Простые числа в арифметической прогрессии
В чисел теории простые числа в арифметической прогрессии — это любая последовательность , состоящая как минимум из трех простых чисел , которые являются последовательными членами арифметической прогрессии . Примером может служить последовательность простых чисел (3, 7, 11), которая задается формулой для .
Согласно теореме Грина-Тао , существуют сколь угодно длинные последовательности простых чисел в арифметической прогрессии. Иногда эту фразу можно также использовать в отношении простых чисел, принадлежащих к арифметической прогрессии, которая также содержит составные числа. Например, его можно использовать для простых чисел в арифметической прогрессии вида , где a и b , взаимно просты что согласно теореме Дирихле об арифметических прогрессиях содержит бесконечное количество простых чисел, а также бесконечное количество составных чисел.
Для целого числа k ≥ 3 AP- k (также называемый PAP- k ) — это любая последовательность k простых чисел в арифметической прогрессии. AP- k можно записать как k простых чисел вида a · n + b для фиксированных целых чисел a (называемых общей разностью) и b , а также k последовательных целочисленных значений n . AP- k обычно выражается числами от n = 0 до k − 1. Этого всегда можно достичь, определив b как первое простое число в арифметической прогрессии.
Свойства [ править ]
Любая заданная арифметическая прогрессия простых чисел имеет конечную длину. В 2004 году Бен Дж. Грин и Теренс Тао разрешили старую гипотезу , доказав теорему Грина-Тао : простые числа содержат произвольной длины . арифметические прогрессии [1] существует бесконечно много AP- k Отсюда сразу следует, что для любого k .
Если AP- k не начинается с простого числа k , то общая разность кратна простому числу k # = 2·3·5·...· j , где j — наибольшее простое число ≤ k .
- Доказательство : Пусть AP- k равен a · n + b для k последовательных значений n . Если простое число p не делит a , то модульная арифметика говорит, что p будет делить каждый p'-й член арифметической прогрессии. (Из HJ Weber, Cor.10 в «Исключительные простые числа-близнецы, тройки и мультиплеты», arXiv:1102.3075[math.NT]. См. также Теорию 2.3 в «Закономерности простых чисел-близнецов, триплетов и мультиплетов», arXiv :1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8 (2012), в печати.) Если AP является простым для k последовательных значений, то a должно делиться на все простые числа p ≤ k .
Это также показывает, что AP с общей разностью a не может содержать больше последовательных простых членов, чем значение наименьшего простого числа, которое не делит a .
Если k простое число, то AP- k может начинаться с k и иметь общую разность, кратную ( k −1)# вместо k #. (Из книги HJ Weber, «Менее регулярные исключительные и повторяющиеся мультиплеты простых чисел», arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Например, AP-3 с простыми числами {3, 5, 7} и общей разностью 2# = 2, или AP-5 с простыми числами {5, 11, 17, 23, 29} и общей разностью 4# = 6. Предполагается, что такие примеры существуют для всех простых чисел k по состоянию на 2018 год. [update]самое большое простое число, для которого это подтверждено, - k = 19, для этого AP-19, найденного Войцехом Ижиковским в 2013 году:
- 19 + 4244193265542951705·17#·n, для n = от 0 до 18. [2]
, следует Из широко распространенных гипотез, таких как гипотеза Диксона и некоторых вариантов гипотезы о простых k-кортежах , что если p > 2 — наименьшее простое число, не делящее a , то существует бесконечно много AP-( p −1) с общей разностью а . Например, 5 — это наименьшее простое число, не делящее 6, поэтому ожидается, что будет бесконечно много AP-4 с общей разностью 6, что называется сексуальной простой четверкой. Когда a = 2, p = 3, это гипотеза о простых числах-близнецах с «AP-2» из 2 простых чисел ( b , b + 2).
