Последовательность пальцев

Диаграмма Фарея для F ₉ представлена ​​дугами окружностей. На изображении SVG наведите указатель мыши на кривую, чтобы выделить ее и ее элементы.

Диаграмма Фарея к F ₉ .

Симметричный узор, составленный знаменателями последовательности Фэрея F ₉ .

Симметричный узор, составленный знаменателями последовательности Фэрея, F ₂₅ .

В математике последовательность Фарея порядка n — это последовательность полностью уменьшенных дробей либо между 0 и 1, либо без этого ограничения, которые в наименьших терминах имеют знаменатели, меньшие или равные n , расположенные в порядке возрастания размера.

При ограниченном определении каждая последовательность Фарея начинается со значения 0, обозначаемого дробью 0/1 дробью обозначаемым и заканчивается значением 1, 1/1 некоторые авторы опускают эти ( хотя термины).

Последовательность Фарея иногда называют рядом Фарея , что не совсем правильно, поскольку члены не суммируются.

Примеры

Последовательности Фарея порядков с 1 по 8:

Ф ₁ = { 0 / 1 _, 1 / 1 }

F2 _{ = 0 / 1 _, 1 / 2 _, 1 / 1 }

F ₃ = { 0 / 1 _, 1 / 3 _, 1 / 2 _, 2 / 3 _, 1 / 1 }

Ф ₄ = { 0 / 1 _, 1 / 4 _, 1 / 3 _, 1 / 2 _, 2 / 3 _, 3 / 4 _, 1 / 1 }

Ф ₅ = { 0 / 1 _, 1 / 5 _, 1 / 4 _, 1 / 3 _, 2 / 5 _, 1 / 2 _, 3 / 5 _, 2 / 3 _, 3 / 4 _, 4 / 5 _, 1 / 1 }

Ф ₆ = { 0 / 1 _, 1 / 6 _, 1 / 5 _, 1 / 4 _, 1 / 3 _, 2 / 5 _, 1 / 2 _, 3 / 5 _, 2 / 3 _, 3 / 4 _, 4 / 5 _, 5 / 6 _, 1 / 1 }

Ф ₇ = { 0 / 1 _, 1 / 7 _, 1 / 6 _, 1 / 5 _, 1 / 4 _, 2 / 7 _, 1 / 3 _, 2 / 5 _, 3 / 7 _, 1 / 2 _, 4 / 7 _, 3 / 5 _, 2 / 3 _, 5 / 7 _, 3 / 4 _, 4 / 5 _, 5 / 6 _, 6 / 7 _, 1 / 1 }

Ф ₈ = { 0 / 1 _, 1 / 8 _, 1 / 7 _, 1 / 6 _, 1 / 5 _, 1 / 4 _, 2 / 7 _, 1 / 3 _, 3 / 8 _, 2 / 5 _, 3 / 7 _, 1 / 2 _, 4 / 7 _, 3 / 5 _, 5 / 8 _, 2 / 3 _, 5 / 7 _, 3 / 4 _, 4 / 5 _, 5 / 6 _, 6 / 7 _, 7 / 8 _, 1 / 1 }

Центрировано
Ф 1 = { 0 / 1 , 1 / 1 }
F2 { = 0 / 1 , 1 / 2 , 1 / 1 }
F 3 = { 0 / 1 , 1 / 3 , 1 / 2 , 2 / 3 , 1 / 1 }
Ф 4 = { 0 / 1 , 1 / 4 , 1 / 3 , 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 1 / 1 }
Ф 5 = { 0 / 1 , 1 / 5 , 1 / 4 , 1 / 3 , 2 / 5 , 1 / 2 , 3 / 5 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , 1 / 1 }
Ф 6 = { 0 / 1 , 1 / 6 , 1 / 5 , 1 / 4 , 1 / 3 , 2 / 5 , 1 / 2 , 3 / 5 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , 5 / 6 , 1 / 1 }
Ф 7 = { 0 / 1 , 1 / 7 , 1 / 6 , 1 / 5 , 1 / 4 , 2 / 7 , 1 / 3 , 2 / 5 , 3 / 7 , 1 / 2 , 4 / 7 , 3 / 5 , 2 / 3 , 5 / 7 , 3 / 4 , 4 / 5 , 5 / 6 , 6 / 7 , 1 / 1 }
Ф 8 = { 0 / 1 , 1 / 8 , 1 / 7 , 1 / 6 , 1 / 5 , 1 / 4 , 2 / 7 , 1 / 3 , 3 / 8 , 2 / 5 , 3 / 7 , 1 / 2 , 4 / 7 , 3 / 5 , 5 / 8 , 2 / 3 , 5 / 7 , 3 / 4 , 4 / 5 , 5 / 6 , 6 / 7 , 7 / 8 , 1 / 1 }

