Точечный планиметр

Точечный планиметр — устройство, используемое в планиметрии для оценки площади фигуры , состоящее из прозрачного листа , содержащего квадратную сетку точек. Чтобы оценить площадь фигуры, лист накладывается на фигуру и подсчитываются точки внутри фигуры. Оценка площади представляет собой количество подсчитанных точек, умноженное на площадь одного квадрата сетки. В некоторых вариантах точки, попадающие на границу фигуры или рядом с ней, считаются половиной единицы. Точки также могут быть сгруппированы в более крупные квадратные группы с помощью линий, нарисованных на прозрачности, что позволяет добавлять к подсчету группы, которые полностью находятся внутри фигуры, вместо того, чтобы требовать подсчета их точек одну за другой. ^[1]

Оценка площади с помощью точечной сетки также называется методом точечной сетки или (особенно, когда выравнивание сетки по форме является случайным) систематической выборкой . ^[2] Возможно, из-за своей простоты его неоднократно изобретали заново. ^[3]^[4]^[5]

Приложение

В лесном хозяйстве , картографии и географии точечный планиметр применялся на картах для оценки площади земельных участков. ^[1]^[4]^[5]^[6] В ботанике и садоводстве его применяли непосредственно к образцам листьев для оценки средней площади листьев. ^[7]^[8]^[9]

В медицине его применяли к диаграммам Лэшли для оценки размера поражений головного мозга . ^[10]

В минералогии аналогичный метод подсчета точек в сетке применяется к поперечным сечениям образцов горных пород другого назначения, оценивая относительные пропорции различных составляющих минералов. ^[11]

Теория

Большей точности можно добиться, используя точечный планиметр с более мелкой сеткой точек. ^[6] В качестве альтернативы, повторное размещение точечного планиметра с различными иррациональными смещениями от его предыдущего размещения и усреднение полученных измерений может привести к набору выборочных измерений, среднее значение которых стремится к истинной площади измеренной формы. ^[3] Метод, использующий более мелкую сетку, как правило, имеет более высокую статистическую эффективность , чем повторные измерения со случайным размещением. ^[2]

Согласно теореме Пика , опубликованной Георгом Александром Пиком в 1899 году, версия точечного планиметра с граничными точками, отсчитываемыми как 1/2 (и с добавленным поправочным членом -1), дает точные результаты для многоугольников которых являются точки. , вершинами . ^[12]^[13] Согласно теореме Блихфельдта , опубликованной Гансом Фредериком Блихфельдтом в 1914 году, всегда можно сместить планиметр точки относительно заданной формы, не вращая ее, так, чтобы количество точек внутри фигуры было по крайней мере равно ее площади. ^[14]^[15]

касается Проблема круга Гаусса ошибки, которая может быть получена при использовании точечного планиметра для оценки площади круга . Как следует из названия, его изучал в начале 19 века Карл Фридрих Гаусс . Известно, что максимальная ошибка ограничена дробной степенью радиуса круга с показателем степени от 1/2 до 131/208. ^[16]

Связанные устройства

Точечный планиметр отличается от других типов планиметров , которые измеряют площадь фигуры, проводя устройство вокруг ее границы. ^[5]

