Геометрия чисел

«Геометрия чисел» — книга по геометрии чисел , области математики, в которой геометрия решеток , повторяющих наборы точек на плоскости или в более высоких измерениях, используется для получения результатов в теории чисел . Он был написан Карлом Д. Олдсом , Аннели Кан Лакс и Джулианой Давидофф и опубликован Математической ассоциацией Америки в 2000 году как 41-й том их серии книг «Новая математическая библиотека Аннели Лакс».

Авторство и история публикаций

«Геометрия чисел» основана на рукописи книги, которую Карл Д. Олдс , математик новозеландского происхождения, работавший в Калифорнии в Государственном университете Сан-Хосе , все еще писал, когда умер в 1979 году. Аннели Кан Лакс , редактор New Mathematical Библиотека Математической ассоциации Америки взяла на себя задачу его редактирования, но она осталась незавершенной, когда она умерла в 1999 году. Наконец, Джулиана Давидофф взяла на себя проект и довела его до публикации в 2000 году.

Темы

«Геометрия чисел» относительно коротка. и разделен на две части. Первая часть применяет теорию чисел к геометрии решеток, а вторая применяет результаты о решетках к теории чисел. Темы первой части включают связь между максимальным расстоянием между параллельными линиями, не разделенными какой-либо точкой решетки, и наклоном линий, Теорема Пика, связывающая площадь решетчатого многоугольника с количеством содержащихся в нем точек решетки: и задача круга Гаусса о подсчете точек решетки в круге с центром в начале плоскости.

Вторая часть начинается с теоремы Минковского о том, что центрально-симметричные выпуклые множества достаточно большой площади (или объема в более высоких измерениях) обязательно содержат ненулевую точку решетки. Это применимо к диофантовой аппроксимации , проблеме точного приближения одного или нескольких иррациональных чисел рациональными числами. После еще одной главы, посвященной линейным преобразованиям решеток, в книге изучается проблема поиска наименьших ненулевых значений квадратичных форм и теорема Лагранжа о четырех квадратах , теорема о том, что каждое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целые числа. Последние две главы посвящены теореме Блихфельдта , ограничивающей плоские области с площадью $A$ можно перевести как минимум $\lceil A\rceil$ точки решетки и дополнительные результаты в диофантовом приближении. «краеугольным камнем» книги Главы, посвященные теореме Минковского и, в частности, теореме Бличфельдта, были названы рецензентом Филипом Дж. Дэвисом .

Приложение Питера Лакса касается гауссовских целых чисел . Второе приложение посвящено методам на основе решетки для решения задач упаковки, включая упаковку кругов и, в более высоких измерениях, упаковку сфер . Книга завершается биографиями Германа Минковского и Ганса Фредерика Блихфельдта .

и

«Геометрия чисел» предназначена для учащихся средних школ и студентов-математик, хотя она может быть слишком сложной для учащихся средней школы; он содержит упражнения, что делает его пригодным для использования в классе. Его описывали как «разъяснительный». «самостоятельный», и «читабельный».

Однако рецензент Генри Кон отмечает несколько упущений при редактировании, жалуется на выбор тем, в котором «диковинки ставятся на один уровень с глубокими результатами», и упускает некоторые известные примеры, которые не были включены. Несмотря на это, он рекомендует книгу читателям, которые еще не готовы к более продвинутым трактовкам этого материала и желают увидеть «прекрасную математику».