Теорема Семереди

В арифметической комбинаторике теорема Семереди является результатом, касающимся арифметических прогрессий в подмножествах целых чисел. В 1936 году Эрдеш и Туран предположили, что ^{[ 1 ]} что каждый набор целых чисел A с положительной натуральной плотностью содержит k -членную арифметическую прогрессию для каждого k . Эндре Семереди доказал эту гипотезу в 1975 году.

Заявление

Говорят, что подмножество A натуральных чисел имеет положительную верхнюю плотность, если

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0.

Теорема Семереди утверждает, что подмножество натуральных чисел с положительной верхней плотностью содержит арифметическую прогрессию длины k для всех положительных целых чисел k .

Часто используемая эквивалентная финитная версия теоремы утверждает, что для каждого натурального числа k и действительного числа $\delta \in (0,1]$ , существует целое положительное число

N=N(k,\delta )

такое, что каждое подмножество {1, 2, ..., N } размера не менее δN содержит арифметическую прогрессию длины k .

Другая формулировка использует функцию r _k ( N ), размер наибольшего подмножества {1, 2, ..., N } без арифметической прогрессии длины k . Теорема Семереди эквивалентна асимптотической оценке

r_{k}(N)=o(N).

То есть r _k ( N менее чем линейно ) растет с ростом N .

История

Теорема Ван дер Вардена , предшественница теоремы Семереди, была доказана в 1927 году.

Случаи k = 1 и k = 2 теоремы Семереди тривиальны. Случай k = 3, известный как теорема Рота , был установлен в 1953 году Клаусом Ротом. ^{[ 2 ]} посредством адаптации метода круга Харди-Литтлвуда . Эндре Семереди ^{[ 3 ]} доказал случай k = 4 с помощью комбинаторики. Используя подход, аналогичный тому, который он использовал для случая k = 3, Рот ^{[ 4 ]} дал второе доказательство этого в 1972 году.

Общее дело было урегулировано в 1975 году также Семереди. ^{[ 5 ]} который разработал гениальное и сложное расширение своего предыдущего комбинаторного аргумента для k «шедевром комбинаторного рассуждения» = 4 (названного Эрдешем ^{[ 6 ]}). Сейчас известно несколько других доказательств, наиболее важными из которых являются доказательства Гилеля Фюрстенберга. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} в 1977 году, используя эргодическую теорию , и Тимоти Гауэрса. ^{[ 9 ]} в 2001 году, используя как анализ Фурье , так и комбинаторику, а также введя то, что сейчас называется нормой Гауэрса . Теренс Тао назвал различные доказательства теоремы Семереди « Розеттским камнем », соединяющим разрозненные области математики. ^{[ 10 ]}

Количественные границы

Проблема определения точной скорости роста rk _N ( ) остается открытой . Наиболее известные общие границы:

CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},

где $n=\lceil \log k\rceil$ . Нижняя граница принадлежит О'Брайанту. ^{[ 11 ]} опираясь на работы Беренда , ^{[ 12 ]} Ранкин , ^{[ 13 ]} и Элькин. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Верхняя граница принадлежит Гауэрсу. ^{[ 9 ]}

Для малых k существуют более точные границы, чем в общем случае. При k = 3 Бургейн , ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} Хит-Браун, ^{[ 18 ]} Семереди, ^{[ 19 ]} Сандерс , ^{[ 20 ]} и Блум ^{[ 21 ]} установили все более меньшие верхние границы, а затем Блум и Сисаск доказали первую границу, которая преодолела так называемый «логарифмический барьер». ^{[ 22 ]} Текущие лучшие границы:

N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq Ne^{-c(\log N)^{1/9}}

, для некоторой константы

c>0

,

соответственно из-за О'Брайанта, ^{[ 11 ]} и Блум и Сисаск ^{[ 23 ]} (последний основан на прорывном результате Келли и Меки, ^{[ 24 ]} который получил ту же верхнюю границу, с заменой «1/9» на «1/12»).

Для k = 4 Грин и Тао ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} доказал, что

r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}

Для k=5 в 2023 году и k≥5 в 2024 году Ленг, Сах и Сони доказали в препринтах ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} что:

r_{k}(N)\leq CN\exp(-(\log \log N)^{c})

Расширения и обобщения

Многомерное обобщение теоремы Семереди было впервые доказано Гиллелем Фюрстенбергом и Ицхаком Кацнельсоном с использованием эргодической теории. ^{[ 30 ]} Тимоти Гауэрс , ^{[ 31 ]} Войтех Рёдль и Йозеф Скокан ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} с Бренданом Нэглом, Рёдлом и Матиасом Шахтом , ^{[ 34 ]} и Теренс Тао ^{[ 35 ]} предоставил комбинаторные доказательства.