Лонгиметр Штайнхауса — это аналогичное устройство, основанное на прозрачности, для оценки длины кривых путем подсчета пересечений. ^[17]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Кроммер, ДАН (январь 1949 г.), «Извлечение небольших участков неправильной формы», Australian Forestry , 13 (1): 64–66, doi : 10.1080/00049158.1949.10675768
^ Перейти обратно: ^а ^б Беллхаус, доктор медицинских наук (1981), «Оценка площади с помощью методов подсчета точек», Biometrics , 37 (2): 303–312, doi : 10.2307/2530419 , JSTOR 2530419 , MR 0673040
^ Перейти обратно: ^а ^б Штайнхаус, Гюго (1924), «Об измерении плоских полей» (PDF) , Przegląd Matematyczno-Fizyczny (на польском языке), 2 (1–2): 24–29
^ Перейти обратно: ^а ^б Абелл, Калифорния (1939), «Метод оценки площади фигур неправильной формы и ломаных фигур» (PDF) , Journal of Forestry , 37 : 344–345.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вуд, Уолтер Ф. (январь 1954 г.), «Точечный планиметр, новый способ измерения площади карты», The Professional Geographer , 6 (1): 12–14, doi : 10.1111/j.0033-0124.1954.61_12.x
^ Перейти обратно: ^а ^б Фролов Ю.С.; Малинг, Д.Х. (июнь 1969 г.), «Точность измерения площади с помощью методов подсчета точек», Картографический журнал , 6 (1): 21–35, doi : 10.1179/caj.1969.6.1.21
^ Хейнике, Дон Р. (октябрь 1963 г.), «Заметки об оценке площади листьев и их распределении на фруктовых деревьях», Canadian Journal of Plant Science , 43 (4), Canadian Science Publishing: 597–598, doi : 10.4141/cjps63- 117
^ Бенджамин, DM; Фриман, Г.Х.; Браун, Э.С. (февраль 1968 г.), «Определение участков листьев неправильной формы, разрушенных жевательными насекомыми», Annals of Applied Biology , 61 (1): 13–17, doi : 10.1111/j.1744-7348.1968.tb04505. х
^ Дольф, Гэри Э. (июль – сентябрь 1977 г.), «Влияние различных методов расчета на оценку площади листьев и построение распределения листьев по размерам», Бюллетень Ботанического клуба Торри , 104 (3): 264–269, дои : 10.2307/2484308 , JSTOR 2484308
^ Томас, Роджер К.; Пикок, LJ (январь 1965 г.), «Метод измерения поражений головного мозга», Psychonomic Science , 3 (1–12): 184, doi : 10.3758/bf03343085
^ Нилсон, MJ; Брокман, Г.Ф. (декабрь 1977 г.), «Ошибка, связанная с подсчетом точек» , Американский минералог , 62 (11–12): 1238–1244.
^ Пик, Георг (1899), «Геометрические аспекты теории чисел» , труды Немецкой научной и медицинской ассоциации Богемии «Лотос» в Праге , (новая серия) (на немецком языке), 19 : 311–319, JFM 33.0216.01 CiteBank:47270
^ Уэллс, Дэвид (1991), «Теорема Пика», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Penguin Books, стр. 183–184.
^ Бличфельдт, HF (1914), «Новый принцип геометрии чисел с некоторыми приложениями», Transactions of the American Mathematical Society , 15 (3): 227–235, doi : 10.1090/S0002-9947-1914-1500976- 6 , JSTOR 1988585 , МР 1500976
^ Олдс, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана П. (2000), «Глава 9: Новый принцип геометрии чисел», Геометрия чисел , Новая математическая библиотека Аннели Лакс, том. 41, Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 119–127, ISBN. 0-88385-643-3 , МР : 1817689
^ Гай, Ричард К. (2004), «F1: проблема точек решетки Гаусса», Нерешенные проблемы теории чисел , Сборники задач по математике, том. 1 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 365–367, doi : 10.1007/978-0-387-26677-0 , ISBN. 0-387-20860-7 , МР 2076335
^ Штайнхаус, Гюго (1931), «Лонгиметр», Czasopismo Geistyczny (на польском языке), 3 : 1–4

Внешние ссылки

Точечный планиметр , Крис Стакер, Университет Фэрфилда

[crommer-1] Перейти обратно: ^а ^б Кроммер, ДАН (январь 1949 г.), «Извлечение небольших участков неправильной формы», Australian Forestry , 13 (1): 64–66, doi : 10.1080/00049158.1949.10675768

