Кубическая взаимность

Кубическая взаимность - это набор теорем элементарной и алгебраической теории чисел , которые устанавливают условия, при которых сравнение x ³ ≡ p (mod q ) разрешимо; Слово «взаимность» происходит от формы основной теоремы , которая гласит, что если p и q — первичные числа в кольце целых чисел Эйзенштейна , оба взаимно простые с 3, то сравнение x ³ ≡ p (mod q ) разрешима тогда и только тогда, когда x ³ ≡ q (mod p ) разрешима.

История

Незадолго до 1748 года Эйлер сделал первые предположения о кубической вычетности малых целых чисел, но они не были опубликованы до 1849 года, через 62 года после его смерти.

В опубликованных работах Гаусса кубические вычеты и взаимность упоминаются трижды: в Disquisitiones Arithmeticae (1801 г.) есть один результат, относящийся к кубическим вычетам. Во введении к пятому и шестому доказательствам квадратичной взаимности (1818 г.) он сказал, что публикует эти доказательства, потому что их методы ( лемма Гаусса и гауссовы суммы соответственно) могут быть применены к кубической и биквадратичной взаимности. Наконец, в сноске во второй (из двух) монографий о биквадратичной взаимности (1832 г.) говорится, что кубическую взаимность легче всего описать в кольце целых чисел Эйзенштейна.

Из его дневника и других неопубликованных источников следует, что Гаусс знал правила кубической и квадратичной вычетности целых чисел к 1805 году и открыл полноценные теоремы и доказательства кубической и биквадратичной взаимности примерно в 1814 году. Доказательства этого были найдены в его посмертных работах, но неясно, принадлежат ли они ему или Эйзенштейну.

Якоби опубликовал несколько теорем о кубической вычетности в 1827 году, но не нашел доказательств. В своих Кенигсбергских лекциях 1836–37 Якоби представил доказательства. Первые опубликованные доказательства были сделаны Эйзенштейном (1844 г.).

Целые числа

Кубический остаток (mod p ) — это любое число, соответствующее третьей степени целого числа (mod p ). Если х ³ ≡ a (mod p ) не имеет целочисленного решения, a — кубический невычет (mod p ).

Кубические остатки обычно определяются только по модулю n, так что $\lambda (n)$ ( лямбда-функция Кармайкла от n ) делится на 3, поскольку для других целых чисел n все остатки являются кубическими остатками.

Как это часто бывает в теории чисел, проще работать с простыми числами по модулю, поэтому в этом разделе все модули p , q и т. д. считаются положительными нечетными простыми числами.

Прежде всего заметим, что если q ≡ 2 (mod 3) — простое число, то каждое число является кубическим вычетом по модулю q . Пусть q = 3 n + 2; поскольку 0 = 0 ³ очевидно, является кубическим вычетом, предположим, что x не делится на q . Тогда по Ферма малой теореме

$x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod {q}}$

Умножив два сравнения, мы имеем

$x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}$

на 3 n + 2, Теперь, заменив q получим:

$x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.$

Поэтому единственный интересный случай — это когда модуль p ≡ 1 (mod 3). В этом случае ненулевые классы вычетов (mod p ) можно разделить на три набора, каждый из которых содержит ( p −1)/3 чисел. Пусть e — кубический невычет. Первый набор — кубические вычеты; второе — это e, умноженное на числа в первом наборе, а третье — e. ² умножить числа в первом наборе. Другой способ описать это деление — позволить e быть примитивным корнем (mod p ); тогда первый (соответственно второй, третий) набор — это числа, индексы которых относительно этого корня конгруэнтны 0 (соответственно 1, 2) (по модулю 3). В словаре теории групп кубические вычеты образуют подгруппу индекса 3 мультипликативной группы. $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ и эти три набора являются его смежными классами.

Простые числа ≡ 1 (мод. 3)

Теорема Ферма утверждает, что каждое простое число p ≡ 1 (mod 3) можно записать как p = a ² + 3 б ² и (за исключением знаков a и b ) это представление единственно.

Полагая m = a + b и n = a − b , мы видим, что это эквивалентно p = m ² − мн + п ² (что равно ( n - m ) ² - ( п - м ) п + п ² = м ² + м ( п - м ) + ( п - м ) ² , поэтому m и n не определены однозначно). Таким образом,

${\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}$

и это несложное упражнение — показать, что ровно одно из m , n или m − n кратно 3, поэтому

$p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),$

это представление единственно с точностью до знаков L и M. и

Для относительно простых целых чисел m и n определите символ рационального кубического вычета как

$\left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}$

Важно отметить, что этот символ не обладает мультипликативными свойствами символа Лежандра; для этого нам нужен настоящий кубический символ, определенный ниже.

