Несократимая дробь

( Несократимая дробь или дробь в самых простых терминах , простейшая форма или сокращенная дробь ) — это дробь , в которой числитель и знаменатель являются целыми числами , не имеющими других общих делителей , кроме 1 (и -1, если рассматривать отрицательные числа). Другими словами, дробь ⁠ a / b ⁠ неприводима тогда и только тогда, когда a и b , взаимно просты то есть если a и b имеют наибольший общий делитель, равный 1. В высшей математике « неприводимая дробь » может также относиться к рациональным дробям, таким что числитель и знаменатель — взаимно простые многочлены . Каждое рациональное число можно представить в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем ровно одним способом.

Иногда полезно эквивалентное определение: если a и b — целые числа, то дробь ⁠ a / b ⁠ неприводима тогда и только тогда, когда не существует другой равной дроби ⁠ c / d ⁠ такой, что | с | < | а | или | д | < | б | , где | а | означает значение a . абсолютное (Две фракции ⁠ а / б ⁠ и ⁠ c / d ⁠ равны эквивалентны или ad тогда и только тогда, когда = bc . )

Например, ⁠ 1 / 4 ⁠ , ⁠ 5 / 6 ⁠ и ⁠ −101/100 — ⁠ . все несократимые дроби С другой стороны, ⁠ 2 / 4 ⁠ сокращаемо, так как по значению оно равно ⁠ 1/2 ​ ⁠ и числитель ⁠ 1/2 ​ ⁠ меньше числителя ⁠ 2 / 4 ⁠ .

Дробь, которую можно сократить, можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью свести к наименьшим членам, если оба разделить на наибольший общий делитель . Чтобы найти наибольший общий делитель, алгоритм Евклида или факторизацию простых чисел можно использовать . Алгоритм Евклида обычно предпочтительнее, поскольку он позволяет сокращать дроби, числители и знаменатели которых слишком велики, чтобы их можно было легко разложить на множители.

Примеры

${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}$

На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим фактором для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Конечный результат: ⁠ 4/3 несократимая дробь, поскольку у 4 и 3 нет общих делителей , ⁠ — кроме 1.

Исходную дробь также можно было уменьшить за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30. Поскольку 120 ÷ 30 = 4 и 90 ÷ 30 = 3 , получаем

${\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}$

Какой метод окажется быстрее «вручную», зависит от дроби и легкости обнаружения общих факторов. Если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы гарантировать, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы убедиться, что дробь действительно несократима.

Уникальность

Каждое рациональное число имеет единственное представление в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем. (однако ⁠ 2 / 3 ⁠ = ⁠ −2 / −3 ⁠ хотя оба они неприводимы). Уникальность является следствием уникальной факторизации простых чисел, поскольку ⁠ a / b ⁠ = ⁠ c / d ⁠ подразумевает ad = bc , и поэтому обе стороны последнего должны иметь одну и ту же простую факторизацию, однако a и b не имеют общих простых множителей, поэтому набор простых множителей a (с кратностью) является подмножеством тех из c и наоборот, что означает a = c и по тому же аргументу b = d .

Приложения

Тот факт, что любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если бы √ 2 можно было представить как отношение целых чисел, то оно имело бы, в частности, полностью сокращенное представление. ⁠ a / b ⁠ где a и b — наименьшие возможные; но учитывая это ⁠ a / b ⁠ равно √ 2 , то же самое ⁠ 2 b − a / a − b ⁠ (так как перекрестное умножение на ⁠ a / b ⁠ показывает, что они равны). Поскольку a > b (поскольку √ 2 больше 1), последнее представляет собой отношение двух меньших целых чисел. Это противоречие , поэтому предположение о том, что квадратный корень из двух представляет собой отношение двух целых чисел, неверно.

Обобщение

Понятие несократимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля можно записать как дробь, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель. Это особенно относится к рациональным выражениям над полем. Несократимая дробь данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две несократимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом представлять собой монический полином .

См. также

• Аномальное сокращение — ошибочная арифметическая процедура, которая дает правильную несократимую дробь путем отмены цифр исходной несократимой формы.
• Диофантова аппроксимация , приближение действительных чисел рациональными числами.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уменьшенная дробь» . Математический мир .