Александр Лейбман и Виталий Бергельсон ^{[ 36 ]} обобщение Семереди к полиномиальным прогрессиям: если $A\subset \mathbb {N}$ представляет собой множество с положительной верхней плотностью и $p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)$ являются целочисленными многочленами такими, что $p_{i}(0)=0$ , то их бесконечно много $u,n\in \mathbb {Z}$ такой, что $u+p_{i}(n)\in A$ для всех $1\leq i\leq k$ . Результат Лейбмана и Бергельсона справедлив и в многомерной ситуации.

Финитарную версию теоремы Семереди можно обобщить на конечные аддитивные группы, включая векторные пространства над конечными полями . ^{[ 37 ]} Аналог конечного поля можно использовать как модель для понимания теоремы в натуральных числах. ^{[ 38 ]} Проблема получения оценок в случае k=3 теоремы Семереди в векторном пространстве $\mathbb {F} _{3}^{n}$ известна как проблема набора ограничений .

Теорема Грина-Тао утверждает, что простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Это не подразумевается теоремой Семереди, поскольку плотность простых чисел в натуральных числах равна 0. В рамках своего доказательства Бен Грин и Тао представили «относительную» теорему Семереди, которая применяется к подмножествам целых чисел (даже к тем, у которых плотность равна нулю), удовлетворяющим определенным условиям псевдослучайности . Более общая относительная теорема Семереди с тех пор была предложена Дэвидом Конлоном , Джейкобом Фоксом и Юфеем Чжао . ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях будет подразумевать как теорему Семереди, так и теорему Грина – Тао.

