Функция фон Мангольдта

В математике функция фон Мангольдта — арифметическая функция, названная в честь немецкого математика Ганса фон Мангольдта . Это пример важной арифметической функции, которая не является ни мультипликативной , ни аддитивной .

Определение [ править ]

Функция фон Мангольдта, обозначаемая $Λ(n)$ , определяется как

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Значения $Λ(n)$ для первых девяти положительных целых чисел (т.е. натуральных чисел) равны

0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,

что связано с (последовательность A014963 в OEIS ).

Свойства [ править ]

Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству ^[1]^[2]

\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).

Сумма берется по всем целым числам $d$ делящим , $n$ . Это доказывает основная теорема арифметики , поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны $0$ . Например, рассмотрим случай $n = 12 = 2 2 \times 3$ . Затем

{\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}

По обращению Мёбиуса имеем

\Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)

и используя правило произведения логарифма, получаем ^[2]^[3]^[4]

\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .

Для всех $x\geq 1$ , у нас есть ^[5]

\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).

Также существуют положительные константы $c 1$ и $c 2$ такие, что

\psi (x)\leq c_{1}x,

для всех $x\geq 1$ , и

\psi (x)\geq c_{2}x,

для всех достаточно больших $x$ .

Серия Дирихле [ править ]

Функция фон Мангольдта играет важную роль в теории рядов Дирихле , и в частности, дзета-функции Римана . Например, у одного есть

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.

Логарифмическая производная тогда равна ^[6]

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.

Это частные случаи более общего соотношения для рядов Дирихле. Если у кого-то есть

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

для вполне мультипликативной функции $f (n)$ и ряд сходится при $Re(s) > σ0,$ то

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}

сходится при $Re(s) > σ0$ .

Функция Чебышева [ править ]

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) является суммирующей функцией функции фон Мангольдта: ^[7]

\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .

Его ввел Пафнутий Чебышев , который использовал его, чтобы показать, что истинный порядок функции, считающей простые числа, $\pi (x)$ является $x/\log x$ . Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для $ψ (x),$ включающей сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана . Это была важная часть первого доказательства теоремы о простых числах .

Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив формулу Перрона :

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx

что справедливо для $Re(s) > 1$ .

Экспоненциальный ряд [ править ]

Харди и Литтлвуд просмотрели сериал ^[8]

F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}

в пределе $y \to 0 +$ . Принимая гипотезу Римана , они показывают, что

F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)

В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение $К > 0$ такое, что оба неравенства

F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}

выполняются бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что такое поведение поначалу не очевидно численно: колебания не видны четко до тех пор, пока ряд не суммируется, превышающий 100 миллионов членов, и легко видны только тогда, когда $y < 10 -5$ .

Рисс означает [ править ]

Среднее Рисса функции фон Мангольдта определяется выражением

{\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}

Здесь $λ$ и $δ$ — числа, характеризующие среднее Рисса. Нужно взять $c > 1$ . Сумма по $ρ$ — это сумма по нулям дзета-функции Римана, а

\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,

можно показать, что это сходящийся ряд при $λ > 1$ .

Римана - нулями Приближение дзета

Существует явная формула суммирующей функции Мангольдта $\psi (x)$ данный ^[9]

\psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).

Если мы выделим тривиальные нули дзета-функции, которые являются отрицательными четными целыми числами, мы получим

\psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).

(Сумма не является абсолютно сходящейся, поэтому нули будем брать в порядке абсолютного значения их мнимой части.)

Напротив, в 1911 г. Э. Ландау доказал, что для любого фиксированного t > 1 ^[10]

\sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)

(Мы используем обозначение ρ = β + iγ для нетривиальных нулей дзета-функции.)

Следовательно, если мы используем обозначение Римана α = −i(ρ − 1/2), мы получим, что сумма по нетривиальным дзета-нолям выражается как

\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}

достигает максимума в простых числах и степенях простых чисел.

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками по ординатам, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.

Мангольдта Обобщенная функция

Функции

\Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),

где $\mu$ обозначает функцию Мёбиуса и $k$ обозначает целое положительное число, обобщающее функцию фон Мангольдта. ^[11] Функция $\Lambda _{1}$ — обычная функция Мангольдта $\Lambda$ .

См. также [ править ]

Функция подсчета простых чисел

Ссылки [ править ]

^ Апостол (1976) стр.32
^ Jump up to: ^а ^б Тененбаум (1995) стр.30
^ Апостол (1976) стр.33
^ Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0 . Збл 0997.11501 .
^ Апостол (1976) стр.88
^ Харди и Райт (2008) §17.7, Теорема 294
^ Апостол (1976) стр.246
^ Харди, Г.Х. и Литтлвуд, Дж.Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF) . Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г. Проверено 3 июля 2014 г.
^ Конри, Дж. Брайан (март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF) . Уведомления Ам. Математика. Соц . 50 (3): 341–353. Збл 1160.11341 . Страница 346
^ Э. Ландау, О нулях дзета-функции, Math. 71 (1911), 548-564.
^ Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Opera de cribro , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 57, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 23, ISBN 978-0-8218-4970-5 , МР 2647984

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Хит-Браун, Демократическая Республика Молдова ; Сильверман, Дж. Х. (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8 . МР 2445243 . Збл 1159.11001 .

Тенебаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 46. Перевод CB Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7 . Збл 0831.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

Аллан Гут, Некоторые замечания о дзета-распределении Римана (2005)
С. А. Степанов (2001) [1994], «Функция Мангольдта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Хайке, Как построить дзета-нулевой спектр Римана в системе Mathematica? (2012)

[Apo32-1] Апостол (1976) стр.32

[Ten30-2] Jump up to: ^а ^б Тененбаум (1995) стр.30

[Apo33-3] Апостол (1976) стр.33

[4] Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0 . Збл 0997.11501 .

[Apo88-5] Апостол (1976) стр.88

[HW-6] Харди и Райт (2008) §17.7, Теорема 294

[Apo246-7] Апостол (1976) стр.246

[8] Харди, Г.Х. и Литтлвуд, Дж.Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF) . Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г. Проверено 3 июля 2014 г.

[9] Конри, Дж. Брайан (март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF) . Уведомления Ам. Математика. Соц . 50 (3): 341–353. Збл 1160.11341 . Страница 346

[10] Э. Ландау, О нулях дзета-функции, Math. 71 (1911), 548-564.

[11] Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Opera de cribro , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 57, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 23, ISBN 978-0-8218-4970-5 , МР 2647984

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]