Минимальные простые числа в AP [ править ]
Минимизируем последний член. [3]
| к | Простые числа от n = 0 до k −1 |
|---|---|
| 3 | 3 + 2 н |
| 4 | 5 + 6 н |
| 5 | 5 + 6 н |
| 6 | 7 + 30 н. |
| 7 | 7 + 150 н. |
| 8 | 199 + 210 н. |
| 9 | 199 + 210 н. |
| 10 | 199 + 210 н. |
| 11 | 110437 + 13860 н |
| 12 | 110437 + 13860 н |
| 13 | 4943 + 60060 н. |
| 14 | 31385539+ 420420н |
| 15 | 115453391 + 4144140 н |
| 16 | 53297929+ 9699690н |
| 17 | 3430751869 + 87297210н |
| 18 | 4808316343+ 717777060н |
| 19 | 8297644387 + 4180566390н |
| 20 | 214861583621 + 18846497670н |
| 21 | 5749146449311 + 26004868890н |
| 22 | 19261849254523 + 784801917900н |
| 23 | 403185216600637 +2124513401010 н |
простые числа в AP большие известные Самые
Для простого числа q q # обозначает примориал 2·3·5·7·...· q .
По состоянию на сентябрь 2019 г. [update]Самый длинный известный AP- k — это AP-27. Известно несколько примеров AP-26. Первый обнаруженный объект был найден 12 апреля 2010 года Бенуа Перишоном на PlayStation 3 с программным обеспечением Ярослава Врублевского и Джеффа Рейнольдса, портированным на PlayStation 3 Брайаном Литтлом в распределенном проекте PrimeGrid : [2]
- 43142746595714191 + 23681770·23#· n , для n = от 0 до 25. (23# = 223092870) (последовательность A204189 в OEIS )
К моменту обнаружения первого AP-26 поиск был разделен PrimeGrid на 131 436 182 сегмента. [4] и обрабатываются 32/64-битными процессорами, графическими процессорами Nvidia CUDA и микропроцессорами Cell по всему миру.
До этого рекордом был AP-25, найденный Раананом Чермони и Ярославом Врублевским 17 мая 2008 года: [2]
- 6171054912832631 + 366384·23#· n , для n = от 0 до 24. (23# = 223092870)
Поиск AP-25 был разделен на сегменты, занимавшие около 3 минут на Athlon 64 , и Врублевски сообщил: «Я думаю, что Раанан прошел менее 10 000 000 таких сегментов». [5] (на Athlon 64 это заняло бы около 57 лет процессора).
Более ранним рекордом был AP-24, найденный Ярославом Врублевским в одиночку 18 января 2007 года:
- 468395662504823 + 205619·23#· n , для n = от 0 до 23.
Для этого Врублевски сообщил, что он использовал в общей сложности 75 компьютеров: 15 64-битных Athlon , 15 двухъядерных 64-битных Pentium D 805, 30 32-битных Athlon 2500 и 15 Duron 900. [6]
В следующей таблице показаны самые крупные известные AP- k с указанием года открытия и количества десятичных цифр в конечном простом числе. Обратите внимание, что самая большая известная AP- k может быть концом AP-( k +1). Некоторые установщики рекордов предпочитают сначала вычислить большой набор простых чисел формы c · p #+1 с фиксированным p , а затем искать AP среди значений c, которые дали простое число. Это отражено в выражениях для некоторых записей. Выражение легко переписать как a · n + b .
