Медиант (математика)

В математике медиана . двух дробей , обычно состоящая из четырех положительных целых чисел

{\frac {a}{c}}\quad

и

\quad {\frac {b}{d}}\quad

определяется как

\quad {\frac {a+b}{c+d}}.

То есть числитель и знаменатель медианы представляют собой суммы числителей и знаменателей данных дробей соответственно. Иногда ее называют суммой первокурсника , поскольку это распространенная ошибка на ранних этапах обучения сложению дробей .

Технически это бинарная операция над допустимыми дробями (ненулевым знаменателем), рассматриваемыми как упорядоченные пары соответствующих целых чисел, априори игнорируя точку зрения на рациональные числа как классы эквивалентности дробей. Например, медиана дробей 1/1 и 1/2 равна 2/3. Однако если дробь 1/1 заменить дробью 2/2, которая является эквивалентной дробью, обозначающей то же рациональное число 1, медиана дробей 2/2 и 1/2 составит 3/4. Для более прочной связи с рациональными числами может потребоваться свести дроби к наименьшим членам , выбирая тем самым уникальных представителей из соответствующих классов эквивалентности.

Дерево Штерна – Броко обеспечивает перечисление всех положительных рациональных чисел через медианы в низших терминах, полученных исключительно путем итеративного вычисления медианы в соответствии с простым алгоритмом.

Характеристики

Медианное неравенство. Важным свойством (также объясняющим его название) медианы является то, что она лежит строго между двумя дробями, медиантой которых она является: Если $a/c<b/d$ и $c\cdot d>0$ , затем ${\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.$ Это свойство следует из двух соотношений ${\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)$ и ${\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).$
Теоремы о сложении и делении: если $a/c=b/d$ и $c\neq 0,\ d\neq 0$ , затем ^[1] ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}$

Составление: ^[1]

{\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}

Дивиденды: ^[1]

{\frac {a-c}{c}}={\frac {b-d}{d}}

Предположим, что пара дробей a / c и b / d удовлетворяет детерминантному соотношению $bc-ad=1$ . Тогда медиата обладает тем свойством, что это самая простая дробь в интервале ( a / c , b / d ), в том смысле, что она является дробью с наименьшим знаменателем. Точнее, если дробь $a'/c'$ с положительным знаменателем c' лежит (строго) между a / c и b / d , то его числитель и знаменатель можно записать как $a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b$ и $c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d$ с двумя положительными действительными (фактически рациональными) числами $\lambda _{1},\,\lambda _{2}$ . Чтобы понять, почему $\lambda _{i}$ должно быть положительным, обратите внимание, что ${\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$ и ${\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$ должен быть положительным. Детерминирующее соотношение $bc-ad=1\,$ тогда подразумевается, что оба $\lambda _{1},\,\lambda _{2}$ должны быть целыми числами, решая систему линейных уравнений $a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b$ $c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d$ для $\lambda _{1},\lambda _{2}$ . Поэтому, $c'\geq c+d.$
Верно и обратное: предположим, что пара приведенных дробей a / c < b / d обладает тем свойством, что приведенная дробь с наименьшим знаменателем, лежащим в интервале ( a / c , b / d ), равна медиане две фракции. Тогда выполнено детерминантное соотношение $bc - ad = 1$ . Этот факт можно вывести, например, с помощью теоремы Пика , которая выражает площадь плоского треугольника, вершины которого имеют целочисленные координаты, через число v _{внутренних} точек решетки (строго) внутри треугольника и число v _границ точек решетки на граница треугольника. Рассмотрим треугольник $\Delta (v_{1},v_{2},v_{3})$ с тремя вершинами v ₁ = (0, 0), v ₂ = ( a , c ), v ₃ = ( b , d ). Его площадь равна ${\text{area}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.$ точка $p=(p_{1},p_{2})$ внутри треугольника можно параметризовать как $p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,$ где $\lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.$ Формула Пика ${\text{area}}(\Delta )=v_{\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1$ теперь подразумевает, что должна существовать точка решетки $q = (q 1, q 2),$ лежащая внутри треугольника, отличная от трех вершин, если $bc - ad > 1$ (тогда площадь треугольника равна $\geq 1$ ). Соответствующая дробь q ₁ / q ₂ лежит (строго) между заданными (по предположению приведенными) дробями и имеет знаменатель $q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d$ как $\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.$
Соответственно, если p / q и r / s — приведенные дроби на единичном интервале такие, что | пс - гк | = 1 (так что они являются соседними элементами строки последовательности Фарея ), то $?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)$ где $?$ — функция вопросительного знака Минковского .
Фактически, медианы обычно встречаются при изучении непрерывных дробей и, в частности, дробей Фарея . последовательность n -я Фарея F _n определяется как (упорядоченная по величине) последовательность приведенных дробей a / b (с взаимно простыми a , b ) такая, что b ≤ n . Если две дроби a / c < b / d являются соседними (соседними) дробями на отрезке Fn _, то определительное соотношение $bc-ad=1$ упомянутое выше обычно справедливо, и поэтому медиата — это самая простая дробь в интервале ( a / c , b / d ), в том смысле, что это дробь с наименьшим знаменателем. Таким образом, медиана тогда (сначала) появится в ( c + d )-й последовательности Фарея и является «следующей» дробью, которая вставляется в любую последовательность Фарея между a / c и b / d . Это дает правило, согласно которому последовательности Фарея последовательно _Fn строятся с увеличением n .