Гипотезы Эйлера. Пусть р = а ² + 3 б ² быть простым. Тогда имеют место следующие положения:

${\begin{aligned}\left[{\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b)\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b{\text{ or }}3\mid b{\text{ and }}5\mid a{\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b)\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b)\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}$

Первые два можно переформулировать следующим образом. Пусть p — простое число, соответствующее 1 по модулю 3. Тогда:

• 2 является кубическим вычетом числа p тогда и только тогда, когда p = a ² + 27 б ² .
• 3 является кубическим вычетом числа p тогда и только тогда, когда 4 p = a ² + 243 б ² .

Теорема Гаусса. Пусть p — положительное простое число такое, что

$p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).$

Затем $L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}.$

Легко видеть, что из теоремы Гаусса следует:

$\left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p}}\right]_{3}=1.$

Теорема Якоби (изложена без доказательства). Пусть q ≡ p ≡ 1 (mod 6) — положительные простые числа. Очевидно, что и p, и q также конгруэнтны 1 по модулю 3, поэтому предположим:

$p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).$

Пусть x — решение x ² ≡ −3 (по модулю q ). Затем

$x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},$

и у нас есть:

${\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_{3}=1\\\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}$

Лемера Теорема . Пусть q и p — простые числа, причем $p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).$ Затем:

$\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},$

где

$u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.$

Обратите внимание, что первое условие подразумевает: любое число, делящее L или M, является кубическим остатком (mod p ).

Первые несколько примеров из этого эквивалентны гипотезам Эйлера:

${\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}$

Поскольку очевидно, что L ≡ M (mod 2), критерий q = 2 можно упростить следующим образом:

$\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.$

Теорема Мартине. Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 3) — простые числа, $pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).$ Затем

$\left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.$

Теорема Шарифи. Пусть р = 1 + 3 х + 9 х ² быть простым. Тогда любой делитель x является кубическим вычетом (mod p ).

Целые числа Эйзенштейна

Фон

В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс говорит:

Теоремы о биквадратичных остатках блистают величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на мнимые числа, так что без ограничений числа вида a + bi составляют объект изучения... такие числа мы называем целые комплексные числа . [жирный шрифт в оригинале]

Эти числа теперь называются кольцом гауссовских целых чисел и обозначаются Z [ i ]. Обратите внимание, что i — корень четвёртой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов должна быть основана аналогичным образом на рассмотрении чисел вида a + bh, где h — мнимый корень уравнения h ³ = 1... и аналогично теория вычетов высших степеней приводит к введению других мнимых величин.

В своей первой монографии о кубической взаимности Эйзенштейн разработал теорию чисел, построенных из кубического корня из единицы; теперь их называют кольцом целых чисел Эйзенштейна . Эйзенштейн сказал, что для исследования свойств этого кольца достаточно обратиться к работе Гаусса о Z [ i ] и изменить доказательства. Это неудивительно, поскольку оба кольца являются уникальными областями факторизации .

«Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», — это кольца целых чисел полей круговых чисел ; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами таких чисел.

Факты и терминология

Позволять

$\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.$

И рассмотрим кольцо целых чисел Эйзенштейна :

$\mathbb {Z} [\omega ]=\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.$

Это евклидова область с функцией нормы , определяемой следующим образом:

$N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.$

Обратите внимание, что норма всегда соответствует 0 или 1 (по модулю 3).

Группа подразделений в $\mathbb {Z} [\omega ]$ (элементы с мультипликативным обратным или, что то же самое, с единичной нормой) представляет собой циклическую группу корней шестой степени из единицы,

$\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.$

$\mathbb {Z} [\omega ]$ является уникальной областью факторизации . Простые числа делятся на три класса:

• 3 — частный случай:

$3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.$

Это единственное простое число в $\mathbb {Z}$ делится на квадрат простого числа $\mathbb {Z} [\omega ]$. Говорят, что простое число 3 разветвляется на $\mathbb {Z} [\omega ]$.

• Положительные простые числа в $\mathbb {Z}$ конгруэнтные 2 (по модулю 3), также являются простыми числами по $\mathbb {Z} [\omega ]$. Говорят, что эти простые числа остаются инертными в $\mathbb {Z} [\omega ]$. Обратите внимание, что если $q$ любое инертное простое число, тогда:

$N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.$

• Положительные простые числа в $\mathbb {Z}$ конгруэнтные 1 (по модулю 3), являются произведением двух сопряженных простых чисел в $\mathbb {Z} [\omega ]$. Говорят, что эти простые числа распадаются на $\mathbb {Z} [\omega ]$. Их факторизация определяется следующим образом:

$p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.$

например

$7=(3+\omega )(2-\omega ).$

Число является первичным , если оно взаимно просто с 3 и соответствует обычному целому числу по модулю. $(1-\omega )^{2},$ это то же самое, что сказать, что оно соответствует $\pm 2$ по модулю 3. Если $\gcd(N(\lambda ),3)=1$ один из $\lambda ,\omega \lambda ,$ или $\omega ^{2}\lambda$ является первичным. При этом произведение двух простых чисел является первичным, и сопряженное простому числу также является первичным.

