Рив тетраэдры

В геометрии — тетраэдры Рива это семейство многогранников в трехмерном пространстве с вершинами в точках $(0, 0, 0)$ , $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ и $(1, 1, r).$ где $r$ — целое положительное число. Они названы в честь Джона Рива , который в 1957 году использовал их, чтобы показать, что многомерных обобщений теоремы Пика не существует. ^{[ 1 ]}

Контрпример к обобщениям теоремы Пика

Все вершины тетраэдра Рива являются точками решетки (точками, координаты которых являются целыми числами ). Никакие другие точки решетки не лежат на поверхности или внутри тетраэдра . Объем ( 1 тетраэдра Рива с вершиной $, 1, r)$ равен $r /6$ . В 1957 году Рив использовал этот тетраэдр, чтобы показать, что существуют тетраэдры с четырьмя узлами решетки в качестве вершин и не содержащие других узлов решетки, но с сколь угодно большим объемом. ^{[ 2 ]}

В двух измерениях площадь каждого многогранника с решетчатыми вершинами определяется по формуле числа точек решетки в его вершинах, на его границе и внутри него, согласно теореме Пика . Тетраэдры Рива подразумевают, что не может быть соответствующей формулы для объема в трех или более измерениях. Любая такая формула не смогла бы отличить тетраэдры Рива с разным выбором $r$ друг от друга, но все их объемы различны. ^{[ 2 ]}

Несмотря на этот отрицательный результат, можно (как показал Рив) разработать более сложную формулу для объема решетчатого многогранника, которая объединяет количество точек решетки в многограннике, количество точек более тонкой решетки в многограннике и эйлерову характеристику многогранника. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Полином Эрхарта

Полином Эрхарта любого решетчатого многогранника подсчитывает количество содержащихся в нем точек решетки при масштабировании на целочисленный коэффициент. Полином Эрхарта тетраэдр Рива $T r$ высоты $r$ равен ^{[ 4 ]} $L({\mathcal {T}}_{r},t)={\frac {r}{6}}t^{3}+t^{2}+\left(2-{\frac {r}{6}}\right)t+1.$ Таким образом, для $r \geq 13$ коэффициент при $t$ полиноме Эрхарта от $Tr в$ отрицателен. Этот пример показывает, что полиномы Эрхарта иногда могут иметь отрицательные коэффициенты. ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Кираджиев, Кристиан (декабрь 2018 г.). «Соединение точек с помощью теоремы Пика» (PDF) . Математика сегодня . Институт математики и ее приложений . Проверено 6 января 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. дои : 10.1112/plms/s3-7.1.378 . МР 0095452 .
^ Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Странная» формула объема трехмерных решетчатых многогранников». Геометрии Дедиката . 61 (3): 271–278. дои : 10.1007/BF00150027 . МР 1397808 . S2CID 121162659 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление в многогранниках . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 78–79, 82 . дои : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9 . МР 3410115 .

[kiradjiev-1] Кираджиев, Кристиан (декабрь 2018 г.). «Соединение точек с помощью теоремы Пика» (PDF) . Математика сегодня . Институт математики и ее приложений . Проверено 6 января 2023 г.

[reeve-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. дои : 10.1112/plms/s3-7.1.378 . МР 0095452 .

[k-3] Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Странная» формула объема трехмерных решетчатых многогранников». Геометрии Дедиката . 61 (3): 271–278. дои : 10.1007/BF00150027 . МР 1397808 . S2CID 121162659 .

[br-4] Перейти обратно: ^а ^б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление в многогранниках . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 78–79, 82 . дои : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9 . МР 3410115 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]