Большое сито

Большое сито — это метод (или семейство методов и связанных с ним идей) аналитической теории чисел . Это тип сита , в котором удаляется до половины всех классов остатков чисел, в отличие от небольших сит, таких как сито Сельберга , в котором удаляются только несколько классов остатков. Этот метод был дополнительно усовершенствован за счет более крупного сита , которое удаляет произвольное количество классов остатков. ^[1]

Имя

Его название происходит от его первоначального применения: учитывая набор $S\subset \{1,\ldots ,N\}$ такой, что элементам S запрещено лежать в множестве A _p ⊂ Z / p Z по модулю каждого простого числа p , насколько большим может быть S ? Здесь A _p считается большим, т. е. по крайней мере таким же большим, как константа, умноженная на p ; если это не так, мы говорим о маленьком сите .

История

Ранняя история большого сита восходит к работам Ю. Б. Линник , в 1941 году работал над проблемой наименьшего квадратичного невычета . Впоследствии Альфред Реньи над этим работал , используя вероятностные методы. Лишь два десятилетия спустя, после большого количества вкладов других, большое сито было сформулировано более четко. Это произошло в начале 1960-х годов, в независимой работе Клауса Рота и Энрико Бомбьери . Примерно в это же время стала лучше пониматься связь с принципом двойственности. В середине 1960-х годов теорема Бомбьери-Виноградова была доказана как основное применение больших сит с использованием оценок средних значений характеров Дирихле . В конце 1960-х и начале 1970-х годов многие ключевые ингредиенты и оценки были упрощены Патриком X. Галлахером . ^[2]

Разработка

Методы больших сит разработаны настолько, что их можно применять и в ситуациях с малыми ситами. Что-то обычно рассматривается как связанное с большим ситом, не обязательно с точки зрения того, связано ли это с ситуацией, описанной выше, а, скорее, если оно включает в себя один из двух методов доказательства, традиционно используемых для получения результата с большим ситом. :

Приблизительное неравенство Планшереля

Если множество S плохо распределено по модулю p (например, в силу того, что оно исключено из классов конгруэнтности A _p ), то коэффициенты Фурье ${\widehat {f_{p}}}(a)$ характеристической функции f _p множества S mod p в среднем велики. Эти коэффициенты можно поднять до значений ${\widehat {f}}(a/p)$ преобразования Фурье ${\widehat {f}}$ характеристической функции f множества S (т.е.

{\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)

).

Ограничивая производные, мы видим, что ${\widehat {f}}(x)$ должно быть большим в среднем для всех x вблизи рациональных чисел вида a / p . Большой здесь означает «относительно большую константу времени | S |». С

|f|_{2}={\sqrt {|S|}},

получаем противоречие с тождеством Планшереля

|{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}

если | С | мал. (На практике, чтобы оптимизировать границы, люди в наши дни преобразуют тождество Планшереля в равенство, а не в связанные производные, как указано выше.)

Принцип двойственности

Можно легко доказать сильный результат с большим ситом, отметив следующий основной факт функционального анализа: норма линейного оператора (т. е.

\sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,

где A — оператор из линейного пространства V в линейное пространство W ) равен норме сопряженного к нему, т. е.

\sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}

.

Сам этот принцип в некоторой математической литературе получил название «большое сито».

Можно также вывести большое сито из мажорант в стиле Сельберга (см. Сельберг, Собрание сочинений , т. II, Лекции о ситах).

См. также

Ссылки

^ Галлахер, Патрик (1971). «Большое сито». Акта Арифметика . 18 : 77–81.
^ Тененбаум, Жеральд (2015). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Аспирантура по математике. Том. 163. Американское математическое общество. стр. 102–104. ISBN 9780821898543 .

«Большое сито» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам . Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета . стр. 135–155. ISBN 0-521-61275-6 . Збл 1121.11063 .
Давенпорт, Гарольд (2000). Мультипликативная теория чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 74. Переработано и с предисловием Хью Л. Монтгомери (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-95097-4 . Збл 1002.11001 .
Фридлендер, Джон ; Иванец, Хенрик (2010). Опера де Криб . Публикации конференции AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5 . Збл 1226.11099 .
Хули, Кристофер (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел . Издательство Кембриджского университета. стр. 17–20. ISBN 0-521-20915-3 .
Ковальски, Эммануэль (2008). Большое сито и его применение . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88851-6 .
Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. Издательство Кембриджского университета. стр. 62–73. ISBN 0-521-41261-7 .

[1] Галлахер, Патрик (1971). «Большое сито». Акта Арифметика . 18 : 77–81.

[2] Тененбаум, Жеральд (2015). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Аспирантура по математике. Том. 163. Американское математическое общество. стр. 102–104. ISBN 9780821898543 .

[1]

[2]