Bombieri–Vinogradov theorem

В математике теорема Бомбьери -Виноградова (иногда называемая просто теоремой Бомбьери ) — важный результат аналитической теории чисел , полученный в середине 1960-х годов и касающийся распределения простых чисел в арифметических прогрессиях , усредненных по диапазону модулей. Первый результат такого рода был получен Марком Барбаном в 1961 г. а теорема Бомбьери-Виноградова является уточнением результата Барбана. Теорема Бомбьери-Виноградова названа в честь Энрико Бомбьери. and A. I. Vinogradov , который опубликовал статью по смежной теме — гипотезе плотности — в 1965 году.

Этот результат представляет собой важное применение метода большого сита , который быстро развивался в начале 1960-х годов, с момента его появления в работах Юрия Линника двумя десятилетиями ранее. Помимо Бомбьери, Клаус Рот в этой области работал . В конце 1960-х и начале 1970-х годов многие ключевые ингредиенты и оценки были упрощены Патриком X. Галлахером .

Statement of the Bombieri–Vinogradov theorem

Позволять $x$ и $Q$ любые два положительных действительных числа с

$x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.$

Затем

$\sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.$

Здесь $\varphi (q)$ — функция Эйлера , которая представляет собой количество слагаемых для модуля q , и

$\psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),$

где $\Lambda$ обозначает функцию фон Мангольдта .

Словесное описание этого результата состоит в том, что он касается члена ошибки в о простых числах для арифметических прогрессий , усредненных по модулям q до Q. теореме Для определенного диапазона Q , который составляет около ${\sqrt {x}}$ если пренебречь логарифмическими коэффициентами, то усредненная ошибка будет почти такой же малой, как ${\sqrt {x}}$. Это не очевидно, и без усреднения это говорит о силе обобщенной гипотезы Римана (GRH).

См. также

• Гипотеза Эллиотта–Хальберштама (обобщение Бомбьери–Виноградова)
• Vinogradov's theorem (named after Ivan Matveyevich Vinogradov )
• Теорема Зигеля–Вальфиса

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бомбьери» . Математический мир .
• The Bombieri-Vinogradov Theorem , R.C. Vaughan 's Lecture note.