Vinogradov's theorem

В чисел теории теорема Виноградова является результатом, который означает, что любое достаточно большое нечетное целое число можно записать как сумму трех простых чисел . Это более слабая форма слабой гипотезы Гольдбаха , которая подразумевала бы существование такого представления для всех нечетных целых чисел, больших пяти. Назван в честь Ивана Матвеевича Виноградова , доказавшего это в 1930-е годы. Ранее Харди и Литтлвуд показали, что этот результат следует из обобщенной гипотезы Римана , а Виноградов смог снять это предположение. Полная формулировка теоремы Виноградова дает асимптотические границы числа представлений нечетного целого числа в виде суммы трех простых чисел. Понятие «достаточно большой» было плохо определено в оригинальной работе Виноградова, но в 2002 году было показано, что 10 ¹³⁴⁶ достаточно велик. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Дополнительно цифры до 10 ²⁰ были проверены методом перебора, ^{[ 3 ]} таким образом, оставалось лишь ограниченное число случаев, которые нужно было проверить, прежде чем странная гипотеза Гольдбаха будет доказана или опровергнута. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев.

Statement of Vinogradov's theorem

Пусть А — положительное действительное число. Затем

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

где

r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),

используя функцию фон Мангольдта $\Lambda$ , и

G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).

Следствие

Если N нечетно, то G ( N ) примерно равно 1, следовательно $N^{2}\ll r(N)$ для всех достаточно N. больших Показав, что вклад в r ( N ) собственных степеней простых чисел равен $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$ , это видно

N^{2}\log ^{-3}N\ll \left({\hbox{number of ways N can be written as a sum of three primes}}\right).

Это означает, в частности, что любое достаточно большое нечетное целое число можно записать как сумму трех простых чисел, что демонстрирует слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев, кроме конечного числа.

Стратегия доказательства

Доказательство теоремы проводится методом круга Харди–Литтлвуда . Определите экспоненциальную сумму

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

.

Тогда у нас есть

S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)

,

где ${\tilde {r}}$ обозначает количество представлений, ограниченных простыми степенями $\leq N$ . Следовательно

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

.

Если $\alpha$ это рациональное число ${\frac {p}{q}}$ , затем $S(\alpha )$ может быть задано распределением простых чисел по классам вычетов по модулю $q$ . Следовательно, используя теорему Зигеля–Вальфиса, мы можем вычислить вклад вышеуказанного интеграла в малых окрестностях рациональных точек с малым знаменателем. Множество действительных чисел, близких к таким рациональным точкам, обычно называют большими дугами, дополнение образует малые дуги. Оказывается, эти интервалы доминируют в интеграле, поэтому для доказательства теоремы необходимо дать верхнюю оценку для $S(\alpha )$ для $\alpha$ содержится в малых дугах. Эта оценка представляет собой наиболее трудную часть доказательства.

Если мы примем Обобщенную гипотезу Римана , аргумент, используемый для главных дуг, может быть распространен на второстепенные дуги. Это было сделано Харди и Литтлвудом в 1923 г. В 1937 г. Виноградов дал безусловную верхнюю оценку для $|S(\alpha )|$ . Его аргументация началась с простого тождества сита, затем полученные члены были сложным образом переставлены, чтобы получить некоторое сокращение. В 1977 году Р.С. Воган нашел гораздо более простой аргумент, основанный на том, что позже стало известно как личность Воана . Он доказал, что если $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$ , затем

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

.

Используя теорему Зигеля–Вальфиса, мы можем иметь дело с $q$ до произвольных полномочий $\log N$ , используя аппроксимационную теорему Дирихле, получаем $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}$ на малых дугах. Следовательно, интеграл по малым дугам можно оценить сверху величиной

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}

,

что дает погрешность в теореме.

Ссылки

^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Терренс Тао - Структура и случайность простых чисел, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе . Ютуб .
^ Лю, MC; Ван, ТЗ (2002). «О связанной Виноградовым в трех простых числах гипотезе Гольдбаха» . Акта Арифметика . 105 (2): 133–175. дои : 10.4064/aa105-2-3 .
^ Саутер, Янник (1998). «Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 10²⁰» . Математика вычислений . 67 (222): 863–866. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 .

Виноградов, Иван Матвеевич (1954). Метод тригонометрических сумм в теории чисел . Переведено, отредактировано и аннотировано К. Ф. Ротом и Энн Давенпорт. Лондон и Нью-Йорк: Interscience. МР 0062183 .
Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел. Классические основы . Тексты для аспирантов по математике. Том. 164. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4757-3845-2 . ISBN 0-387-94656-Х . МР 1395371 . Глава 8.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Виноградова» . Математический мир .

[1] Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : Терренс Тао - Структура и случайность простых чисел, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе . Ютуб .

[2] Лю, MC; Ван, ТЗ (2002). «О связанной Виноградовым в трех простых числах гипотезе Гольдбаха» . Акта Арифметика . 105 (2): 133–175. дои : 10.4064/aa105-2-3 .

[3] Саутер, Янник (1998). «Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 10²⁰» . Математика вычислений . 67 (222): 863–866. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]