Отсортировано

F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Феерический солнечный свет

Построение графика числителей F ₆ и знаменателей

Звездообразования итераций 1–10 наложены друг на друга

Построение графика зависимости числителей от знаменателей последовательности Фарея дает форму, подобную той, что справа, показанной для F ₆ .

Отражение этой формы вокруг диагональной и главной осей создает солнечные лучи Фейри , показанные ниже. Солнечная вспышка Фарея порядка n соединяет видимые точки целочисленной сетки от начала координат в квадрате со стороной 2 n с центром в начале координат. Используя теорему Пика , площадь солнечной вспышки равна 4(| F _n |−1), где | ж _п | — количество дробей в F _n .

Солнечная вспышка Фарея 6-го порядка с 1 внутренней (красной) и 96 граничными (зелеными) точками, дающими площадь 1 + 96/2 = − 1 48, согласно теореме Пика.

История

Очень любопытна история «сериала Фэри» — Харди и Райт (1979).

... И снова человек, чье имя было дано математическому соотношению, не был первооткрывателем, насколько свидетельствуют записи. - Бейлер (1964)

Последовательности Фейри названы в честь британского геолога Джона Фэри-старшего , чье письмо об этих последовательностях было опубликовано в « Философском журнале» в 1816 году. Фейри предположил, не предоставив доказательств, что каждый новый член в разложении последовательности Фэрея является медиантой своих соседей. . Письмо Фарея было прочитано Коши , который представил доказательство в своих математических упражнениях и приписал этот результат Фарею. Фактически, другой математик, Чарльз Арос , опубликовал аналогичные результаты в 1802 году, которые не были известны ни Фари, ни Коши. Таким образом, это была историческая случайность, которая связала имя Фари с этими эпизодами. Это пример закона эпонимии Стиглера .

Свойства

Длина последовательности и индекс дроби

Последовательность Фарея порядка n содержит все члены последовательностей Фарея более низких порядков. В частности, F _n содержит все члены F _{n −1} , а также содержит дополнительную дробь для каждого числа, которое меньше n и взаимно просто с n . Таким образом, F ₆ состоит из F ₅ вместе с дробями 1/6 ​ ​ и 5 / 6 .

Средний член последовательности Фарея F _n всегда равен 1/2 ​ ​ , для n > 1. Отсюда мы можем связать длины F _n и F _{n −1,} используя функцию тотента Эйлера $\varphi (n)$ :

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).$

Используя тот факт, что | Ф ₁ | = 2, мы можем вывести выражение для длины F _n :

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),$

где $\Phi (n)$ является суммирующим фактором .

У нас также есть:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),$

и по формуле обращения Мёбиуса :

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,$

где µ( d ) — теоретико-числовая функция Мёбиуса , и $\lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor$ это функция пола .

Асимптотическое поведение | ж _н | является :

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.$

Индекс $I_{n}(a_{k,n})=k$ дроби $a_{k,n}$ в последовательности Фэрея $F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ это просто позиция, которая $a_{k,n}$ занимает в последовательности. Это имеет особое значение, поскольку используется в альтернативной формулировке гипотезы Римана , см. ниже . Далее следуют различные полезные свойства:

$I_{n}(0/1)=0,$

$I_{n}(1/n)=1,$

$I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,$

$I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,$

$I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).$

Индекс $1/k$ где $n/(i+1)<k\leq n/i$ и $n$ является наименьшим общим кратным первого $i$ цифры, $n={\rm {lcm}}([2,i])$, определяется:

$I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).$

Соседи Фари

Дроби, являющиеся соседними членами в любой последовательности Фарея, называются парой Фарея и обладают следующими свойствами.