См. также

Примечания

^ Эрдеш, Пол ; Туран, Пол (1936). «О некоторых последовательностях целых чисел» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . 11 (4): 261–264. дои : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . МР 1574918 .
^ Рот, Клаус Фридрих (1953). «О некоторых множествах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества . 28 (1): 104–109. дои : 10.1112/jlms/s1-28.1.104 . МР 0051853 . Збл 0050.04002 .
^ Семереди, Эндре (1969). «О множествах целых чисел, не содержащих четырех элементов в арифметической прогрессии» . Математический журнал Венгерской академии наук . 20 (1–2): 89–104. дои : 10.1007/BF01894569 . МР 0245555 . Збл 0175.04301 .
^ Рот, Клаус Фридрих (1972). «Нарушения последовательностей относительно арифметических прогрессий, IV». Периодика Математика. Венгрия . 2 (1–4): 301–326. дои : 10.1007/BF02018670 . МР 0369311 . S2CID 126176571 .
^ Семереди, Эндре (1975). «О множествах целых чисел, не содержащих k элементов в арифметической прогрессии» (PDF) . Акта Арифметика . 27 : 199–245. дои : 10.4064/aa-27-1-199-245 . МР 0369312 . Збл 0303.10056 .
^ Эрдеш, Пол (2013). «Некоторые из моих любимых задач и результатов». В Грэме, Рональд Л.; Нешетржил, Ярослав; Батлер, Стив (ред.). Математика Пола Эрдеша I (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 51–70. дои : 10.1007/978-1-4614-7258-2_3 . ISBN 978-1-4614-7257-5 . МР 1425174 .
^ Фюрстенберг, Гилель (1977). «Эргодическое поведение диагональных мер и теорема Семереди об арифметических прогрессиях» . Журнал Математического Анализа . 31 : 204–256. дои : 10.1007/BF02813304 . МР 0498471 . S2CID 120917478 . .
^ Фюрстенберг, Гилель; Кацнельсон, Ицхак; Орнштейн, Дональд Сэмюэл (1982). «Эргодическое теоретическое доказательство теоремы Семереди» . Бык. амер. Математика. Соц. 7 (3): 527–552. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15052-2 . МР 0670131 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гауэрс, Тимоти (2001). «Новое доказательство теоремы Семереди» . Геом. Функц. Анальный. 11 (3): 465–588. дои : 10.1007/s00039-001-0332-9 . МР 1844079 . S2CID 124324198 .
^ Тао, Теренс (2007). «Дихотомия между структурой и случайностью, арифметическими прогрессиями и простыми числами». В Санс-Соле, Марта; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; Вердера, Джоан (ред.). Материалы Международного конгресса математиков в Мадриде, 22–30 августа 2006 г. Международный конгресс математиков . Том. 1. Цюрих: Европейское математическое общество . стр. 581–608. arXiv : math/0512114 . дои : 10.4171/022-1/22 . ISBN 978-3-03719-022-7 . МР 2334204 .
^ Перейти обратно: ^а ^б О'Брайант, Кевин (2011). «Наборы целых чисел, не содержащие длинных арифметических прогрессий» . Электронный журнал комбинаторики . 18 (1). arXiv : 0811.3057 . дои : 10.37236/546 . МР 2788676 .
^ Беренд, Феликс А. (1946). «О множествах целых чисел, не содержащих трех членов арифметической прогрессии» . Труды Национальной академии наук . 32 (12): 331–332. Бибкод : 1946ПНАС...32..331Б . дои : 10.1073/pnas.32.12.331 . МР 0018694 . ПМЦ 1078964 . ПМИД 16578230 . Збл 0060.10302 .
^ Рэнкин, Роберт А. (1962). «Наборы целых чисел, содержащие не более заданного числа членов арифметической прогрессии». Учеб. Р. Сок. Эдинбургская секта. А. 65 : 332–344. МР 0142526 . Збл 0104.03705 .
^ Элкин, Майкл (2011). «Улучшенная конструкция наборов без прогрессирования» . Израильский математический журнал . 184 (1): 93–128. arXiv : 0801.4310 . дои : 10.1007/s11856-011-0061-1 . МР 2823971 .
^ Грин, Бен; Вольф, Юлия (2010). «Заметка об улучшении Элькиным конструкции Беренда». В Чудновском, Дэвид; Чудновский, Григорий (ред.). Аддитивная теория чисел . Аддитивная теория чисел. Фестиваль в честь шестидесятилетия Мелвина Б. Натансона . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 141–144. arXiv : 0810.0732 . дои : 10.1007/978-0-387-68361-4_9 . ISBN 978-0-387-37029-3 . МР 2744752 . S2CID 10475217 .
^ Бурген, Жан (1999). «О тройках в арифметической прогрессии». Геом. Функц. Анальный. 9 (5): 968–984. дои : 10.1007/s000390050105 . МР 1726234 . S2CID 392820 .
^ Бурген, Жан (2008). «Еще раз к теореме Рота о прогрессиях» . Журнал математического анализа . 104 (1): 155–192. дои : 10.1007/s11854-008-0020-x . МР 2403433 . S2CID 16985451 .
^ Хит-Браун, Роджер (1987). «Наборы целых чисел, не содержащие арифметических прогрессий». Журнал Лондонского математического общества . 35 (3): 385–394. дои : 10.1112/jlms/s2-35.3.385 . МР 0889362 .