| к | Простые числа от n = 0 до k −1 | Цифры | Год | Первооткрыватель |
|---|---|---|---|---|
| 3 | (503·2 1092022 −1) + (1103·2 3558176 − 503·2 1092022 )· н | 1071122 | 2022 | Райан Проппер, Серж Баталов |
| 4 | (263093407 + 928724769· н )·2 99901 −1 | 30083 | 2022 | Серж Баталов |
| 5 | (440012137 + 18195056· n ) · 30941#+1 | 13338 | 2022 | Серж Баталов |
| 6 | (1445494494 + 141836149· n ) · 16301# + 1 | 7036 | 2018 | Кен Дэвис |
| 7 | (2554152639 + 577051223· n )·7927# + 1 | 3407 | 2022 | Серж Баталов |
| 8 | (48098104751 + 3026809034· n )·5303# + 1 | 2271 | 2019 | Норман Лун, Пол Андервуд, Кен Дэвис |
| 9 | (65502205462 + 6317280828· n )·2371# + 1 | 1014 | 2012 | Кен Дэвис, Пол Андервуд |
| 10 | (20794561384 + 1638155407· n ) · 1050# + 1 | 450 | 2019 | Норман Лун |
| 11 | (16533786790 + 1114209832· n )·666# + 1 | 289 | 2019 | Норман Лун |
| 12 | (15079159689 + 502608831· n )·420# + 1 | 180 | 2019 | Норман Лун |
| 13 | (50448064213 + 4237116495· n )·229# + 1 | 103 | 2019 | Норман Лун |
| 14 | (55507616633 + 670355577· n )·229# + 1 | 103 | 2019 | Норман Лун |
| 15 | (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1 | 68 | 2019 | Норман Лун |
| 16 | (9700128038 + 75782144 · ( n +1)) · 83# + 1 | 43 | 2019 | Норман Лун |
| 17 | (9700128038 + 75782144· n )·83# + 1 | 43 | 2019 | Норман Лун |
| 18 | (33277396902 + 139569962 · ( n +1)) · 53# + 1 | 31 | 2019 | Норман Лун |
| 19 | (33277396902 + 139569962· n )·53# + 1 | 31 | 2019 | Норман Лун |
| 20 | 23 + 134181089232118748020·19#· н | 29 | 2017 | Войцех Изиковски |
| 21 | 5547796991585989797641 + 29#· н | 22 | 2014 | Ярослав Врублевский |
| 22 | 22231637631603420833 + 8·41#·( n + 1) | 20 | 2014 | Ярослав Врублевский |
| 23 | 22231637631603420833 + 8·41#· н | 20 | 2014 | Ярослав Врублевский |
| 24 | 230885165611851841 + 297206938·23#· н | 19 | 2023 | Роб Гаан, PrimeGrid |
| 25 | 290969863970949269 + 322359616·23#· н | 19 | 2024 | Роб Гаан, PrimeGrid |
| 26 | 233313669346314209 + 331326280·23#· н | 19 | 2024 | Роб Гаан, PrimeGrid |
| 27 | 605185576317848261 + 155368778·23#· н | 19 | 2023 | Майкл Квок, PrimeGrid |
Последовательные простые числа в арифметической прогрессии [ править ]
Последовательные простые числа в арифметической прогрессии относятся как минимум к трем последовательным простым числам, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обратите внимание, что в отличие от AP- k все остальные числа между членами прогрессии должны быть составными. Например, AP-3 {3, 7, 11} не подходит, поскольку 5 также является простым числом.
Для целого числа k ≥ 3 CPAP- k — это k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии. Предполагается, что существуют сколь угодно длинные CPAP. Это подразумевало бы бесконечное количество CPAP- k для всех k . Среднее число в CPAP-3 называется сбалансированным . Самый крупный из известных по состоянию на 2022 г. [update] имеет 15004 цифры.
Первый известный CPAP-10 был обнаружен в 1998 году Манфредом Топликом в проекте распределенных вычислений CP10, организованном Харви Дубнером, Тони Форбсом, Ником Лигеросом, Мишелем Мизони и Полом Циммерманном. [7] Этот CPAP-10 имеет наименьшую возможную общую разницу: 7# = 210. Единственный другой известный CPAP-10 по состоянию на 2018 год был найден теми же людьми в 2008 году.
