Задача о круге Гаусса

Круг радиуса 5 с центром в начале координат имеет площадь 25 π , примерно 78,54, но содержит 81 целую точку, поэтому ошибка оценки его площади путем подсчета точек сетки составляет примерно 2,46. Для круга немного меньшего радиуса площадь почти такая же, но круг содержит всего 69 точек, что дает большую ошибку — примерно 9,54. Проблема круга Гаусса касается ограничения этой ошибки в более общем плане как функции радиуса круга.

В математике — задача круга Гаусса это задача определения количества целочисленных точек решетки в круге с центром в начале координат и радиусом $r$. Это число аппроксимируется площадью круга, поэтому реальная проблема состоит в том, чтобы точно определить ошибку, описывающую, как количество точек отличается от площади.Первый прогресс в решении был сделан Карлом Фридрихом Гауссом , отсюда и его название.

Проблема

Рассмотрим круг в $\mathbb {R} ^{2}$ с центром в начале координат и радиусом $r\geq 0$. Задача Гаусса о круге спрашивает, сколько точек находится внутри этого круга формы. $(m,n)$ где $m$ и $n$ оба целые числа. Поскольку уравнение этой окружности задается в декартовых координатах формулой $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, вопрос эквивалентен вопросу о том, сколько пар целых чисел m и n существует таких, что

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

Если ответ на заданный $r$ обозначается $N(r)$ то в следующем списке показаны первые несколько значений $N(r)$ для $r$ целое число от 0 до 12, за которым следует список значений $\pi r^{2}$ округляется до ближайшего целого числа:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (последовательность A000328 в OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (последовательность A075726 в OEIS )

Границы решения и гипотезы

$N(r)$ примерно $\pi r^{2}$, площадь внутри круга радиуса $r$. Это связано с тем, что в среднем каждый единичный квадрат содержит одну точку решетки. Таким образом, фактическое количество точек решетки в круге примерно равно его площади: $\pi r^{2}$. Поэтому следует ожидать, что

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

для некоторого термина ошибки $E(r)$ относительно небольшой абсолютной величины. Находим правильную верхнюю границу для $\mid E(r)\mid$ Такова форма, которую приняла проблема. Обратите внимание, что $r$ не обязательно должно быть целым числом. После $N(4)=49$ у одного есть $N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$ В этих местах $E(r)$ увеличивается на $8,4,8,12$ после чего она уменьшается (со скоростью $2\pi r$) до следующего раза, когда оно увеличится.

Гауссу удалось доказать что

$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

Харди и независимо Ландау нашел нижнюю границу, показав, что

$|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

используя небольшую о-нотацию . Предполагается, что что правильная граница

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

Письмо $E(r)\leq Cr^{t}$, текущие границы $t$ являются

${\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,$

с нижней границей, полученной Харди и Ландау в 1915 году, и верхней границей, доказанной Мартином Хаксли в 2000 году.

Точные формы

Стоимость $N(r)$ может быть дано несколькими сериями. В терминах суммы, включающей функцию пола , ее можно выразить как:

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

Это следствие теоремы Якоби о двух квадратах , которая почти сразу следует из тройного произведения Якоби .

Гораздо более простая сумма получается, если сумма квадратов является функцией $r_{2}(n)$ определяется как количество способов записи числа $n$ как сумма двух квадратов. Затем

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).$

Самый последний прогресс основан на следующей Личности, впервые открытой Харди:

$N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

где $J_{1}$ обозначает функцию Бесселя первого рода порядка 1.

Обобщения

Хотя исходная задача требует целых точек решетки в круге, нет причин не рассматривать другие формы, например коники ; действительно, проблема делителей Дирихле является эквивалентной проблемой, в которой круг заменяется прямоугольной гиперболой . Аналогичным образом можно было бы расширить вопрос от двух измерений до более высоких измерений и спросить о целочисленных точках внутри сферы или других объектов. По этим проблемам имеется обширная литература. Если игнорировать геометрию и просто рассматривать задачу как алгебраическую задачу о диофантовых неравенствах , то можно было бы увеличить показатели степени, входящие в задачу, с квадратов до кубов или выше.

Точечный планиметр — физическое устройство для оценки площади фигур, основанное на том же принципе. Он состоит из квадратной сетки точек, напечатанной на прозрачном листе; Площадь фигуры можно оценить как произведение количества точек в фигуре на площадь квадрата сетки.

Проблема примитивного круга

Другое обобщение заключается в вычислении количества взаимно простых целочисленных решений. $m,n$ к неравенству

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

Эта проблема известна как проблема примитивного круга , поскольку она включает в себя поиск примитивных решений исходной проблемы круга. Интуитивно его можно понять как вопрос о том, сколько деревьев на расстоянии r видно в саду Евклида , стоящем в начале координат. Если число таких решений обозначить $V(r)$ тогда значения $V(r)$ для $r$ принятие небольших целочисленных значений

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192… (последовательность A175341 в OEIS ).

Используя те же идеи, что и в обычной задаче о круге Гаусса, и тот факт, что вероятность того, что два целых числа являются взаимно простыми, равна $6/\pi ^{2}$, сравнительно легко показать, что

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

Как и в обычной задаче о круге, проблемной частью задачи о примитивном круге является уменьшение показателя степени ошибки. В настоящее время наиболее известным показателем является $221/304+\varepsilon$ если принять гипотезу Римана . Не принимая гипотезу Римана, наилучшая известная в настоящее время верхняя граница равна

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

для положительной константы $c$. В частности, нет ограничений на член ошибки формы $r^{1-\varepsilon }$ для любого $\varepsilon >0$ в настоящее время известно, что не предполагается гипотеза Римана.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема круга Гаусса» . Математический мир .
• Грант Сандерсон, «Пи скрывается в простых закономерностях» , 3Blue1Brown