^ Семереди, Эндре (1990). «Наборы целых чисел, не содержащие арифметических прогрессий» . Acta Mathematica Hungarica . 56 (1–2): 155–158. дои : 10.1007/BF01903717 . МР 1100788 .
^ Сандерс, Том (2011). «О теореме Рота о прогрессиях». Анналы математики . 174 (1): 619–636. arXiv : 1011.0104 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.1.20 . МР 2811612 . S2CID 53331882 .
^ Блум, Томас Ф. (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 93 (3): 643–663. arXiv : 1405.5800 . дои : 10.1112/jlms/jdw010 . МР 3509957 . S2CID 27536138 .
^ Блум, Томас Ф.; Сисаск, Олоф (2020). «Преодоление логарифмического барьера в теореме Рота об арифметических прогрессиях». arXiv : 2007.03528v2 [ math.NT ].
^ Блум, Томас Ф.; Сисаск, Олоф (2023). «Улучшение границ Келли-Мека для трехчленных арифметических прогрессий». arXiv : 2309.02353v1 [ math.NT ].
^ Келли, Зандер; Мека, Рагху (2023). «Сильные границы для 3-прогрессий». arXiv : 2302.05537v5 [ math.NT ].
^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2009). «Новые оценки теоремы Семереди. II. Новая оценка для r ₄ ( N )». В Чене, Уильям В.Л.; Гауэрс, Тимоти ; Хальберштам, Хейни ; Шмидт, Вольфганг ; Воган, Роберт Чарльз (ред.). Новые оценки для теоремы Семереди, II: Новая оценка для r_4(N) . Аналитическая теория чисел. Очерки в честь Клауса Рота по случаю его 80-летия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 180–204. arXiv : math/0610604 . Бибкод : 2006math.....10604G . ISBN 978-0-521-51538-2 . МР 2508645 . Збл 1158.11007 .
^ Грин, Бен; Люди, Теренс (2017). «Новые оценки для теоремы Семереди III: полилогарифмическая оценка для r ₄ (N)». Математика . 63 (3): 944–1040. arXiv : 1705.01703 . дои : 10.1112/S0025579317000316 . МР 3731312 . S2CID 119145424 .
^ Ленг, Джеймс; Сах, Эшвин; Сони, Мехтааб (2024). «Улучшенные оценки теоремы Семереди». arXiv : 2402.17995 .
^ Ленг, Джеймс; Сах, Эшвин; Сони, Мехтааб (2023). «Улучшенные границы пятичленных арифметических прогрессий». arXiv : 2312.10776 .
^ Сломан, Лейла (5 августа 2024 г.). «Аспиранты находят неизбежные закономерности в больших наборах чисел» . Журнал Кванта . Проверено 7 августа 2024 г.
^ Фюрстенберг, Гилель ; Кацнельсон, Ицхак (1978). «Эргодическая теорема Семереди для коммутирующих преобразований» . Журнал Математического Анализа . 38 (1): 275–291. дои : 10.1007/BF02790016 . МР 0531279 . S2CID 123386017 .
^ Гауэрс, Тимоти (2007). «Регулярность гиперграфа и многомерная теорема Семереди». Анналы математики . 166 (3): 897–946. arXiv : 0710.3032 . дои : 10.4007/анналы.2007.166.897 . МР 2373376 . S2CID 56118006 .
^ Рёдль, Войтех ; Скокан, Йозеф (2004). «Лемма о регулярности k-равномерных гиперграфов». Алгоритмы случайных структур . 25 (1): 1–42. дои : 10.1002/rsa.20017 . МР 2069663 . S2CID 7458739 .
^ Рёдль, Войтех ; Скокан, Йозеф (2006). «Применение леммы о регулярности для однородных гиперграфов» (PDF) . Алгоритмы случайных структур . 28 (2): 180–194. дои : 10.1002/rsa.20108 . МР 2198496 . S2CID 18203198 .
^ Нэгл, Брендан; Рёдль, Войтех ; Шахт, Матиас (2006). «Счетная лемма для регулярных k-однородных гиперграфов». Алгоритмы случайных структур . 28 (2): 113–179. дои : 10.1002/rsa.20117 . МР 2198495 . S2CID 14126774 .
^ Тао, Теренс (2006). «Вариант леммы об удалении гиперграфа» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 113 (7): 1257–1280. arXiv : math/0503572 . дои : 10.1016/j.jcta.2005.11.006 . МР 2259060 .
^ Бергельсон, Виталий ; Лейбман, Александр (1996). «Полиномиальные расширения теорем Ван дер Вардена и Семереди» . Журнал Американского математического общества . 9 (3): 725–753. дои : 10.1090/S0894-0347-96-00194-4 . МР 1325795 .
^ Фюрстенберг, Гилель ; Кацнельсон, Ицхак (1991). «Плотная версия теоремы Хейлза – Джуитта» . Журнал Математического Анализа . 57 (1): 64–119. дои : 10.1007/BF03041066 . МР 1191743 . S2CID 123036744 .
^ Вольф, Юлия (2015). «Модели конечных полей в арифметической комбинаторике — десять лет спустя» . Конечные поля и их приложения . 32 : 233–274. дои : 10.1016/j.ffa.2014.11.003 . hdl : 1983/d340f853-0584-49c8-a463-ea16ee51ce0f . МР 3293412 .
^ Конлон, Дэвид ; Фокс, Джейкоб ; Чжао, Юфэй (2015). «Относительная теорема Семереди» . Геометрический и функциональный анализ . 25 (3): 733–762. arXiv : 1305.5440 . дои : 10.1007/s00039-015-0324-9 . МР 3361771 . S2CID 14398869 .
^ Чжао, Юфэй (2014). «Арифметическое переносное доказательство относительной теоремы Семереди». Математические труды Кембриджского философского общества . 156 (2): 255–261. arXiv : 1307.4959 . Бибкод : 2014MPCPS.156..255Z . дои : 10.1017/S0305004113000662 . МР 3177868 . S2CID 119673319 .

