.
9 199 + 210 н.
10 199 + 210 н.
11 110437 + 13860 н
12 110437 + 13860 н
13 4943 + 60060 н.
14 31385539+ 420420н
15 115453391 + 4144140 н
16 53297929+ 9699690н
17 3430751869 + 87297210н
18 4808316343+ 717777060н
19 8297644387 + 4180566390н
20 214861583621 + 18846497670н
21 5749146449311 + 26004868890н
22 19261849254523 + 784801917900н
23 403185216600637 +2124513401010 н

простые числа в AP большие известные Самые

Для простого числа q q # обозначает примориал 2·3·5·7·...· q .

По состоянию на сентябрь 2019 г. Самый длинный известный AP- k — это AP-27. Известно несколько примеров AP-26. Первый обнаруженный объект был найден 12 апреля 2010 года Бенуа Перишоном на PlayStation 3 с программным обеспечением Ярослава Врублевского и Джеффа Рейнольдса, портированным на PlayStation 3 Брайаном Литтлом в распределенном проекте PrimeGrid : [2]

43142746595714191 + 23681770·23#· n , для n = от 0 до 25. (23# = 223092870) (последовательность A204189 в OEIS )

К моменту обнаружения первого AP-26 поиск был разделен PrimeGrid на 131 436 182 сегмента. [4] и обрабатываются 32/64-битными процессорами, графическими процессорами Nvidia CUDA и микропроцессорами Cell по всему миру.

До этого рекордом был AP-25, найденный Раананом Чермони и Ярославом Врублевским 17 мая 2008 года: [2]

6171054912832631 + 366384·23#· n , для n = от 0 до 24. (23# = 223092870)

Поиск AP-25 был разделен на сегменты, занимавшие около 3 минут на Athlon 64 , и Врублевски сообщил: «Я думаю, что Раанан прошел менее 10 000 000 таких сегментов». [5] (на Athlon 64 это заняло бы около 57 лет процессора).

Более ранним рекордом был AP-24, найденный Ярославом Врублевским в одиночку 18 января 2007 года:

468395662504823 + 205619·23#· n , для n = от 0 до 23.

Для этого Врублевски сообщил, что он использовал в общей сложности 75 компьютеров: 15 64-битных Athlon , 15 двухъядерных 64-битных Pentium D 805, 30 32-битных Athlon 2500 и 15 Duron 900. [6]

В следующей таблице показаны самые крупные известные AP- k с указанием года открытия и количества десятичных цифр в конечном простом числе. Обратите внимание, что самая большая известная AP- k может быть концом AP-( k +1). Некоторые установщики рекордов предпочитают сначала вычислить большой набор простых чисел формы c · p #+1 с фиксированным p , а затем искать AP среди значений c, которые дали простое число. Это отражено в выражениях для некоторых записей. Выражение легко переписать как a · n + b .

Самый крупный известный AP- k по состоянию на декабрь 2023 г. [2]
к Простые числа от n = 0 до k −1 Цифры Год Первооткрыватель
3 (503·2 1092022 −1) + (1103·2 3558176 − 503·2 1092022 н 1071122 2022 Райан Проппер, Серж Баталов
4 (263093407 + 928724769· н )·2 99901 −1 30083 2022 Серж Баталов
5 (440012137 + 18195056· n ) · 30941#+1 13338 2022 Серж Баталов
6 (1445494494 + 141836149· n ) · 16301# + 1 7036 2018 Кен Дэвис
7 (2554152639 + 577051223· n )·7927# + 1 3407 2022 Серж Баталов
8 (48098104751 + 3026809034· n )·5303# + 1 2271 2019 Норман Лун, Пол Андервуд, Кен Дэвис
9 (65502205462 + 6317280828· n )·2371# + 1 1014 2012 Кен Дэвис, Пол Андервуд
10 (20794561384 + 1638155407· n ) · 1050# + 1 450 2019 Норман Лун
11 (16533786790 + 1114209832· n )·666# + 1 289 2019 Норман Лун
12 (15079159689 + 502608831· n )·420# + 1 180 2019 Норман Лун
13 (50448064213 + 4237116495· n )·229# + 1 103 2019 Норман Лун
14 (55507616633 + 670355577· n )·229# + 1 103 2019 Норман Лун
15 (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1 68 2019 Норман Лун
16 (9700128038 + 75782144 · ( n +1)) · 83# + 1 43 2019 Норман Лун
17 (9700128038 + 75782144· n )·83# + 1 43 2019 Норман Лун
18 (33277396902 + 139569962 · ( n +1)) · 53# + 1 31 2019 Норман Лун
19 (33277396902 + 139569962· n )·53# + 1 31 2019 Норман Лун
20 23 + 134181089232118748020·19#· н 29 2017 Войцех Изиковски
21 5547796991585989797641 + 29#· н 22 2014 Ярослав Врублевский
22 22231637631603420833 + 8·41#·( n + 1) 20 2014 Ярослав Врублевский
23 22231637631603420833 + 8·41#· н 20 2014 Ярослав Врублевский
24 230885165611851841 + 297206938·23#· н 19 2023 Роб Гаан, PrimeGrid
25 290969863970949269 + 322359616·23#· н 19 2024 Роб Гаан, PrimeGrid
26 233313669346314209 + 331326280·23#· н 19 2024 Роб Гаан, PrimeGrid
27 605185576317848261 + 155368778·23#· н 19 2023 Майкл Квок, PrimeGrid

Последовательные простые числа в арифметической прогрессии [ править ]

Последовательные простые числа в арифметической прогрессии относятся как минимум к трем последовательным простым числам, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обратите внимание, что в отличие от AP- k все остальные числа между членами прогрессии должны быть составными. Например, AP-3 {3, 7, 11} не подходит, поскольку 5 также является простым числом.

