Метод круга Харди – Рамануджана – Литтлвуда.

В математике метод круга Харди -Рамануджана-Литтлвуда является методом аналитической теории чисел . Она названа в честь Г.Х. Харди , С. Рамануджана и Дж. Э. Литтлвуда , развивших ее в серии статей по проблеме Уоринга .

История

Первоначальную идею обычно приписывают работе Харди со Шринивасой Рамануджаном несколькими годами ранее, в 1916 и 1917 годах, об асимптотике статистической суммы . Ее подхватили многие другие исследователи, в том числе Гарольд Дэвенпорт и И. М. Виноградов , которые несколько модифицировали формулировку (перейдя от комплексного анализа к экспоненциальным суммам ), не меняя при этом общих линий. За этим последовали сотни статей, и по состоянию на 2022 г. ^[update] метод все еще дает результаты. Этот метод является предметом монографии Vaughan (1997) Р. К. Вогана .

Контур

Цель — доказать асимптотическое поведение ряда: показать, что $a n ~ F (n)$ для некоторой функции. Это делается путем взятия производящей функции ряда и последующего вычисления остатков около нуля (по сути, коэффициентов Фурье ). Технически производящая функция масштабируется так, чтобы иметь радиус сходимости 1, поэтому она имеет особенности на единичной окружности - поэтому невозможно взять контурный интеграл по единичной окружности.

Метод круга заключается, в частности, в том, как вычислить эти остатки, разделив круг на второстепенные дуги (большая часть круга) и большие дуги (маленькие дуги, содержащие наиболее значимые особенности), а затем ограничивая поведение на второстепенных дугах. Ключевое понимание состоит в том, что во многих представляющих интерес случаях (таких как тэта-функции ) особенности возникают в корнях единицы , а значимость особенностей находится в порядке последовательности Фарея . Таким образом, можно исследовать наиболее существенные особенности и, если повезет, вычислить интегралы.

Настраивать

Рассматриваемая окружность изначально была единичной окружностью на комплексной плоскости. что для последовательности комплексных чисел $an n$ для $Предполагая, что проблема была сначала сформулирована в терминах , = 0, 1, 2, 3,...$ нам нужна некоторая асимптотическая информация типа $a n ~ F (n)$ , где у нас есть какое-то эвристическое основание угадать форму, которую принимает $F$ ( анзац ), мы пишем

f(z)=\sum a_{n}z^{n}

степенного ряда производящая функция . Интересны случаи, когда $f$ имеет радиус сходимости, равный 1, и мы предполагаем, что поставленная задача была изменена, чтобы представить эту ситуацию.

Остатки

следует, Из этой формулировки непосредственно из теоремы о вычетах что

I_{n}=\oint _{C}f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}

для целых чисел $n \geq 0$ , где $C$ — круг радиуса $r$ с центром в 0, для любого $r$ с $0 < r <1$ ; другими словами, $I_{n}$ представляет собой контурный интеграл , проинтегрированный по описанному кругу, пройденному один раз против часовой стрелки. Мы хотели бы взять $r = 1$ напрямую, то есть использовать контур единичной окружности. В формулировке комплексного анализа это проблематично, поскольку значения $f$ там не могут быть определены.

Особенности на единичной окружности

Проблема, решаемая методом круга, состоит в том, чтобы заставить принять $r = 1$ за счет хорошего понимания природы особенностей f, которые проявляются на единичном круге. Фундаментальное понимание заключается в роли, которую играет последовательность рациональных чисел Фэрея или, что то же самое, корни из единицы :

\zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right).

Здесь знаменатель $s$ , полагая, что $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ r / s ⁠$ , оказывается в самых низких терминах , определяет относительную важность сингулярного поведения типичного $f$ вблизи $ζ$ .

Метод

Таким образом можно выразить метод круга Харди-Литтлвуда для комплексно-аналитической формулировки. Вклады в оценку $In следует$ при $r \to 1$ рассматривать двумя способами, традиционно называемыми главными дугами и второстепенными дугами . Мы разделим корни из единицы $ζ$ на два класса в зависимости от того, $s ⩽ N$ или $s > N$ , где $N$ — функция от $n$ , которую нам удобно выбирать. Интеграл $I n$ разбивается на интегралы каждый по некоторой дуге окружности, прилегающей к $ζ$ , длина которой зависит от $s$ (опять же на наше усмотрение). Дуги составляют целый круг; сумма интегралов по большим дугам должна составить $2 πiF (n)$ (реально, это произойдет до управляемого остаточного члена). Сумма интегралов по малым дугам заменяется верхней оценкой , меньшей по порядку, чем $F (n)$ .