Уникальная теорема факторизации для $\mathbb {Z} [\omega ]$ это: если $\lambda \neq 0,$ затем

$\lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0$

где каждый $\pi _{i}$ является первичным (по определению Эйзенштейна) простым числом. И это представление уникально с точностью до порядка множителей.

Понятия соответствия и наибольший общий делитель определяются таким же образом в $\mathbb {Z} [\omega ]$ как и для обычных целых чисел $\mathbb {Z}$. Поскольку единицы делят все числа, сравнение по модулю $\lambda$ также верно по модулю любого ассоциированного $\lambda$, и любой ассоциированный НОД также является НОД.

Символ кубического остатка

Определение

Аналог малой теоремы Ферма верен в $\mathbb {Z} [\omega ]$: если $\alpha$ не делится на простое число $\pi$,

$\alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.$

Теперь предположим, что $N(\pi )\neq 3$ так что $N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.$ Или сказать по-другому $3\mid N(\pi )-1.$ Тогда мы можем написать:

$\alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},$

за уникальный юнит $\omega ^{k}.$ Эта единица называется вычетом кубическим $\alpha$ модуль $\pi$ и обозначается

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}{\bmod {\pi }}.$

Характеристики

Символ кубического вычета имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра :

• Если $\alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}$ затем $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.$
• $\left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.$
• ${\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left({\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},$ где черта означает комплексное сопряжение.
• Если $\pi$ и $\theta$ тогда мы коллеги $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}$
• Конгруэнтность $x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}$ имеет решение в $\mathbb {Z} [\omega ]$ тогда и только тогда, когда $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.$
• Если $a,b\in \mathbb {Z}$ таковы, что $\gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,$ затем $\left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.$
• Кубический символ можно мультипликативно расширить до составных чисел (взаимно простых с 3) в «знаменателе» точно так же, как символ Лежандра обобщается в символ Якоби . Как и в случае с символом Якоби, это расширение приносит в жертву «числитель представляет собой кубический остаток со знаменателем», что означает: символ по-прежнему гарантированно равен 1, когда «числитель» является кубическим остатком, но обратное больше не выполняется.

$\left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,$

где

$\lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots$

Формулировка теоремы

Пусть α и β первичны. Затем

${\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.$

Существуют дополнительные теоремы для единиц и простого числа 1 − ω:

Пусть α = a + b ω — примарное, a = 3 m + 1 и b = 3 n . (Если a ≡ 2 (mod 3), замените α на ассоциированный с ним −α; это не изменит значения кубических символов.) Тогда

${\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.$

См. также

• Квадратичная взаимность
• Квартальная взаимность
• Октическая взаимность
• взаимность Эйзенштейна
• Искусство взаимности

Ссылки

Ссылки на оригинальные работы Эйлера, Якоби и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке данной статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numerorum doctrina, глава desdecim quae sursunt , Комментарий. Арифметика. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но опубликовано только посмертно; Это находится в томе V, стр. 182–283.

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, тома I–V , Лейпциг и Берлин: Тойбнер

Гаусс

Две монографии Гаусса, опубликованные по биквадратичной взаимности, имеют последовательную нумерацию разделов: первая содержит §§ 1–23, вторая – §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют форму «Gauss, BQ, § n ». Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. n ».

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Теория биквадратичных вычетов, Первый комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Теория биквадратичных вычетов, Второй комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 7

Гаусса Они находятся в Werke , том II, стр. 65–92 и 93–148.

Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности Гаусса находятся в

• Гаусс, Карл Фридрих (1818), Новые демонстрации и приложения основной теоремы в теории квадратичных вычетов

Гаусса Это в Werke , том II, стр. 47–64.

Ниже приведены немецкие переводы всех трех из вышеперечисленных, в которые также входят Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих (1965), Исследования по высшей арифметике (второе издание) , перевод Мазера Х., Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), Доказательство теоремы взаимности для кубических остатков в теории чисел, составленных из корней третьей степени из единицы , Дж. Рейн Ангью. Математика 27, стр. 289–310 (Журнал Крелля).

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), Приложение к кубической теореме взаимности для чисел, составленных из корней третьей степени из единицы, критерии кубичности числа 3 и его делителей , Ж. Рейн Ангью. Математика 28, стр. 28–35 (Журнал Крелля).

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1845), Применение алгебры к трансцендентной арифметике , Дж. Рейн Ангью. Математика. 29 стр. 177–184 (Журнал Крелля)

Все эти статьи находятся в первом томе его Werke .

Якоби

• Якоби, Карл Гюстав Якоб (1827), Многочисленные комментарии к кубическим вычетам , Дж. Рейн Ангью. Математика. 2 стр. 66–69 (Журнал Крелля)

Это в VI томе его Werke .

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x ² +Нью-Йорк ² , Нью-Йорк: Уайли, ISBN  0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-97329-Х

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN  3-540-66957-4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема кубической взаимности» . Математический мир .