Личность Воана

В математике и аналитической теории чисел тождество Воана — это тождество, Р. К. Воаном ( 1977 ), которое можно использовать для упрощения над работы Виноградова найденное тригонометрическими суммами . Его можно использовать для оценки суммирующих функций вида

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)$

где f — некоторая арифметическая функция натуральных чисел n , значения которой в приложениях часто являются корнями из единицы, а Λ — функция фон Мангольдта .

Порядок применения метода

Мотивация построения Воаном своей личности кратко обсуждается в начале главы 24 в Давенпорте. На данный момент мы пропустим большую часть технических деталей, мотивирующих идентичность и ее использование в приложениях, и вместо этого сосредоточимся на настройке ее конструкции по частям. Следуя ссылке, мы строим четыре различные суммы на основе разложения логарифмической производной дзета -функции Римана через функции, которые представляют собой частичные ряды Дирихле, соответственно усеченные на верхних границах $U$ и $V$, соответственно. Точнее, мы определяем $F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}$ и $G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}$, что приводит нас к точному тождеству, что

$-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).$

Последнее расширение означает, что мы можем написать

$\Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),$

где функции компонентов определены как

${\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}$

Затем мы определяем соответствующие суммирующие функции для $1\leq i\leq 4$ быть

$S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),$

чтобы мы могли написать

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N).$

Наконец, в заключение многостраничного рассуждения о технических и порой деликатных оценках этих сумм: мы получим следующую форму тождества Воана, если предположим, что $|f(n)|\leq 1,\ \forall n$, $U,V\geq 2$, и $UV\leq N$:

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .$

Отмечается, что в некоторых случаях более точные оценки можно получить из тождества Воана, рассматривая компонентную сумму $S_{2}$ более тщательно, расширив его в виде

$S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.$

Оптимальность верхней оценки, полученной применением тождества Воана, оказывается, зависит от приложения по отношению к лучшим функциям $U=f_{U}(N)$ и $V=f_{V}(N)$ мы можем выбрать входные данные в уравнение (V1). См. приложения, упомянутые в следующем разделе, где приведены конкретные примеры, возникающие в различных контекстах, рассматриваемых несколькими авторами.

Приложения

• Тождество Воана использовалось для упрощения доказательства теоремы Бомбьери – Виноградова и для изучения сумм Куммера (см. Список литературы и внешние ссылки ниже).
• В главе 25 Давенпорта одним из применений тождества Воана является оценка важной экспоненциальной суммы Виноградова , связанной с простыми числами , определяемой формулой

$S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).$

В частности, мы получаем асимптотическую верхнюю оценку для этих сумм (обычно оцениваемую при иррациональном значении). $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$), рациональные приближения которого удовлетворяют

$\left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,$

формы

$S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.$

Аргумент в пользу этой оценки следует из тождества Воана, доказывая с помощью довольно сложной аргументации, что

$S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},$

а затем вывод первой формулы выше в нетривиальных случаях, когда $q\leq N$ и с $U=V=N^{2/5}$.

• Другое применение тождества Воана можно найти в главе 26 книги Давенпорта, где этот метод используется для получения оценок сумм ( экспоненциальных сумм ) трех простых чисел .
• Примерами личности Воана на практике являются следующие ссылки/цитаты в этом информативном посте :.

Обобщения

Личность Воана была обобщена Хит-Брауном (1982) .

Ссылки

• Давенпорт, Гарольд (31 октября 2000 г.). Мультипликативная теория чисел (Третье изд.). Нью-Йорк: Тексты для выпускников Springer по математике. ISBN  0-387-95097-4 .
• Грэм, SW (2001) [1994], «Личность Воана» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Хит-Браун, Д.Р. (1982), «Простые числа в коротких интервалах и обобщенное тождество Воана», кан. Дж. Математика. , 34 (6): 1365–1377, doi : 10.4153/CJM-1982-095-9 , MR   0678676
• Воган, Р.С. (1977), «Тригонометрические суммы простых чисел», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 285 : 981–983, MR   0498434

Внешние ссылки

• Доказательство Wiki личности Воана
• Математические заметки Джони (очень подробное изложение)
• Энциклопедия математики
• Блог Терри Тао о большом сите и теореме Бомбьери-Виноградова