Теорема Пика

В геометрии теорема Пика дает формулу для площади с простого многоугольника целочисленными координатами вершины через количество целых точек внутри него и на его границе. Результат был впервые описан Георгом Александром Пиком в 1899 году. ^{[ 2 ]} На английском языке она была популяризирована Хьюго Штейнхаусом в издании 1950 года его книги «Математические снимки» . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Он имеет множество доказательств и может быть обобщен на формулы для определенных типов непростых многоугольников.

Формула

Предположим, что многоугольник имеет целочисленные координаты всех своих вершин. Позволять $i$ — количество целых точек внутри многоугольника, и пусть $b$ — количество целых точек на его границе (включая как вершины, так и точки вдоль сторон). Тогда площадь $A$ этого многоугольника: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $A=i+{\frac {b}{2}}-1.$ Показанный пример имеет $i=7$ внутренние точки и $b=8$ граничных точек, поэтому его площадь равна $A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$ квадратные единицы.

Доказательства

По формуле Эйлера

Одно из доказательств этой теоремы включает разделение многоугольника на треугольники с тремя целыми вершинами и без других целых точек. Тогда можно доказать, что каждый разделенный треугольник имеет площадь ровно ${\tfrac {1}{2}}$ . Следовательно, площадь всего многоугольника равна половине количества треугольников в подразделении. После соотнесения площади с количеством треугольников таким образом доказательство завершается использованием формулы многогранника Эйлера , позволяющей связать количество треугольников с количеством точек сетки в многоугольнике. ^{[ 5 ]}

Первая часть этого доказательства показывает, что треугольник с тремя целыми вершинами и без других целых точек имеет площадь ровно ${\tfrac {1}{2}}$ , как гласит формула Пика. В доказательстве используется тот факт, что все треугольники замостили плоскость , а соседние треугольники повернуты на 180° друг от друга вокруг общего края. ^{[ 9 ]} Для мозаики треугольником с тремя целочисленными вершинами и без других целочисленных точек каждая точка целочисленной сетки представляет собой вершину из шести плиток. Поскольку количество треугольников на точку сетки (шесть) в два раза превышает количество точек сетки на треугольник (три), треугольники в два раза плотнее в плоскости, чем точки сетки. Любая масштабированная область плоскости содержит в два раза больше треугольников (в пределе, когда масштабный коэффициент стремится к бесконечности), чем количество содержащихся в ней точек сетки. Следовательно, каждый треугольник имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}$ , что необходимо для доказательства. ^{[ 5 ]} Другое доказательство того, что эти треугольники имеют площадь ${\tfrac {1}{2}}$ основано на использовании теоремы Минковского о узлах решетки в симметричных выпуклых множествах. ^{[ 10 ]}

Это уже доказывает формулу Пика для многоугольника, являющегося одним из этих особых треугольников. Любой другой многоугольник можно разделить на специальные треугольники: добавляйте непересекающиеся сегменты линий внутри многоугольника между парами точек сетки до тех пор, пока больше нельзя будет добавлять сегменты линий. Единственные многоугольники, которые нельзя разделить таким образом, — это рассмотренные выше особые треугольники; поэтому в результирующем подразделении могут появиться только особые треугольники. Поскольку каждый специальный треугольник имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}$ , многоугольник площади $A$ будет подразделяться на $2A$ специальные треугольники. ^{[ 5 ]}

Деление многоугольника на треугольники образует плоский граф , и формула Эйлера $V-E+F=2$ дает уравнение, применимое к числу вершин, ребер и граней любого плоского графа. Вершины — это всего лишь точки сетки многоугольника; есть $V=i+b$ из них. Грани — это треугольники подразделения и отдельная область плоскости вне многоугольника. Количество треугольников $2A$ , так что вообще есть $F=2A+1$ лица. Чтобы подсчитать ребра, обратите внимание, что есть $6A$ стороны треугольников в разрезе. Каждое ребро внутри многоугольника является стороной двух треугольников. Однако существуют $b$ ребра треугольников, лежащие вдоль границы многоугольника и образующие часть только одного треугольника. Следовательно, число сторон треугольников подчиняется уравнению $6A=2E-b$ , из которого можно определить количество ребер, $E={\tfrac {6A+b}{2}}$ . Подключая эти значения для $V$ , $E$ , и $F$ в формулу Эйлера $V-E+F=2$ дает $(i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.$ Формула Пика получается путем решения этого линейного уравнения для $A$ . ^{[ 5 ]} Альтернативный, но аналогичный расчет предполагает доказательство того, что количество ребер одного и того же подразделения равно $E=3i+2b-3$ , что приводит к тому же результату. ^{[ 11 ]}

Можно пойти и в другом направлении, взяв за основу доказательства формулы Эйлера теорему Пика (доказанную другим способом). ^{[ 6 ]}^{[ 12 ]}

Другие доказательства

Альтернативные доказательства теоремы Пика, не использующие формулу Эйлера, включают следующее.

