Сумматорная функция Тотента

В теории чисел функция общая суммирующая $\Phi (n)$ является суммирующей функцией общей функции Эйлера, определяемой следующим образом:

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N}

Это количество взаимно простых целых чисел пар ${p, q}, 1 \leq p \leq q \leq n$ .

Характеристики

Используя обращение Мёбиуса к функции тотента, получаем

\Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right)

$Φ(n)$ имеет асимптотическое разложение

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),

где $ζ(2)$ — дзета-функция Римана для значения 2.

$Φ(n)$ — количество пар взаимно простых целых чисел ${p, q}, 1 \leq p \leq q \leq n$ .

Суммарная функция взаимного тотента

Сумма взаимной функции определяется как

S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}

Эдмунд Ландау показал в 1900 году, что эта функция имеет асимптотическое поведение

S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)

где $γ$ — постоянная Эйлера–Машерони ,

A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)

и

B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).

Константа $A = 1,943596...$ иногда известна как постоянная тотента Ландау . Сумма $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}$ сходится и равен:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots

В этом случае произведение простых чисел в правой части представляет собой константу, известную как суммарная константа тотента , ^[1] и его значение: