Куммеровая сумма
В математике суммам сумма Куммера — это название, данное некоторым кубическим Гаусса для простого модуля p , где p соответствует 1 по модулю 3. Они названы в честь Эрнста Куммера , который сделал гипотезу о статистических свойствах их аргументов как комплексных чисел. . Эти суммы были известны и использовались еще до Куммера, в теории циклотомии .
Определение
[ редактировать ]Таким образом, сумма Куммера является конечной суммой.
берется по r по модулю p , где χ — характер Дирихле, принимающий значения в кубических корнях из единицы , и где e ( x ) — показательная функция exp(2π ix ). Учитывая p требуемого вида, таких символов, включая тривиальный, два.
Кубическая экспоненциальная сумма K ( n , p ), определяемая формулой
легко видеть, что это линейная комбинация сумм Куммера. Фактически это 3 P , где P — один из гауссовских периодов для подгруппы индекса 3 в остатках по модулю p при умножении, а суммы Гаусса представляют собой линейные комбинации P с кубическими корнями из единицы в качестве коэффициентов. Однако алгебраические свойства справедливы для суммы Гаусса. Такие кубические экспоненциальные суммы теперь также называются суммами Куммера.
Статистические вопросы
[ редактировать ]Из общей теории сумм Гаусса известно, что
Фактически известно простое разложение G ( χ ) в круговом поле, в котором она естественным образом находится, что дает более сильную форму. Куммера беспокоил аргумент
группы G ( х ). В отличие от квадратичного случая, когда квадрат суммы Гаусса известен и точный квадратный корень был определен Гауссом, здесь куб G ( х ) лежит в целых числах Эйзенштейна , но его аргумент определяется аргументом простого числа Эйзенштейна, делящего p , который расщепляется в этом поле.
выдвинул статистическую гипотезу о θp Куммер и ее распределении по модулю 2π (другими словами, об аргументе суммы Куммера на единичной окружности). Чтобы это имело смысл, нужно выбрать между двумя возможными χ: фактически существует особенный выбор, основанный на символе кубического вычета . Куммер использовал доступные числовые данные для p до 500 (это описано в книге Теория чисел» « Джорджа Б. Мэтьюза 1892 года ). Однако действовал «закон малых чисел», а это означало, что первоначальная гипотеза Куммера об отсутствии равномерного распределения страдала от предвзятости в отношении малых чисел. В 1952 году Джон фон Нейман и Герман Голдстайн расширили вычисления Куммера на ENIAC . [1] Расчеты были запрограммированы и закодированы Хедвиг Сельберг, но ее работа была отмечена только в конце статьи, как и Мэри Цингу по проблеме Ферми-Пасты-Улама-Цингу (ранее проблема Ферми-Пасты-Улама).
В двадцатом веке наконец был достигнут прогресс в этом вопросе, который оставался нетронутым более 100 лет. Опираясь на работу Томио Куботы , С. Дж. Паттерсона и Роджера Хит-Брауна в 1978 году, они опровергли гипотезу Куммера и доказали модифицированную форму гипотезы Куммера. [2] Фактически они показали, что существует равнораспределение θp . Эта работа включала автоморфные формы метаплектической группы и лемму Воана в аналитической теории чисел . В 2000 году Хит-Браун внес дальнейшие усовершенствования. [3]
Гипотеза Касселса
[ редактировать ]Вторая гипотеза о суммах Куммера была сделана Дж. В. Касселсом , снова опираясь на предыдущие идеи Томио Куботы. Это была формула произведения в терминах эллиптических функций с комплексным умножением на целые числа Эйзенштейна. [4] Гипотеза была доказана в 1978 году Чарльзом Мэтьюзом. [5]
Гипотеза Паттерсона
[ редактировать ]В 1978 году Паттерсон предположил, что θ p равнораспределена с ошибкой асимптотически порядка вместо квадратичной, как в случае с суммами Гаусса, что могло бы объяснить первоначальное смещение, наблюдаемое Куммером. [6] В следующем году его последующая работа с Хитом-Брауном, опровергающая гипотезу Куммера, показала, что на самом деле она была равнораспределена, но был ли правильный порядок асимптотики, оставалось неизвестным. [7] Более 20 лет спустя Хит-Браун завершил эту проблему, предложив новый метод сита, и предположил, что его можно улучшить, чтобы получить предсказанный порядок. [8] В 2021 году проблема была продемонстрирована условно на обобщенной гипотезе Римана Александром Данном и Максимом Радзивиллом , которые также показали, что решето Хита Брауна не может быть улучшено, как ожидалось. [9] [10]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ фон Нейман, Джон; Голдстайн, Герман Х. (1953). «Численное исследование гипотезы Куммера» . Математика вычислений . 7 (42): 133–134. дои : 10.1090/S0025-5718-1953-0055784-0 . МР 0055784 .
- ^ Хит-Браун, Д. Роджер; Паттерсон, Сэмюэл Джеймс (1979). «Распределение сумм Куммера по простым аргументам». Журнал чистой и прикладной математики . 1979 (310): 111–130. дои : 10.1515/crll.1979.310.111 . МР 0546667 . S2CID 122636972 .
- ^ Хит-Браун, доктор медицинских наук (2000). «Гипотеза Куммера для кубических сумм Гаусса» . Израильский математический журнал . 120 : часть А, 97–124. CiteSeerX 10.1.1.215.8362 . дои : 10.1007/s11856-000-1273-y . МР 1815372 .
- ^ Кассельс, JWS (1970). «О суммах Куммера». Труды Лондонского математического общества . Серия 3. 21 : 19–27. дои : 10.1112/plms/s3-21.1.19 . МР 0266895 .
- ^ Мэтьюз, Чарльз Р. (1979). «Суммы Гаусса и эллиптические функции. I. Сумма Куммера» . Математические изобретения . 52 (2): 163–185. Бибкод : 1979ИнМат..52..163М . дои : 10.1007/BF01403063 . МР 0536079 .
- ^ Паттерсон, С.Дж. (1978). «О распределении сумм скорби» . Журнал чистой и прикладной математики . 0303_0304: 126-143. ISSN 0075-4102 .
- ^ Хит-Браун, Д. Роджер; Паттерсон, Сэмюэл Джеймс (1979). «Распределение сумм Куммера по простым аргументам». Журнал чистой и прикладной математики . 1979 (310): 111–130. дои : 10.1515/crll.1979.310.111 . МР 0546667 . S2CID 122636972 .
- ^ Хит-Браун, доктор медицинских наук (2000). «Гипотеза Куммера для кубических сумм Гаусса» . Израильский математический журнал . 120 : часть А, 97–124. CiteSeerX 10.1.1.215.8362 . дои : 10.1007/s11856-000-1273-y . МР 1815372 .
- ^ Данн, Александр; Радзивилл, Максим (15 сентября 2021 г.). «Смещение в кубических суммах Гаусса: гипотеза Паттерсона». arXiv : 2109.07463 [ math.NT ].
- ^ Сломан, Лейла (15 августа 2022 г.). «Численная загадка XIX века наконец-то раскрыта» . Журнал Кванта . Проверено 17 августа 2022 г.
- Бредихин, Б.М. (2001) [1994], «Гипотеза Куммера» , Энциклопедия Математики , EMS Press