Если а / б и c / d — соседи в последовательности Фарея, причем а / б < c / d , то их разница с / д - а / б равно 1 / сп . С

${\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},$

это равносильно тому, что

$bc-ad=1$.

Таким образом 1/3 ​ ​ и 2/5 их 5 являются соседями в F _{, а} разница равна 1 / 15 .

Обратное также верно. Если

$bc-ad=1$

для натуральных чисел a , b , c и d с a < b и c < d, тогда а / б и c / d будут соседями в последовательности Фарея порядка max( b,d ).

Если у p / q есть соседи а / б и c / d в некоторой последовательности Фарея, при этом

${\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}$

затем p / q – медиана ​ а / б и c / d – другими словами,

${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.$

Это легко следует из предыдущего свойства, поскольку если bp – aq = qc – pd = 1 , то bp + pd = qc + aq , p ( b + d ) = q ( a + c ) , п / д = а + с / б + г .

Отсюда следует, что если а / б и c / d являются соседями в последовательности Фарея, то первый член, который появляется между ними при увеличении порядка последовательности Фарея, равен

${\frac {a+c}{b+d}},$

который впервые появляется в последовательности Фарея порядка b + d .

Таким образом, первый термин, который появляется между 1/3 ​ ​ и 2/5 ​ ​ это 3/8 , 8 появляется в F _{который} .

Общее количество пар соседей Фарея в F _n равно 2| ж _п | − 3.

Дерево Штерна-Броко представляет собой структуру данных, показывающую, как последовательность строится из 0 (= 0/1 = ) и 1 ( 1/1 ) , . взяв последовательные медианы

эквивалентной

Каждая последовательная пара рациональных чисел Фэрея имеет эквивалентную площадь, равную 1. Посмотрите это, интерпретируя последовательные рациональные числа r ₁ = p / q и r ₂ = p ′/ q ′ как векторы ( p , q ) в плоскости x – y. Площадь A ( p / q , p ′/ q ′) определяется выражением qp ′ − q ′ p . Поскольку любая добавленная дробь между двумя предыдущими последовательными дробями последовательности Фарея рассчитывается как медиана (⊕), тогда A ( r ₁ , r ₁ ⊕ r ₂ ) = A ( r ₁ , r ₁ ) + A ( r ₁ , r ₂ ) = A ( r ₁ , r ₂ ) = 1 (поскольку r ₁ = 1/0 и r ₂ = 0/1, его площадь должна быть равна 1).

и

Дроби, которые появляются как соседи в последовательности Фарея, имеют тесно связанные разложения непрерывных дробей . У каждой дроби есть два разложения непрерывных дробей — в одном последний член равен 1; в другом конечном члене больше на 1. Если p / q , который впервые появляется в последовательности Фарея F _q , имеет продолжение дробного расширения.

[0; а ₁ , а ₂ , ..., а _{п - 1} , а _п , 1]

[0; а ₁ , а ₂ , ..., а _{п - 1} , а _п + 1]

тогда ближайший сосед p / q в F _q (который будет его соседом с большим знаменателем) имеет разложение в цепную дробь

[0; а ₁ , а ₂ , ... н _] ,

а другой его сосед имеет непрерывное дробное расширение

[0; а ₁ , а ₂ , ..., а _{п - 1} ]

Например, 3/8 [ 0 имеет два разложения цепной дроби ; 2, 1, 1, 1] и [0; 2, 1, 2] , а его соседями в F ₈ являются 2/5 0 ; , который можно расширить как [ 2, 1, 1] ; и 1/3 , ; который можно расширить как [0 2, 1] .

и наименьшее

lcm можно выразить как произведение фракций Фарея как

${\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}$

где $\psi (N)$ – вторая функция Чебышева .

Дроби Фарея и наибольший общий делитель

Поскольку функция тотента Эйлера напрямую связана с НОД, то же самое относится и к количеству элементов в F _n ,

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.$

Для любых 3 фракций Фарея а / б , с / д и e / f имеет место следующее тождество между НОД 2x2 определителей матрицы по абсолютному значению:

$\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)$

Приложения

Последовательности Фарея очень полезны для поиска рациональных приближений иррациональных чисел. Например, конструкция Элиаху Чтобы получить нижнюю границу длины нетривиальных циклов в процессе 3 x +1, используются последовательности Фарея для вычисления разложения числа log ₂ в непрерывную дробь (3).