Можно рекурсивно разложить данный многоугольник на треугольники, позволяя некоторым треугольникам подразделения иметь площадь больше 1/2. И площадь, и количество точек, используемые в формуле Пика, складываются одинаково, поэтому истинность формулы Пика для обычных многоугольников следует из ее истинности для треугольников. Любой треугольник подразделяет свою ограничивающую рамку на сам треугольник и дополнительные прямоугольные треугольники , а площади как ограничивающей рамки, так и прямоугольных треугольников легко вычислить. Объединение этих вычислений площади дает формулу Пика для треугольников, а объединение треугольников дает формулу Пика для произвольных многоугольников. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 13 ]}
Альтернативно, вместо использования квадратов сетки, центрированных в точках сетки, можно использовать квадраты сетки, вершины которых находятся в точках сетки. Эти квадраты сетки разрезают данный многоугольник на части, которые можно переставить (путем сопоставления пар квадратов вдоль каждого края многоугольника) в полимино той же площади. ^{[ 14 ]}
Теорема Пика также может быть доказана на основе комплексного интегрирования связанной двоякопериодической функции, с эллиптическими функциями Вейерштрасса . ^{[ 15 ]}
Применение формулы суммирования Пуассона к характеристической функции многоугольника приводит к другому доказательству. ^{[ 16 ]}

Теорема Пика была включена в веб-список «100 лучших математических теорем» 1999 года, который позже стал использоваться Фриком Видейком в качестве эталонного набора для проверки возможностей различных помощников по доказательству . По состоянию на 2024 год ^[update]Теорема Пика была формализована и доказана только в двух из десяти помощников по доказательству, записанных Видейком. ^{[ 17 ]}

Обобщения

Обобщения теоремы Пика на непростые многоугольники более сложны и требуют больше информации, чем просто количество внутренних и граничных вершин. ^{[ 3 ]}^{[ 18 ]} Например, многоугольник с $h$ дырками, ограниченный простыми целочисленными многоугольниками, не пересекающимися друг с другом и с границей, имеет площадь ^{[ 19 ]} $A=i+{\frac {b}{2}}+h-1.$ Также возможно обобщить теорему Пика на области, ограниченные более сложными плоскими прямолинейными графами с целочисленными координатами вершин, используя дополнительные термины, определенные с использованием эйлеровой характеристики области и ее границы: ^{[ 18 ]} или к многоугольникам с одним граничным многоугольником, который может пересекать сам себя, используя формулу, включающую количество витков многоугольника вокруг каждой целочисленной точки, а также его общее количество витков. ^{[ 3 ]}

Тетраэдры Рива в трех измерениях имеют четыре целочисленные точки в качестве вершин и не содержат других целочисленных точек, но не все они имеют одинаковый объем. Следовательно, не существует аналога теоремы Пика в трех измерениях, который выражал бы объем многогранника как функцию только от числа его внутренних и граничных точек. ^{[ 20 ]} Однако вместо этого эти объемы можно выразить с помощью полиномов Эрхарта . ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

Связанные темы

Несколько других математических тем связывают площади регионов с количеством точек сетки. Теорема Блихфельдта утверждает, что каждую фигуру можно преобразовать так, чтобы она содержала по крайней мере свою площадь в узлах сетки. ^{[ 23 ]} касается Проблема круга Гаусса ограничения ошибки между площадями и количеством точек сетки в кругах. ^{[ 24 ]} Проблема подсчета целых точек в выпуклых многогранниках возникает в нескольких областях математики и информатики. ^{[ 25 ]} В прикладных областях точечный планиметр представляет собой устройство на основе прозрачности для оценки площади фигуры путем подсчета содержащихся в ней точек сетки. ^{[ 26 ]} Последовательность Фарея — это упорядоченная последовательность рациональных чисел с ограниченными знаменателями, для анализа которой используется теорема Пика. ^{[ 27 ]}