Дальнейшее чтение

Тао, Теренс (2007). «Эргодический и комбинаторный подходы к теореме Семереди». В Гранвилле, Эндрю; Натансон, Мелвин Б.; Солимоси, Йожеф (ред.). Аддитивная комбинаторика . Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 43. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 145–193. arXiv : math/0604456 . Бибкод : 2006math......4456T . ISBN 978-0-8218-4351-2 . МР 2359471 . Збл 1159.11005 .

Внешние ссылки

Источник PlanetMath для первоначальной версии этой страницы. Архивировано 16 июля 2012 г. на Wayback Machine.
Объявление Бена Грина и Теренса Тао – препринт доступен по адресу math.NT/0404188.
Обсуждение теоремы Семереди (часть 1 из 5)
Бен Грин и Теренс Тао: теорема Семереди в Scholarpedia
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Семередиса» . Математический мир .
Грайм, Джеймс; Ходж, Дэвид (2012). «6 000 000: Эндре Семереди получает премию Абеля» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 9 января 2014 г. Проверено 2 апреля 2013 г.

[erdos_turan-1] Эрдеш, Пол ; Туран, Пол (1936). «О некоторых последовательностях целых чисел» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . 11 (4): 261–264. дои : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . МР 1574918 .

[2] Рот, Клаус Фридрих (1953). «О некоторых множествах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества . 28 (1): 104–109. дои : 10.1112/jlms/s1-28.1.104 . МР 0051853 . Збл 0050.04002 .

[3] Семереди, Эндре (1969). «О множествах целых чисел, не содержащих четырех элементов в арифметической прогрессии» . Математический журнал Венгерской академии наук . 20 (1–2): 89–104. дои : 10.1007/BF01894569 . МР 0245555 . Збл 0175.04301 .

[4] Рот, Клаус Фридрих (1972). «Нарушения последовательностей относительно арифметических прогрессий, IV». Периодика Математика. Венгрия . 2 (1–4): 301–326. дои : 10.1007/BF02018670 . МР 0369311 . S2CID 126176571 .

[5] Семереди, Эндре (1975). «О множествах целых чисел, не содержащих k элементов в арифметической прогрессии» (PDF) . Акта Арифметика . 27 : 199–245. дои : 10.4064/aa-27-1-199-245 . МР 0369312 . Збл 0303.10056 .

[6] Эрдеш, Пол (2013). «Некоторые из моих любимых задач и результатов». В Грэме, Рональд Л.; Нешетржил, Ярослав; Батлер, Стив (ред.). Математика Пола Эрдеша I (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 51–70. дои : 10.1007/978-1-4614-7258-2_3 . ISBN 978-1-4614-7257-5 . МР 1425174 .

[7] Фюрстенберг, Гилель (1977). «Эргодическое поведение диагональных мер и теорема Семереди об арифметических прогрессиях» . Журнал Математического Анализа . 31 : 204–256. дои : 10.1007/BF02813304 . МР 0498471 . S2CID 120917478 . .

[8] Фюрстенберг, Гилель; Кацнельсон, Ицхак; Орнштейн, Дональд Сэмюэл (1982). «Эргодическое теоретическое доказательство теоремы Семереди» . Бык. амер. Математика. Соц. 7 (3): 527–552. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15052-2 . МР 0670131 .

[gowers-9] Перейти обратно: ^а ^б Гауэрс, Тимоти (2001). «Новое доказательство теоремы Семереди» . Геом. Функц. Анальный. 11 (3): 465–588. дои : 10.1007/s00039-001-0332-9 . МР 1844079 . S2CID 124324198 .

[10] Тао, Теренс (2007). «Дихотомия между структурой и случайностью, арифметическими прогрессиями и простыми числами». В Санс-Соле, Марта; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; Вердера, Джоан (ред.). Материалы Международного конгресса математиков в Мадриде, 22–30 августа 2006 г. Международный конгресс математиков . Том. 1. Цюрих: Европейское математическое общество . стр. 581–608. arXiv : math/0512114 . дои : 10.4171/022-1/22 . ISBN 978-3-03719-022-7 . МР 2334204 .

