Экспоненциальная сумма

В математике экспоненциальная сумма может быть конечным рядом Фурье (т.е. тригонометрическим полиномом ) или другой конечной суммой, образованной с использованием экспоненциальной функции , обычно выражаемой посредством функции

$e(x)=\exp(2\pi ix).\,$

Следовательно, типичная экспоненциальная сумма может иметь вид

$\sum _{n}e(x_{n}),$

суммируется по конечной последовательности действительных чисел x _n .

Формулировка

Если мы позволим некоторым действительным коэффициентам a _n получить форму

$\sum _{n}a_{n}e(x_{n})$

это то же самое, что разрешить экспоненту, являющуюся комплексным числом . Обе формы, безусловно, полезны в приложениях. Большая часть аналитической теории чисел двадцатого века была посвящена поиску хороших оценок этих сумм, и эта тенденция началась с основной работы Германа Вейля по диофантовому приближению .

Оценки

Основная идея темы состоит в том, что сумма

$S=\sum _{n}e(x_{n})$

оценивается тривиально числом N термов. То есть абсолютное значение

$|S|\leq N\,$

неравенством треугольника , поскольку каждое слагаемое имеет абсолютное значение 1. В приложениях хотелось бы добиться большего. Это предполагает доказательство того, что некоторое сокращение имеет место, или, другими словами, что эта сумма комплексных чисел в единичном круге не состоит из чисел с одинаковым аргументом . Лучшее, на что разумно надеяться, — это оценка вида

$|S|=O({\sqrt {N}})\,$

что означает, с точностью до подразумеваемой константы в большом обозначении O , что сумма напоминает случайное блуждание в двух измерениях.

Такую оценку можно считать идеальной; оно недостижимо во многих основных задачах, и оценки

$|S|=o(N)\,$

необходимо использовать, где функция o( N ) представляет собой лишь небольшую экономию на тривиальной оценке. коэффициентом log( N Типичная «небольшая экономия» может быть , например, незначительный результат в правильном направлении должен быть полностью отнесен к структуре исходной последовательности xn _{). Даже такой, казалось бы ,} , чтобы показать степень случайности . Используемые методы гениальны и тонки.

Вариант «дифференциала Вейля», исследованный Вейлем, с использованием порождающей экспоненциальной суммы.

$G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}$

ранее изучалась самим Вейлем, он разработал метод выражения суммы как величины $G(0)$, где 'G' можно определить с помощью линейного дифференциального уравнения, аналогичного уравнению Дайсона, полученному суммированием по частям.

История

Если сумма имеет вид

$S(x)=e^{iaf(x)}$

где ƒ — гладкая функция, мы могли бы использовать формулу Эйлера-Маклорена для преобразования ряда в интеграл, плюс некоторые поправки, включающие производные S ( x ), тогда для больших значений a вы могли бы использовать метод «стационарной фазы» для расчета интеграл и дать приблизительную оценку суммы. Основными достижениями в этой области были метод Ван дер Корпута (около 1920 г.), связанный с принципом стационарной фазы , и более поздний метод Виноградова (около 1930 г.).

Метод большого сита (около 1960 г.), работа многих исследователей, представляет собой относительно прозрачный общий принцип; но ни один метод не имеет общего применения.

Виды экспоненциальной суммы

При формулировке конкретных задач используются многие типы сумм; приложения обычно требуют приведения к некоторому известному типу, часто путем хитроумных манипуляций. многих случаях частичное суммирование можно использовать для удаления коэффициентов n _Во .

Основное различие заключается между полной экспоненциальной суммой , которая обычно представляет собой сумму по всем классам вычетов по модулю некоторого целого числа N (или, в более общем смысле, конечного кольца ), и неполной экспоненциальной суммой , где диапазон суммирования ограничен некоторым неравенством . Примерами полных экспоненциальных сумм являются суммы Гаусса и суммы Клоостермана ; в каком-то смысле это конечные полевые или конечные кольцевые аналоги гамма -функции и своего рода функции Бесселя соответственно и обладают многими «структурными» свойствами. Примером неполной суммы является частичная сумма квадратичной суммы Гаусса (действительно, случай, исследованный Гауссом ). Здесь есть хорошие оценки для сумм на более коротких диапазонах, чем весь набор классов вычетов, потому что, с геометрической точки зрения, частичные суммы приближаются к спирали Корню ; это подразумевает массовую отмену.

В теории встречаются вспомогательные типы сумм, например характерные суммы ; возвращаясь к Гарольда Дэвенпорта диссертации . Гипотезы Вейля имели важные приложения для полных сумм с областью определения, ограниченной полиномиальными условиями (т. е. вдоль алгебраического многообразия над конечным полем).

Суммы Вейля

Одним из наиболее общих типов экспоненциальной суммы является сумма Вейля с показателями 2π, если ( n ), где f — довольно общая вещественная гладкая функция . Это суммы, участвующие в распределении значений

ƒ ( n ) по модулю 1,

по критерию равнораспределения Вейля . Основным достижением стало неравенство Вейля для таких сумм для полинома f .

Существует общая теория пар показателей , которая формулирует оценки. Важным случаем является случай, когда f является логарифмическим по отношению к дзета-функции Римана . См. также теорему о равнораспределении .

Пример: квадратичная сумма Гаусса

Пусть p — нечетное простое число и пусть $\xi =e^{2\pi i/p}$. Затем квадратичная сумма Гаусса определяется выражением

$\sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}$

где квадратные корни считаются положительными.

Это идеальная степень сокращения, на которую можно было бы надеяться без каких-либо априорных знаний о структуре суммы, поскольку она соответствует масштабу случайного блуждания .

Статистическая модель

Сумма экспонент является полезной моделью в фармакокинетике ( химической кинетике в целом) для описания концентрации вещества с течением времени. Экспоненциальные члены соответствуют реакциям первого порядка , что в фармакологии соответствует числу моделируемых диффузионных отсеков .

См. также

• Лемма Хуа

Ссылки

• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0737-4 . Збл   0814.11001 .
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer Publishing . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .

Дальнейшее чтение

• Коробов, Н.М. (1992). Экспоненциальные суммы и их приложения . Математика и ее приложения. Советский сериал. Том. 80. Перевод с русского Ю. Н. Шахов. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9 . Збл   0754.11022 .

Внешние ссылки

• Краткое введение в суммы Вейля на Mathworld