Обсуждение

Если говорить так смело, то совсем не ясно, можно ли заставить это работать. Понимание, связанное с этим, довольно глубоко. Одним из очевидных источников является теория тэта-функций .

Проблема Уоринга

В контексте проблемы Уоринга степени тета-функций являются производящими функциями для функции суммы квадратов . Их аналитическое поведение известно гораздо точнее, чем, например, для кубов.

Типичное сингулярное поведение тета-функции .

Как показывает диаграмма в искусственных цветах, это тот случай, когда для тета-функции «самая важная» точка на граничном круге находится в точке $z = 1$ ; за ним следует $z = -1$ , а затем два комплексных кубических корня из единицы в отметки 7 часов и 11 часов. имеют корни четвертой степени из единицы $i$ и $- i$ После этого наибольшее значение . Хотя ничто в этом не гарантирует, что аналитический метод будет работать, оно объясняет обоснование использования критерия типа ряда Фарея для корней из единицы.

В случае проблемы Уоринга необходимо взять достаточно большую степень производящей функции, чтобы создать ситуацию, в которой сингулярности, организованные в так называемые сингулярные серии , преобладают. Чем менее расточительны оценки, использованные для остальных, тем точнее результаты. Как Брайан Бёрч выразился , этот метод по своей сути расточителен. Это не относится к случаю статистической суммы, которая сигнализировала о возможности того, что в благоприятной ситуации потери от оценок можно будет контролировать.

Vinogradov trigonometric sums

Позднее И. М. Виноградов расширил методику, заменив формулировку экспоненциальной суммы f ( z ) конечным рядом Фурье , так что соответствующий интеграл $I n$ является коэффициентом Фурье . Виноградов применил конечные суммы к проблеме Уоринга в 1926 году, и общий метод тригонометрических сумм стал известен как «метод круга Харди, Литтлвуда и Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова». ^{[ 1 ]} По сути, все это означает отбрасывание всего «хвоста» производящей функции, что позволяет $значение r$ установить в ограничивающей операции непосредственно на значение 1.

Приложения

Уточнения метода позволили доказать результаты о решениях однородных диофантовых уравнений , если число переменных $k$ велико по сравнению со степенью $d$ (см теорему Берча ., например, ). Это оказывается вкладом в принцип Хассе , способный дать количественную информацию. Если $d$ фиксировано, а $k$ мало, требуются другие методы, и действительно, принцип Хассе имеет тенденцию не работать.

Контур Радемахера

В частном случае, когда метод окружности применяется для нахождения коэффициентов модулярной формы отрицательного веса, Ганс Радемахер нашел модификацию контура, которая заставляет ряды, возникающие из метода окружности, сходиться к точному результату. Для описания его контура удобно заменить единичную окружность верхней полуплоскостью, сделав замену $z = exp(2π iτ)$ , так что контурный интеграл становится интегралом от $τ = i$ до $τ = 1 + i$ . (Число $i$ можно заменить любым числом в верхней полуплоскости , но $i$ — наиболее удобный выбор.) Контур Радемахера (более или менее) задается границами всех кругов Форда от 0 до 1, как показано на диаграмме. Замена прямой от $i$ на $1+ i$ границами этих окружностей — нетривиальный предельный процесс, который можно обосновать для модулярных форм, имеющих отрицательный вес, а с большей осторожностью можно обосновать и для непостоянных членов. для случая веса 0 (другими словами, модульные функции ).

Примечания

^ Mardzhanishvili (1985), pp. 387–388

Ссылки

Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97127-8
Марджанишвили, К.К. (1985), «Иван Матвеевич Виноградов: краткий очерк его жизни и творчества», И.М. Виноградов, Избранные произведения , Берлин {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Радемахер, Ганс (1943), «О разложении статистической суммы в ряд», Анналы математики , вторая серия, 44 (3), Анналы математики, Vol. 44, № 3: 416–422, номер документа : 10.2307/1968973 , JSTOR 1968973 , MR 0008618.
Воган, Р.К. (1997), Метод Харди – Литтлвуда , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 125 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-57347-4

Дальнейшее чтение

Ван, Юань (1991). Диофантовы уравнения и неравенства в полях алгебраических чисел . Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-58171-7 . ISBN 9783642634895 . ОСЛК 851809136 .

Внешние ссылки

Теренс Тао , Эвристические ограничения метода круга , сообщение в блоге, 2012 г.

[1] Mardzhanishvili (1985), pp. 387–388

[ 1 ]