сито Сельберга

Атле Сельберг

В теории чисел — решето Сельберга это метод оценки размера «просеянных наборов» положительных целых чисел , которые удовлетворяют набору условий, выраженных с помощью сравнений . Он был разработан Атле Сельбергом в 1940-х годах.

Описание

С точки зрения теории сит, сито Сельберга имеет комбинаторный тип : то есть возникает в результате тщательного использования принципа включения-исключения . Сельберг заменил возникающие при этом значения функции Мёбиуса системой весов, которые затем оптимизируются для решения данной задачи. Результат дает верхнюю границу размера просеянного набора.

Позволять $A$ быть набором положительных целых чисел $\leq x$ и пусть $P$ быть набором простых чисел. Позволять $A_{d}$ обозначим множество элементов $A$ делится на $d$ когда $d$ является произведением различных простых чисел из $P$. Дальше пусть $A_{1}$ обозначать $A$ сам. Позволять $z$ быть положительным действительным числом и $P(z)$ обозначаем произведение простых чисел в $P$ которые $\leq z$. Целью сита является оценка

$S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .$

Мы предполагаем, что | А _д | может быть оценено

$\left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.$

где f — мультипликативная функция и X = | А |. Пусть функция g получена из f путем обращения Мёбиуса , т.е.

$g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)$

$f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)$

где ц — функция Мёбиуса . Помещать

$V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.$

Затем

$S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)$

где $[d_{1},d_{2}]$ обозначает наименьшее общее кратное $d_{1}$ и $d_{2}$. Часто бывает полезно оценить $V(z)$ по границе

$V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,$

Приложения

• Теорема Брюна -Титчмарша о количестве простых чисел в арифметической прогрессии ;
• Число n ≤ x таких, что n взаимно просто с φ( n ) , асимптотично e ^-с x / log log log ( x ) .

Ссылки

• Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета. стр. 113–134. ISBN  0-521-61275-6 . Збл   1121.11063 .
• Даймонд, Гарольд Г.; Хальберштам, Хейни (2008). Метод многомерного сита: с процедурами вычисления ситовых функций . Кембриджские трактаты по математике. Том. 177. С Уильямом Ф. Голуэем. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89487-6 . Збл   1207.11099 .
• Гривз, Джордж (2001). Сита в теории чисел . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 43. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-41647-1 . Збл   1003.11044 .
• Хальберштам, Хейни ; Ричерт, HE (1974). Ситовые методы . Монографии Лондонского математического общества. Том. 4. Академическая пресса. ISBN  0-12-318250-6 . Артикул   0298.10026 .
• Хули, Кристофер (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел . Кембриджские трактаты по математике. Том. 70. Издательство Кембриджского университета. стр. 7–12. ISBN  0-521-20915-3 . Збл   0327.10044 .
• Сельберг, Атле (1947). «Об элементарном методе теории простых чисел». Норске Вид. Сельск. Форх. Тронхейм . 19 : 64–67. ISSN   0368-6302 . Збл   0041.01903 .