Еще один простой метод расчета площади многоугольника — формула шнурка . Он дает площадь любого простого многоугольника как сумму членов, вычисленных по координатам последовательных пар его вершин. В отличие от теоремы Пика, формула шнурков не требует, чтобы вершины имели целочисленные координаты. ^{[ 28 ]}

Ссылки

^ Кираджиев, Кристиан (октябрь 2018 г.). «Соединение точек с помощью теоремы Пика» (PDF) . Математика сегодня . стр. 212–214.
^ Пик, Джордж (1899). «Геометрические аспекты теории чисел» . Протоколы заседания Немецкой научно-медицинской ассоциации Богемии "Лотос" в Праге . (Новый эпизод). 19 :311-319. ЖФМ 33.0216.01 . CiteBank:47270
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (февраль 1993 г.). «Теорема Пика». Американский математический ежемесячник . 100 (2): 150–161. дои : 10.2307/2323771 . JSTOR 2323771 . МР 1212401 .
^ Штайнхаус, Х. (1950). Математические снимки . Издательство Оксфордского университета. п. 76. МР 0036005 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018). «Три применения формулы Эйлера: теорема Пика». Доказательства из КНИГИ (6-е изд.). Спрингер. стр. 93–94. дои : 10.1007/978-3-662-57265-8 . ISBN 978-3-662-57265-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Уэллс, Дэвид (1991). «Теорема Пика». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Книги о пингвинах. стр. 183–184.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). «2.6 Теорема Пика». Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление в многогранниках . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер. стр. 40–43. дои : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9 . МР 3410115 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Болл, Кейт (2003). «Глава 2: Подсчет точек». Странные кривые, подсчет кроликов и другие математические исследования . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси. стр. 25–40. ISBN 0-691-11321-1 . МР 2015451 .
^ Мартин, Джордж Эдвард (1982). Геометрия трансформации . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер-Верлаг. Теорема 12.1, стр. 120. doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9 . ISBN 0-387-90636-3 . МР 0718119 .
^ Рам Мурти, М.; Тейн, Нитум (2007). «Теорема Пика через теорему Минковского». Американский математический ежемесячник . 114 (8): 732–736. дои : 10.1080/00029890.2007.11920465 . JSTOR 27642309 . МР 2354443 . S2CID 38855683 .
^ Функенбуш, WW (июнь – июль 1974 г.). «От формулы Эйлера к формуле Пика с использованием краевой теоремы». Классные заметки. Американский математический ежемесячник . 81 (6): 647–648. дои : 10.2307/2319224 . JSTOR 2319224 . МР 1537447 .
^ ДеТемпл, Дуэйн; Робертсон, Джек М. (март 1974 г.). «Эквивалентность теорем Эйлера и Пика». Учитель математики . 67 (3): 222–226. дои : 10.5951/mt.67.3.0222 . JSTOR 27959631 . МР 0444503 .
^ Варберг, Дейл Э. (1985). «Возвращение к теореме Пика». Американский математический ежемесячник . 92 (8): 584–587. дои : 10.2307/2323172 . JSTOR 2323172 . МР 0812105 .
^ Трейнин, Дж. (ноябрь 2007 г.). «Элементарное доказательство теоремы Пика». Математический вестник . 91 (522): 536–540. дои : 10.1017/S0025557200182270 . JSTOR 40378436 . S2CID 124831432 .
^ Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1995). «Формула Пика через Вейерштрасс $\wp$ -функция ». The American Mathematical Monthly . 102 (5): 431–437. : 10.2307 /2975035 . JSTOR 2975035. . MR 1327788 doi
^ Брандолини, Л.; Колзани, Л.; Робинс, С.; Травальини, Г. (2021). «Теорема Пика и сходимость кратных рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 128 (1): 41–49. дои : 10.1080/00029890.2021.1839241 . МР 4200451 . S2CID 231624428 .
^ Видейк, Фрик. «Формализация 100 теорем» . Институт компьютерных и информационных наук Университета Радбауд . Проверено 20 февраля 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Розенгольц, Ира (1979). «Расчет площадей поверхностей по чертежу». Журнал «Математика» . 52 (4): 252–256. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976797 . JSTOR 2689425 . МР 1572312 .
^ Санкар, ПВ; Кришнамурти, EV (август 1978 г.). «О компактности подмножеств цифровых изображений». Компьютерная графика и обработка изображений . 8 (1): 136–143. дои : 10.1016/s0146-664x(78)80021-5 .
^ Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. дои : 10.1112/plms/s3-7.1.378 . МР 0095452 .
^ Beck & Robins (2015) , 3.6 «От дискретного к непрерывному объему многогранника», стр. 76–77.
^ Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1997). «Полином Эрхарта решетчатого многогранника». Анналы математики . Вторая серия. 145 (3): 503–518. дои : 10.2307/2951842 . JSTOR 2951842 . МР 1454701 .
^ Олдс, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана П. (2000). «Глава 9: Новый принцип геометрии чисел». Геометрия чисел . Новая математическая библиотека Аннели Лакс. Том. 41. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 119–127. ISBN 0-88385-643-3 . МР 1817689 .
^ Гай, Ричард К. (2004). «F1: проблема точек решетки Гаусса». Нерешенные проблемы теории чисел . Задачи по математике. Том. 1 (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 365–367. дои : 10.1007/978-0-387-26677-0 . ISBN 0-387-20860-7 . МР 2076335 .
^ Барвинок, Александр (2008). Целые точки в многогранниках . Цюрихские лекции по высшей математике. Цюрих: Европейское математическое общество. дои : 10.4171/052 . ISBN 978-3-03719-052-4 . МР 2455889 .
^ Беллхаус, ДР (1981). «Оценка площади методом подсчета точек». Биометрия . 37 (2): 303–312. дои : 10.2307/2530419 . JSTOR 2530419 . МР 0673040 .
^ Брукхаймер, Максим; Аркави, Авраам (1995). «Ряд Фари и теорема Пика о площади». Математический интеллект . 17 (4): 64–67. дои : 10.1007/BF03024792 . МР 1365013 . S2CID 55051527 .
^ Брейден, Барт (1986). «Формула площади геодезиста» (PDF) . Математический журнал колледжа . 17 (4): 326–337. дои : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 апреля 2015 г. Проверено 4 июля 2021 г.