Графическое определение медиан

Положительное рациональное число – это единица в виде $a/b$ где $a,b$ являются положительными натуральными числами ; т.е. $a,b\in \mathbb {N} ^{+}$ . Набор положительных рациональных чисел $\mathbb {Q} ^{+}$ следовательно, является произведением декартовым $\mathbb {N} ^{+}$ сам по себе; т.е. $\mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}$ . Точка с координатами $(b,a)$ представляет собой рациональное число $a/b$ , а наклон отрезка, соединяющего начало координат с этой точкой, равен $a/b$ . С $a,b$ не обязаны быть взаимно простыми , точка $(b,a)$ представляет одно и только одно рациональное число, но рациональное число представлено более чем одной точкой; например $(4,2),(60,30),(48,24)$ все представления рационального числа $1/2$ . Это небольшая модификация формального определения рациональных чисел, ограничивающая их положительными значениями и меняющая порядок членов в упорядоченной паре. $(b,a)$ так, чтобы наклон отрезка стал равен рациональному числу.

Две точки $(b,a)\neq (d,c)$ где $a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}$ - это два представления (возможно, эквивалентных) рациональных чисел $a/b$ и $c/d$ . Отрезки, соединяющие начало координат с $(b,a)$ и $(d,c)$ образуют две смежные стороны параллелограмма. Вершиной параллелограмма, противоположной началу координат, является точка $(b+d,a+c)$ , что является медианой $a/b$ и $c/d$ .

Площадь параллелограмма равна $bc-ad$ , что также является величиной векторного произведения векторов $\langle b,a\rangle$ и $\langle d,c\rangle$ . следует Из формального определения эквивалентности рациональных чисел , что площадь равна нулю, если $a/b$ и $c/d$ эквивалентны. В этом случае один отрезок совпадает с другим, так как их наклоны равны. Площадь параллелограмма, образованного двумя последовательными рациональными числами в дереве Штерна–Броко, всегда равна 1. ^[2]

Обобщение

Понятие медианы можно обобщить на n дробей, при этом справедливо обобщенное медианное неравенство: ^[3] факт, который, кажется, впервые заметил Коши. Точнее, взвешенная медиана $m_{w}$ из n фракций $a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}$ определяется ${\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}$ (с $w_{i}>0$ ). Можно показать, что $m_{w}$ находится где-то между самой маленькой и самой большой фракцией среди $a_{i}/b_{i}$ .