[obryant-11] Перейти обратно: ^а ^б О'Брайант, Кевин (2011). «Наборы целых чисел, не содержащие длинных арифметических прогрессий» . Электронный журнал комбинаторики . 18 (1). arXiv : 0811.3057 . дои : 10.37236/546 . МР 2788676 .

[12] Беренд, Феликс А. (1946). «О множествах целых чисел, не содержащих трех членов арифметической прогрессии» . Труды Национальной академии наук . 32 (12): 331–332. Бибкод : 1946ПНАС...32..331Б . дои : 10.1073/pnas.32.12.331 . МР 0018694 . ПМЦ 1078964 . ПМИД 16578230 . Збл 0060.10302 .

[13] Рэнкин, Роберт А. (1962). «Наборы целых чисел, содержащие не более заданного числа членов арифметической прогрессии». Учеб. Р. Сок. Эдинбургская секта. А. 65 : 332–344. МР 0142526 . Збл 0104.03705 .

[14] Элкин, Майкл (2011). «Улучшенная конструкция наборов без прогрессирования» . Израильский математический журнал . 184 (1): 93–128. arXiv : 0801.4310 . дои : 10.1007/s11856-011-0061-1 . МР 2823971 .

[15] Грин, Бен; Вольф, Юлия (2010). «Заметка об улучшении Элькиным конструкции Беренда». В Чудновском, Дэвид; Чудновский, Григорий (ред.). Аддитивная теория чисел . Аддитивная теория чисел. Фестиваль в честь шестидесятилетия Мелвина Б. Натансона . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 141–144. arXiv : 0810.0732 . дои : 10.1007/978-0-387-68361-4_9 . ISBN 978-0-387-37029-3 . МР 2744752 . S2CID 10475217 .

[16] Бурген, Жан (1999). «О тройках в арифметической прогрессии». Геом. Функц. Анальный. 9 (5): 968–984. дои : 10.1007/s000390050105 . МР 1726234 . S2CID 392820 .

[17] Бурген, Жан (2008). «Еще раз к теореме Рота о прогрессиях» . Журнал математического анализа . 104 (1): 155–192. дои : 10.1007/s11854-008-0020-x . МР 2403433 . S2CID 16985451 .

[18] Хит-Браун, Роджер (1987). «Наборы целых чисел, не содержащие арифметических прогрессий». Журнал Лондонского математического общества . 35 (3): 385–394. дои : 10.1112/jlms/s2-35.3.385 . МР 0889362 .

[19] Семереди, Эндре (1990). «Наборы целых чисел, не содержащие арифметических прогрессий» . Acta Mathematica Hungarica . 56 (1–2): 155–158. дои : 10.1007/BF01903717 . МР 1100788 .

[20] Сандерс, Том (2011). «О теореме Рота о прогрессиях». Анналы математики . 174 (1): 619–636. arXiv : 1011.0104 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.1.20 . МР 2811612 . S2CID 53331882 .

[21] Блум, Томас Ф. (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 93 (3): 643–663. arXiv : 1405.5800 . дои : 10.1112/jlms/jdw010 . МР 3509957 . S2CID 27536138 .

[22] Блум, Томас Ф.; Сисаск, Олоф (2020). «Преодоление логарифмического барьера в теореме Рота об арифметических прогрессиях». arXiv : 2007.03528v2 [ math.NT ].

[23] Блум, Томас Ф.; Сисаск, Олоф (2023). «Улучшение границ Келли-Мека для трехчленных арифметических прогрессий». arXiv : 2309.02353v1 [ math.NT ].

[24] Келли, Зандер; Мека, Рагху (2023). «Сильные границы для 3-прогрессий». arXiv : 2302.05537v5 [ math.NT ].

[25] Грин, Бен; Тао, Теренс (2009). «Новые оценки теоремы Семереди. II. Новая оценка для r ₄ ( N )». В Чене, Уильям В.Л.; Гауэрс, Тимоти ; Хальберштам, Хейни ; Шмидт, Вольфганг ; Воган, Роберт Чарльз (ред.). Новые оценки для теоремы Семереди, II: Новая оценка для r_4(N) . Аналитическая теория чисел. Очерки в честь Клауса Рота по случаю его 80-летия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 180–204. arXiv : math/0610604 . Бибкод : 2006math.....10604G . ISBN 978-0-521-51538-2 . МР 2508645 . Збл 1158.11007 .