Если CPAP-11 существует, то он должен иметь общую разницу, кратную 11# = 2310. Таким образом, разница между первым и последним из 11 простых чисел будет кратна 23100. Требование наличия как минимум 23090 составных чисел. Между 11 простыми числами кажется чрезвычайно трудным найти CPAP-11. По оценкам Дубнера и Циммермана, их будет не менее 10. 12 раз сложнее, чем CPAP-10. [8]
числа в AP Минимальные последовательные простые
Первое появление CPAP- k известно только для k ≤ 6 (последовательность A006560 в OEIS ).
| к | Простые числа от n = 0 до k −1 |
|---|---|
| 3 | 3 + 2 н |
| 4 | 251 + 6 н |
| 5 | 9843019 + 30н |
| 6 | 121174811 + 30н |
последовательные простые числа в AP известные Самые большие
В таблице показан самый большой известный случай k последовательных простых чисел в арифметической прогрессии для k = от 3 до 10.
| к | Простые числа от n = 0 до k −1 | Цифры | Год | Первооткрыватель |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 2494779036241 · 2 49800 + 1 + 6 н | 15004 | 2022 | Серж Баталов |
| 4 | 62399583639 · 9923# - 3399421607 + 30 н | 4285 | 2021 | Серж Баталов |
| 5 | 2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30 н | 1805 | 2022 | Серж Баталов |
| 6 | 533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30н | 1012 | 2021 | Серж Баталов |
| 7 | 145706980166212 · 1069# + х 253 + 420 + 210 н | 466 | 2021 | Серж Баталов |
| 8 | 8081110034864 · 619# + х 253 + 210 + 210 н | 272 | 2021 | Серж Баталов |
| 9 | 7661619169627 · 379# + х 153 + 210 н | 167 | 2021 | Серж Баталов |
| 10 | 189382061960492204 · 257# + х 106 + 210 н | 121 | 2021 | Серж Баталов |
x d — d -значное число, используемое в одной из приведенных выше записей для обеспечения небольшого коэффициента в необычно большом количестве требуемых составных чисел между простыми числами.
x 106 = 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791
x 153 = 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 572057965220341992 18 09817841129732061363 55565433981118807417 = x 253 % 379#
x253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008), «Простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии», Annals of Mathematics , 167 (2): 481–547, arXiv : math.NT/0404188 , doi : 10.4007/annals.2008.167.481 , MR 2415379 , S2CID 1883951
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Простые числа в записях арифметической прогрессии . Проверено 11 декабря 2023 г.
- ^ Последовательность OEIS A133277
- ^ Джон, Форум AP26 . Проверено 20 октября 2013 г.
- ^ Врублевский, Ярослав (17 мая 2008 г.). «АП25» . простые числа (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 года . Проверено 17 мая 2008 г.
- ^ Врублевский, Ярослав (18 января 2007 г.). «АП24» . primeform (список рассылки). Архивировано из оригинала 29 мая 2012 года . Проверено 17 июня 2007 г.
- ^ Х. Дубнер, Т. Форбс, Н. Лигерос, М. Мизони, Х. Нельсон, П. Циммерманн, Десять последовательных простых чисел в арифметической прогрессии , Математика вычислений 71 (2002), 1323–1328.
- ^ Манфред Топлик, Проект девяти и десяти простых чисел . Проверено 17 июня 2007 г.
- ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Минимальный и самый маленький из известных CPAP-k . Проверено 20 декабря 2022 г.
- ^ Йенс Крузе Андерсен и Норман Лун, Крупнейшие известные устройства CPAP . Получено 20 декабря 2022 г.
- ^ Крис К. Колдуэлл, Самый известный CPAP . Проверено 28 января 2021 г.
Ссылки [ править ]
- Крис Колдуэлл, Глоссарий простых чисел: арифметическая последовательность , Двадцать лучших: арифметическая прогрессия простых чисел и Двадцать лучших: последовательные простые числа в арифметической прогрессии , все из страниц простых чисел .
- Вайсштейн, Эрик В. «Основная арифметическая прогрессия» . Математический мир .
- Ярослав Врублевский, Как найти 26 простых чисел в арифметической прогрессии?
- П. Эрдеш и П. Туран, О некоторых последовательностях целых чисел, J. London Math. Сок. 11 (1936), 261–264.