В физических системах с резонансными явлениями последовательности Фарея представляют собой очень элегантный и эффективный метод расчета местоположений резонансов в 1D. и 2Д.

Последовательности Фарея играют важную роль в исследованиях планирования пути под любым углом на сетках с квадратными ячейками, например, для характеристики их вычислительной сложности. или оптимальность. Соединение можно рассматривать с точки зрения r -ограниченных путей, а именно путей, состоящих из отрезков линий, каждый из которых пересекает не более $r$ ряды и максимум $r$ столбцы ячеек. Позволять $Q$ быть набором векторов $(q,p)$ такой, что $1\leq q\leq r$, $0\leq p\leq q$, и $p$, $q$ взаимнопросты. Позволять $Q*$ быть результатом размышления $Q$ в линии $y=x$. Позволять $S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}$. Тогда любой путь с r -ограничениями можно описать как последовательность векторов из $S$. Существует биекция между $Q$ и последовательность порядка Фарея $r$ данный $(q,p)$ сопоставление с ${\tfrac {p}{q}}$.

Фордовые круги

Сравнение окружностей Форда и диаграммы Фарея с дугами окружностей для n от 1 до 9. Каждая дуга пересекает соответствующие ей окружности под прямым углом. На изображении SVG наведите указатель мыши на круг или кривую, чтобы выделить его и его термины.

Существует связь между последовательностью Фэрея и кругами Форда .

Для каждой дроби p / q (в низших терминах) существует круг Форда C[ p / q ], представляющий собой круг радиусом 1/(2 q ² ) и центр в ( п / к , 1/2 ​ кв . ²  ). Два круга Форда для разных дробей либо не пересекаются , либо касаются друг друга — два круга Форда никогда не пересекаются. Если 0 < p / q < 1, то окружности Форда, касающиеся C[ p / q ] — это в точности круги Форда для дробей, являющихся соседями p / q в некоторой последовательности Фарея.

Таким образом, C [ 2/5 ​ ] касается C [ 1 / 2 ], С [ 1 / 3 ], С [ 3 / 7 ], С [ 3/8 . д ] и т.

Круги Форда появляются и в аполлонической прокладке (0,0,1,1). На рисунке ниже это показано вместе с резонансными линиями Фарея.

Аполлоническая прокладка (0,0,1,1) и резонансная диаграмма Фарея.

Гипотеза

Последовательности Фарея используются в двух эквивалентных формулировках гипотезы Римана . Предположим, условия $F_{n}$ являются $\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$. Определять $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$, другими словами $d_{k,n}$ - это разница между k -м членом n-й последовательности Фарея и k -м членом набора из того же количества точек, равномерно распределенных на единичном интервале. В 1924 году Жером Франель. доказал, что утверждение

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

эквивалентно гипотезе Римана, а затем Эдмунда Ландау заметил (сразу после статьи Франеля), что утверждение

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2$

также эквивалентно гипотезе Римана.

Другие суммы,

Сумма всех дробей Фарея порядка n равна половине количества элементов:

$\sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.$

Сумма знаменателей в последовательности Фарея в два раза превышает сумму числителей и относится к общей функции Эйлера:

$\sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),$

которое было предположено Гарольдом Л. Аароном в 1962 году и продемонстрировано Джин А. Блейк в 1966 году. Однострочное доказательство гипотезы Гарольда Л. Аарона выглядит следующим образом. Сумма числителей равна ${\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}$. Сумма знаменателей равна ${\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}$. Частное первой суммы на вторую сумму равно ${\frac {1}{2}}$.

Пусть b _j — упорядоченные знаменатели F _n , тогда:

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}$

и

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.$

Пусть a _j / b _{j —} -я дробь j Фарея в F _n , тогда

$\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,$

что продемонстрировано в. Также согласно этой ссылке член внутри суммы может быть выражен по-разному:

$a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor ,$

получая таким образом много разных сумм по элементам Фарея с одним и тем же результатом. Использование симметрии вокруг 1/2 прежнего сумма может быть ограничена половиной последовательности как

$\sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil ,$

Функцию Мертенса можно выразить в виде суммы по дробям Фарея следующим образом:

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}$ где ${\mathcal {F}}_{n}$ — последовательность Фарея порядка n .