Внешние ссылки

Теорема Пика Эда Пегга-младшего , Демонстрационный проект Вольфрама .
Пи с использованием теоремы Пика Марка Даббса, GeoGebra

[kiradjiev-1] Кираджиев, Кристиан (октябрь 2018 г.). «Соединение точек с помощью теоремы Пика» (PDF) . Математика сегодня . стр. 212–214.

[pick-2] Пик, Джордж (1899). «Геометрические аспекты теории чисел» . Протоколы заседания Немецкой научно-медицинской ассоциации Богемии "Лотос" в Праге . (Новый эпизод). 19 :311-319. ЖФМ 33.0216.01 . CiteBank:47270

[gs-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (февраль 1993 г.). «Теорема Пика». Американский математический ежемесячник . 100 (2): 150–161. дои : 10.2307/2323771 . JSTOR 2323771 . МР 1212401 .

[steinhaus-4] Штайнхаус, Х. (1950). Математические снимки . Издательство Оксфордского университета. п. 76. МР 0036005 .

[az-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018). «Три применения формулы Эйлера: теорема Пика». Доказательства из КНИГИ (6-е изд.). Спрингер. стр. 93–94. дои : 10.1007/978-3-662-57265-8 . ISBN 978-3-662-57265-8 .

[wells-6] Перейти обратно: ^а ^б Уэллс, Дэвид (1991). «Теорема Пика». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Книги о пингвинах. стр. 183–184.

[discretely-7] Перейти обратно: ^а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). «2.6 Теорема Пика». Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление в многогранниках . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер. стр. 40–43. дои : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9 . МР 3410115 .

[ball-8] Перейти обратно: ^а ^б Болл, Кейт (2003). «Глава 2: Подсчет точек». Странные кривые, подсчет кроликов и другие математические исследования . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси. стр. 25–40. ISBN 0-691-11321-1 . МР 2015451 .

[edward-9] Мартин, Джордж Эдвард (1982). Геометрия трансформации . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер-Верлаг. Теорема 12.1, стр. 120. doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9 . ISBN 0-387-90636-3 . МР 0718119 .

[minkowski-10] Рам Мурти, М.; Тейн, Нитум (2007). «Теорема Пика через теорему Минковского». Американский математический ежемесячник . 114 (8): 732–736. дои : 10.1080/00029890.2007.11920465 . JSTOR 27642309 . МР 2354443 . S2CID 38855683 .

