Многоугольник с дырками

Кольцевое пространство можно аппроксимировать двумя n -сторонними границами с одним и тем же центром, но разным радиусом.

В геометрии многоугольник с отверстиями — это соединенный по площади плоский многоугольник с одной внешней границей и одной или несколькими внутренними границами (дырками). ^[1] Многоугольники с отверстиями можно разбить на несколько многоугольников, добавив новые ребра, поэтому они не нужны часто.

Обычный многоугольник можно назвать односвязным , а многоугольник с отверстиями – многосвязным . - полигон H с отверстиями является H - связным . ^[2]

Вырожденные дыры

Можно рассмотреть вырожденные случаи, но правильно сформированный многоугольник с отверстиями не должен иметь контакта между внешними и внутренними границами или между внутренними границами. Невырожденные отверстия должны иметь 3 или более сторон, исключая внутренние точечные границы ( моногоны ) и одногранные границы ( дигоны ).

Граничная ориентация

Алгоритмы заполнения областей в расчетных списках: внешние граничные вершины могут располагаться в порядке против часовой стрелки, а внутренние - по часовой стрелке. Это позволяет определить внутреннюю область слева от каждого края. ^[3]

Преобразование в обычный многоугольник

Многоугольники с отверстиями можно преобразовать в обычный уникурсальный контур границы путем добавления (вырождения) соединяющих двойных ребер между границами или путем его разделения или триангуляции на 2 или более простых многоугольников.

Пример преобразования многоугольника с одним отверстием путем соединения ребер или рассечения

В многогранниках

Многоугольники с отверстиями можно рассматривать как грани в многогранниках , как куб с меньшим кубом, помещенным снаружи на одну из его квадратных граней (дополненным), с удаленными их общими поверхностями. соединяющий Также можно определить тороидальный многогранник, грань с отверстиями и грань с отверстиями на противоположной стороне (выемке). ( 1-остов вершины и ребра) многогранника с дырчатыми гранями не является связным графом. Каждый набор соединенных ребер составит отдельный многогранник, если их отверстия, соединенные с ребрами, заменить гранями.

Эйлерова характеристика многогранника с дырочной гранью равна χ = V - E + F = 2(1- g ) + H , род g , для V вершин, E ребер, F граней и H дырок в гранях.

Примеры

(род 0) с двумя гранями с 1 отверстием (сверху и снизу).
В=16, Е=20, Ж=8, В=2.
3-связный
Тороид (род 1) с двумя 1-дырчатыми гранями.
В=16, Е=24, Ж=10, В=2.
2-связный
(род 0) с одной 1-дырчатой гранью.
В=16, Е=24, Ж=11, Ч=1.
2-связный
(род 0), с шестью гранями с 1 отверстием.
В=32, Е=36, Ж=12, В=6.
7-связный
Тороид (род 5) с шестью гранями с 1 отверстием.
В=40, Е=72, Ж=30, В=6.
2-связный
Тороид (род 2) с двумя двухдырчатыми гранями.
В=24, Е=36, Ж=14, В=4.
3-связный
Тороид (род 1) с одной гранью с двумя отверстиями и одной гранью с 1 отверстием.
В=24, Е=36, Ж=15, В=3.
3-связный
(род 0) с одной двухдырчатой гранью.
В=24, Е=36, Ж=16, В=2.
3-связный
Тороид (род 1) с двумя 1-дырчатыми гранями.
В=24, Е=36, Ж=14, Н=2.
2-связный
Тороид (род 1) с двумя 1-дырчатыми гранями.
В=32, Е=48, Ж=18, В=2.
2-связный

Примеры с вырожденными дырками

Грань с точечным отверстием считается моногональным отверстием, добавляя одну вершину и одно ребро, и может быть прикреплена к вырожденному моногональному отверстию осоэдра , как отверстие в цилиндре с нулевым радиусом. Грань с вырожденным двуугольным отверстием добавляет 2 вершины и 2 совпадающих ребра, где два ребра присоединяются к двум копланарным граням, как двугранное отверстие.

(род 1) с двумя (вырожденными точками или моногонами ) 1-дырчатыми гранями.
В=10, Е=15, Ж=7, Н=2.
2-связный
(род 1) с двумя (вырожденными двуугольниками ) 1-дырчатыми гранями.
В=12, Е=18, Ж=8, Н=2.
2-связный

См. также

Куб принца Руперта — самый большой куб, который может пройти через отверстие единичного куба.

Ссылки

^ Сомервилл, ДМЙ (1929), «IX.4: Многогранники с кольцеобразными гранями» , Введение в геометрию $N$ Dimensions , Methuen & Co., стр. 144–145.
^ О'Рурк, Джозеф (1987), «Глава 5: Дыры» (PDF) , Теоремы и алгоритмы Художественной галереи , Международная серия монографий по информатике, том. 3, Oxford University Press, стр. 125–145, ISBN. 0-19-503965-3
^ Уррутиа, Хорхе (2000), «Художественная галерея и проблемы освещения», Справочник по вычислительной геометрии , Elsevier, стр. 973–1027, doi : 10.1016/b978-044482537-7/50023-1 , ISBN 9780444825377

[1] Сомервилл, ДМЙ (1929), «IX.4: Многогранники с кольцеобразными гранями» , Введение в геометрию $N$ Dimensions , Methuen & Co., стр. 144–145.

[2] О'Рурк, Джозеф (1987), «Глава 5: Дыры» (PDF) , Теоремы и алгоритмы Художественной галереи , Международная серия монографий по информатике, том. 3, Oxford University Press, стр. 125–145, ISBN. 0-19-503965-3

[3] Уррутиа, Хорхе (2000), «Художественная галерея и проблемы освещения», Справочник по вычислительной геометрии , Elsevier, стр. 973–1027, doi : 10.1016/b978-044482537-7/50023-1 , ISBN 9780444825377

[1]

[2]

[3]