Для целого числа k ≥ 3 CPAP- k — это k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии. Предполагается, что существуют сколь угодно длинные CPAP. Это подразумевало бы бесконечное количество CPAP- k для всех k . Среднее число в CPAP-3 называется сбалансированным . Самый крупный из известных по состоянию на 2022 г. имеет 15004 цифры.

Первый известный CPAP-10 был обнаружен в 1998 году Манфредом Топликом в проекте распределенных вычислений CP10, организованном Харви Дубнером, Тони Форбсом, Ником Лигеросом, Мишелем Мизони и Полом Циммерманном. [7] Этот CPAP-10 имеет наименьшую возможную общую разницу: 7# = 210. Единственный другой известный CPAP-10 по состоянию на 2018 год был найден теми же людьми в 2008 году.

Если CPAP-11 существует, то он должен иметь общую разницу, кратную 11# = 2310. Таким образом, разница между первым и последним из 11 простых чисел будет кратна 23100. Требование наличия как минимум 23090 составных чисел. Между 11 простыми числами кажется чрезвычайно трудным найти CPAP-11. По оценкам Дубнера и Циммермана, их будет не менее 10. 12 раз сложнее, чем CPAP-10. [8]

числа в AP Минимальные последовательные простые

Первое появление CPAP- k известно только для k ≤ 6 (последовательность A006560 в OEIS ).

Минимальный CPAP- k [9]
к Простые числа от n = 0 до k −1
3 3 + 2 н
4 251 + 6 н
5 9843019 + 30н
6 121174811 + 30н

последовательные простые числа в AP известные Самые большие

В таблице показан самый большой известный случай k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии для k = от 3 до 10.

Самый крупный из известных CPAP- k по состоянию на май 2022 г. , [10] [11]
к Простые числа от n = 0 до k −1 Цифры Год Первооткрыватель
3 2494779036241 · 2 49800 + 1 + 6 н 15004 2022 Серж Баталов
4 62399583639 · 9923# - 3399421607 + 30 н 4285 2021 Серж Баталов
5 2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30 н 1805 2022 Серж Баталов
6 533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30н 1012 2021 Серж Баталов
7 145706980166212 · 1069# + х 253 + 420 + 210 н 466 2021 Серж Баталов
8 8081110034864 · 619# + х 253 + 210 + 210 н 272 2021 Серж Баталов
9 7661619169627 · 379# + х 153 + 210 н 167 2021 Серж Баталов
10 189382061960492204 · 257# + х 106 + 210 н 121 2021 Серж Баталов

x d d -значное число, используемое в одной из приведенных выше записей для обеспечения небольшого коэффициента в необычно большом количестве требуемых составных чисел между простыми числами.
x 106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791
x 153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 572057965220341992 18 09817841129732061363 55565433981118807417 = x 253 % 379#
x253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008), «Простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии», Annals of Mathematics , 167 (2): 481–547, arXiv : math.NT/0404188 , doi : 10.4007/annals.2008.167.481 , MR   2415379 , S2CID   1883951
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Простые числа в записях арифметической прогрессии . Проверено 11 декабря 2023 г.
  3. ^ Последовательность OEIS A133277
  4. ^ Джон, Форум AP26 . Проверено 20 октября 2013 г.
  5. ^ Врублевский, Ярослав (17 мая 2008 г.). «АП25» . простые числа (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 года . Проверено 17 мая 2008 г.
  6. ^ Врублевский, Ярослав (18 января 2007 г.). «АП24» . primeform (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 года . Проверено 17 июня 2007 г.
  7. ^ Х. Дубнер, Т. Форбс, Н. Лигерос, М. Мизони, Х. Нельсон, П. Циммерманн, Десять последовательных простых чисел в арифметической прогрессии , Математика вычислений 71 (2002), 1323–1328.
  8. ^ Манфред Топлик, Проект девяти и десяти простых чисел . Проверено 17 июня 2007 г.
  9. ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Минимальный и самый маленький из известных CPAP-k . Проверено 20 декабря 2022 г.
  10. ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Крупнейшие известные устройства CPAP . Получено 20 декабря 2022 г.
  11. ^ Крис К. Колдуэлл, Самый известный CPAP . Проверено 28 января 2021 г.

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7c4dfbb7d87e035322054891a741d8c4__1714344420
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7c/c4/7c4dfbb7d87e035322054891a741d8c4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Primes in arithmetic progression - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)