[funkenbusch-11] Функенбуш, WW (июнь – июль 1974 г.). «От формулы Эйлера к формуле Пика с использованием краевой теоремы». Классные заметки. Американский математический ежемесячник . 81 (6): 647–648. дои : 10.2307/2319224 . JSTOR 2319224 . МР 1537447 .

[equivalence-12] ДеТемпл, Дуэйн; Робертсон, Джек М. (март 1974 г.). «Эквивалентность теорем Эйлера и Пика». Учитель математики . 67 (3): 222–226. дои : 10.5951/mt.67.3.0222 . JSTOR 27959631 . МР 0444503 .

[varberg-13] Варберг, Дейл Э. (1985). «Возвращение к теореме Пика». Американский математический ежемесячник . 92 (8): 584–587. дои : 10.2307/2323172 . JSTOR 2323172 . МР 0812105 .

[trainin-14] Трейнин, Дж. (ноябрь 2007 г.). «Элементарное доказательство теоремы Пика». Математический вестник . 91 (522): 536–540. дои : 10.1017/S0025557200182270 . JSTOR 40378436 . S2CID 124831432 .

[diaz-robins-15] Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1995). «Формула Пика через Вейерштрасс $\wp$ -функция ». The American Mathematical Monthly . 102 (5): 431–437. : 10.2307 /2975035 . JSTOR 2975035. . MR 1327788 doi

[bcrt-16] Брандолини, Л.; Колзани, Л.; Робинс, С.; Травальини, Г. (2021). «Теорема Пика и сходимость кратных рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 128 (1): 41–49. дои : 10.1080/00029890.2021.1839241 . МР 4200451 . S2CID 231624428 .

[wiedijk-17] Видейк, Фрик. «Формализация 100 теорем» . Институт компьютерных и информационных наук Университета Радбауд . Проверено 20 февраля 2024 г.

[rosenholtz-18] Перейти обратно: ^а ^б Розенгольц, Ира (1979). «Расчет площадей поверхностей по чертежу». Журнал «Математика» . 52 (4): 252–256. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976797 . JSTOR 2689425 . МР 1572312 .

[sankri-19] Санкар, ПВ; Кришнамурти, EV (август 1978 г.). «О компактности подмножеств цифровых изображений». Компьютерная графика и обработка изображений . 8 (1): 136–143. дои : 10.1016/s0146-664x(78)80021-5 .

[reeve-20] Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. дои : 10.1112/plms/s3-7.1.378 . МР 0095452 .

[br2-21] Beck & Robins (2015) , 3.6 «От дискретного к непрерывному объему многогранника», стр. 76–77.

[ehrhart-22] Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1997). «Полином Эрхарта решетчатого многогранника». Анналы математики . Вторая серия. 145 (3): 503–518. дои : 10.2307/2951842 . JSTOR 2951842 . МР 1454701 .

[olds-23] Олдс, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана П. (2000). «Глава 9: Новый принцип геометрии чисел». Геометрия чисел . Новая математическая библиотека Аннели Лакс. Том. 41. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 119–127. ISBN 0-88385-643-3 . МР 1817689 .

[guy-24] Гай, Ричард К. (2004). «F1: проблема точек решетки Гаусса». Нерешенные проблемы теории чисел . Задачи по математике. Том. 1 (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 365–367. дои : 10.1007/978-0-387-26677-0 . ISBN 0-387-20860-7 . МР 2076335 .

[barvinok-25] Барвинок, Александр (2008). Целые точки в многогранниках . Цюрихские лекции по высшей математике. Цюрих: Европейское математическое общество. дои : 10.4171/052 . ISBN 978-3-03719-052-4 . МР 2455889 .

[bellhouse-26] Беллхаус, ДР (1981). «Оценка площади методом подсчета точек». Биометрия . 37 (2): 303–312. дои : 10.2307/2530419 . JSTOR 2530419 . МР 0673040 .

[bruarc-27] Брукхаймер, Максим; Аркави, Авраам (1995). «Ряд Фари и теорема Пика о площади». Математический интеллект . 17 (4): 64–67. дои : 10.1007/BF03024792 . МР 1365013 . S2CID 55051527 .

[braden-28] Брейден, Барт (1986). «Формула площади геодезиста» (PDF) . Математический журнал колледжа . 17 (4): 326–337. дои : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 апреля 2015 г. Проверено 4 июля 2021 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]