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля–Ландау .

Следующий семестр

Существует удивительно простой алгоритм генерации членов F _n либо в традиционном порядке (по возрастанию), либо в нетрадиционном порядке (по убыванию). Алгоритм вычисляет каждую последующую запись на основе двух предыдущих записей, используя указанное выше свойство медианы. Если а / б и c / d — две заданные записи, а p / q — неизвестная следующая запись, тогда с / д = а + п / б + q . С c / d в самых низких терминах, должно существовать целое число k такое, что kc = a + p и kd = b + q , что дает p = kc - a и q = kd - b . Если мы считаем p и q функциями k , то

${\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}$

поэтому чем больше k , тем ближе п / к добирается до с / д .

Чтобы получить следующий член последовательности, k должно быть как можно большим при условии, что kd − b ≤ n (поскольку мы рассматриваем только числа со знаменателями, не превышающими n ), поэтому k — наибольшее целое число ≤ n. п + б / д . Подводя это значение k обратно в уравнения для p и q, получаем

$p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a$

$q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b$

это реализовано В Python следующим образом:

def farey_sequence(n: int, descending: bool = False) -> None:
    """Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending."""
    a, b, c, d = 0, 1, 1, n
    if descending:
        a, c = 1, n - 1
    print(f"{a}/{b}")
    while 0 <= c <= n:
        k = (n + b) // d
        a, b, c, d = c, d, k * c - a, k * d - b
        print(f"{a}/{b}")

При грубом поиске решений диофантовых уравнений в рациональных числах часто можно воспользоваться рядом Фэрея (для поиска только приведенных форм). Хотя этот код использует первые два термина последовательности для инициализации a , b , c и d , можно заменить любую пару соседних терминов, чтобы исключить те, которые меньше (или больше) определенного порога.

См. также

• Узор АБАКАБА
• Дерево Штерна – Броко
• Функция Эйлера

Дальнейшее чтение

• Хэтчер, Аллен (2022), Топология чисел , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-1470456115
• Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989). Конкретная математика: основа информатики (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN  0-201-55802-5 . — в частности, см. §4.5 (с. 115–123), Бонусная задача 4.61 (с. 150, 523–524), §4.9 (с. 133–139), §9.3, Задача 9.3.6 (с. 462– 463).
• Вепстас, Линас. «Вопросительный знак Минковского, GL (2, Z) и модульная группа» (PDF) . - рассматривает изоморфизмы дерева Штерна-Броко.
• Вепстас, Линас. «Симметрии карт удвоения периода» (PDF) . - рассматривает связи между фракциями Фари и фракталами.
• Кобели, Кристиан; Захареску, Александру (2003). «Последовательность Хароса – Фэри через двести лет. Обзор». Акта Univ. Апуленсис Матем. Информ. (5): 1–38. «Стр. 1–20» (PDF) . Акта Univ. Апуленсис . «Стр. 21–38» (PDF) . Акта Univ. Апуленсис .
• Матвеев, Андрей О. (2017). Последовательности Фарея: двойственность и карты между подпоследовательностями . Берлин, Делавэр: Де Грюйтер. ISBN  978-3-11-054662-0 . Исправления + код

Внешние ссылки

• Хэтчер, Аллен. «Топология чисел» (PDF) . Онлайн-копия книги
• Богомольный, Александр . «Серия Фэйри» . Разрезать узел .
• Богомольный, Александр . «Дерево Штерна-Броко» . Разрезать узел .
• Пеннестри, Этторе. «Таблица Броко с основанием 120» .
• «Ряд Фэри» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Дерево Штерна-Броко» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A005728 (количество дробей в ряду Фарея порядка n)
• Последовательность OEIS A006842 (Числители ряда Фарея порядка n)
• Последовательность OEIS A006843 (знаменатели ряда Фарея порядка n)
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Бонаон, Фрэнсис . Веселые дроби и круги Форда (видео). Брэйди Харан . Проверено 9 июня 2015 г. - через YouTube.