[26] Грин, Бен; Люди, Теренс (2017). «Новые оценки для теоремы Семереди III: полилогарифмическая оценка для r ₄ (N)». Математика . 63 (3): 944–1040. arXiv : 1705.01703 . дои : 10.1112/S0025579317000316 . МР 3731312 . S2CID 119145424 .

[27] Ленг, Джеймс; Сах, Эшвин; Сони, Мехтааб (2024). «Улучшенные оценки теоремы Семереди». arXiv : 2402.17995 .

[28] Ленг, Джеймс; Сах, Эшвин; Сони, Мехтааб (2023). «Улучшенные границы пятичленных арифметических прогрессий». arXiv : 2312.10776 .

[29] Сломан, Лейла (5 августа 2024 г.). «Аспиранты находят неизбежные закономерности в больших наборах чисел» . Журнал Кванта . Проверено 7 августа 2024 г.

[30] Фюрстенберг, Гилель ; Кацнельсон, Ицхак (1978). «Эргодическая теорема Семереди для коммутирующих преобразований» . Журнал Математического Анализа . 38 (1): 275–291. дои : 10.1007/BF02790016 . МР 0531279 . S2CID 123386017 .

[31] Гауэрс, Тимоти (2007). «Регулярность гиперграфа и многомерная теорема Семереди». Анналы математики . 166 (3): 897–946. arXiv : 0710.3032 . дои : 10.4007/анналы.2007.166.897 . МР 2373376 . S2CID 56118006 .

[32] Рёдль, Войтех ; Скокан, Йозеф (2004). «Лемма о регулярности k-равномерных гиперграфов». Алгоритмы случайных структур . 25 (1): 1–42. дои : 10.1002/rsa.20017 . МР 2069663 . S2CID 7458739 .

[33] Рёдль, Войтех ; Скокан, Йозеф (2006). «Применение леммы о регулярности для однородных гиперграфов» (PDF) . Алгоритмы случайных структур . 28 (2): 180–194. дои : 10.1002/rsa.20108 . МР 2198496 . S2CID 18203198 .

[34] Нэгл, Брендан; Рёдль, Войтех ; Шахт, Матиас (2006). «Счетная лемма для регулярных k-однородных гиперграфов». Алгоритмы случайных структур . 28 (2): 113–179. дои : 10.1002/rsa.20117 . МР 2198495 . S2CID 14126774 .

[35] Тао, Теренс (2006). «Вариант леммы об удалении гиперграфа» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 113 (7): 1257–1280. arXiv : math/0503572 . дои : 10.1016/j.jcta.2005.11.006 . МР 2259060 .

[36] Бергельсон, Виталий ; Лейбман, Александр (1996). «Полиномиальные расширения теорем Ван дер Вардена и Семереди» . Журнал Американского математического общества . 9 (3): 725–753. дои : 10.1090/S0894-0347-96-00194-4 . МР 1325795 .

[37] Фюрстенберг, Гилель ; Кацнельсон, Ицхак (1991). «Плотная версия теоремы Хейлза – Джуитта» . Журнал Математического Анализа . 57 (1): 64–119. дои : 10.1007/BF03041066 . МР 1191743 . S2CID 123036744 .

[38] Вольф, Юлия (2015). «Модели конечных полей в арифметической комбинаторике — десять лет спустя» . Конечные поля и их приложения . 32 : 233–274. дои : 10.1016/j.ffa.2014.11.003 . hdl : 1983/d340f853-0584-49c8-a463-ea16ee51ce0f . МР 3293412 .

[39] Конлон, Дэвид ; Фокс, Джейкоб ; Чжао, Юфэй (2015). «Относительная теорема Семереди» . Геометрический и функциональный анализ . 25 (3): 733–762. arXiv : 1305.5440 . дои : 10.1007/s00039-015-0324-9 . МР 3361771 . S2CID 14398869 .

[40] Чжао, Юфэй (2014). «Арифметическое переносное доказательство относительной теоремы Семереди». Математические труды Кембриджского философского общества . 156 (2): 255–261. arXiv : 1307.4959 . Бибкод : 2014MPCPS.156..255Z . дои : 10.1017/S0305004113000662 . МР 3177868 . S2CID 119673319 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]