[bellhouse-2] Перейти обратно: ^а ^б Беллхаус, доктор медицинских наук (1981), «Оценка площади с помощью методов подсчета точек», Biometrics , 37 (2): 303–312, doi : 10.2307/2530419 , JSTOR 2530419 , MR 0673040

[steinhaus-3] Перейти обратно: ^а ^б Штайнхаус, Гюго (1924), «Об измерении плоских полей» (PDF) , Przegląd Matematyczno-Fizyczny (на польском языке), 2 (1–2): 24–29

[abell-4] Перейти обратно: ^а ^б Абелл, Калифорния (1939), «Метод оценки площади фигур неправильной формы и ломаных фигур» (PDF) , Journal of Forestry , 37 : 344–345.

[wood-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вуд, Уолтер Ф. (январь 1954 г.), «Точечный планиметр, новый способ измерения площади карты», The Professional Geographer , 6 (1): 12–14, doi : 10.1111/j.0033-0124.1954.61_12.x

[fromal-6] Перейти обратно: ^а ^б Фролов Ю.С.; Малинг, Д.Х. (июнь 1969 г.), «Точность измерения площади с помощью методов подсчета точек», Картографический журнал , 6 (1): 21–35, doi : 10.1179/caj.1969.6.1.21

[heinicke-7] Хейнике, Дон Р. (октябрь 1963 г.), «Заметки об оценке площади листьев и их распределении на фруктовых деревьях», Canadian Journal of Plant Science , 43 (4), Canadian Science Publishing: 597–598, doi : 10.4141/cjps63- 117

[chewing-8] Бенджамин, DM; Фриман, Г.Х.; Браун, Э.С. (февраль 1968 г.), «Определение участков листьев неправильной формы, разрушенных жевательными насекомыми», Annals of Applied Biology , 61 (1): 13–17, doi : 10.1111/j.1744-7348.1968.tb04505. х

[dolph-9] Дольф, Гэри Э. (июль – сентябрь 1977 г.), «Влияние различных методов расчета на оценку площади листьев и построение распределения листьев по размерам», Бюллетень Ботанического клуба Торри , 104 (3): 264–269, дои : 10.2307/2484308 , JSTOR 2484308

[brain-10] Томас, Роджер К.; Пикок, LJ (январь 1965 г.), «Метод измерения поражений головного мозга», Psychonomic Science , 3 (1–12): 184, doi : 10.3758/bf03343085

[neibro-11] Нилсон, MJ; Брокман, Г.Ф. (декабрь 1977 г.), «Ошибка, связанная с подсчетом точек» , Американский минералог , 62 (11–12): 1238–1244.

[pick-12] Пик, Георг (1899), «Геометрические аспекты теории чисел» , труды Немецкой научной и медицинской ассоциации Богемии «Лотос» в Праге , (новая серия) (на немецком языке), 19 : 311–319, JFM 33.0216.01 CiteBank:47270

[wells-13] Уэллс, Дэвид (1991), «Теорема Пика», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Penguin Books, стр. 183–184.

[blichfeldt-14] Бличфельдт, HF (1914), «Новый принцип геометрии чисел с некоторыми приложениями», Transactions of the American Mathematical Society , 15 (3): 227–235, doi : 10.1090/S0002-9947-1914-1500976- 6 , JSTOR 1988585 , МР 1500976

[olds-15] Олдс, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана П. (2000), «Глава 9: Новый принцип геометрии чисел», Геометрия чисел , Новая математическая библиотека Аннели Лакс, том. 41, Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 119–127, ISBN. 0-88385-643-3 , МР : 1817689

[guy-16] Гай, Ричард К. (2004), «F1: проблема точек решетки Гаусса», Нерешенные проблемы теории чисел , Сборники задач по математике, том. 1 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 365–367, doi : 10.1007/978-0-387-26677-0 , ISBN. 0-387-20860-7 , МР 2076335

[longimeter-17] Штайнхаус, Гюго (1931), «Лонгиметр», Czasopismo Geistyczny (на польском языке), 3 : 1–4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]