Функция фон Мангольдта
В математике функция фон Мангольдта — арифметическая функция , названная в честь немецкого математика Ганса фон Мангольдта . Это пример важной арифметической функции, которая не является ни мультипликативной , ни аддитивной .
Определение [ править ]
Функция фон Мангольдта, обозначаемая Λ( n ) , определяется как
Значения Λ( n ) для первых девяти положительных целых чисел (т.е. натуральных чисел) равны
что связано с (последовательность A014963 в OEIS ).
Свойства [ править ]
Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству [1] [2]
Сумма берется по всем целым числам d делящим , n . Это доказывает основная теорема арифметики , поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0 . Например, рассмотрим случай n = 12 = 2 2 × 3 . Затем
По обращению Мёбиуса имеем
и используя правило произведения логарифма, получаем [2] [3] [4]
Для всех , у нас есть [5]
Также существуют положительные константы c 1 и c 2 такие, что
для всех , и
для всех достаточно больших x .
Серия Дирихле [ править ]
Функция фон Мангольдта играет важную роль в теории рядов Дирихле , и в частности, дзета-функции Римана . Например, у одного есть
Логарифмическая производная тогда равна [6]
Это частные случаи более общего соотношения для рядов Дирихле. Если у кого-то есть
для вполне мультипликативной функции f ( n ) и ряд сходится при Re( s ) > σ0 , то
сходится при Re( s ) > σ0 .
Функция Чебышева [ править ]
Вторая функция Чебышева ψ ( x ) является суммарной функцией функции фон Мангольдта: [7]
Его ввел Пафнутий Чебышев , который использовал его, чтобы показать, что истинный порядок функции, считающей простые числа, является . Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для ψ ( x ) , включающей сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана . Это была важная часть первого доказательства теоремы о простых числах .
Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив формулу Перрона :
что справедливо для Re( s ) > 1 .
Экспоненциальный ряд [ править ]
Харди и Литтлвуд просмотрели сериал [8]
в пределе y → 0 + . Принимая гипотезу Римана , они показывают, что
В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение К > 0 такое, что оба неравенства
выполняются бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что такое поведение поначалу не очевидно численно: колебания не видны четко до тех пор, пока ряд не суммируется, превышающий 100 миллионов членов, и легко видны только тогда, когда y < 10 −5 .
Рисс означает [ править ]
функции Среднее Рисса фон Мангольдта определяется выражением
Здесь λ и δ — числа, характеризующие среднее Рисса. Надо взять c > 1 . Сумма по ρ — это сумма по нулям дзета-функции Римана, а
можно показать, что это сходящийся ряд при λ > 1 .
Римана дзета - нулями Приближение
Существует явная формула суммирующей функции Мангольдта данный [9]
Если мы выделим тривиальные нули дзета-функции, которые являются отрицательными четными целыми числами, мы получим
(Сумма не является абсолютно сходящейся, поэтому нули будем брать в порядке абсолютного значения их мнимой части.)
Напротив, в 1911 г. Э. Ландау доказал, что для любого фиксированного t > 1 [10]
(Мы используем обозначение ρ = β + iγ для нетривиальных нулей дзета-функции.)
Следовательно, если мы используем обозначение Римана α = −i(ρ − 1/2), мы получим, что сумма по нетривиальным дзета-нолям выражается как
достигает максимума в простых числах и степенях простых чисел.
Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками по ординатам, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.
Мангольдта Обобщенная функция
Функции
где обозначает функцию Мёбиуса и обозначает целое положительное число, обобщающее функцию фон Мангольдта. [11] Функция — обычная функция Мангольдта .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Апостол (1976) стр.32
- ^ Перейти обратно: а б Тененбаум (1995) стр.30
- ^ Апостол (1976) стр.33
- ^ Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0 . Збл 0997.11501 .
- ^ Апостол (1976) стр.88
- ^ Харди и Райт (2008) §17.7, Теорема 294
- ^ Апостол (1976) стр.246
- ^ Харди, Г.Х. и Литтлвуд, Дж.Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF) . Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г. Проверено 3 июля 2014 г.
- ^ Конри, Дж. Брайан (март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF) . Уведомления Ам. Математика. Соц . 50 (3): 341–353. Збл 1160.11341 . Страница 346
- ^ Э. Ландау, О нулях дзета-функции, Math. 71 (1911), 548-564.
- ^ Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Ситовые операции , Публикации конференции Американского математического общества, том. 57, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 23, ISBN 978-0-8218-4970-5 , МР 2647984
- Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
- Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Хит-Браун, Демократическая Республика Молдова ; Сильверман, Дж. Х. (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8 . МР 2445243 . Збл 1159.11001 .
- Тенебаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 46. Перевод CB Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7 . Збл 0831.11001 .
Внешние ссылки [ править ]
- Аллан Гут, Некоторые замечания о дзета-распределении Римана (2005)
- С. А. Степанов (2001) [1994], «Функция Мангольдта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Хайке, Как построить дзета-нулевой спектр Римана в системе Mathematica? (2012)