~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Arc.Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Номер скриншота №:
✰ A2BFF70A2022C5237D2BADFE9F9F4563__1711238160 ✰
Заголовок документа оригинал.:
✰ Von Mangoldt function - Wikipedia ✰
Заголовок документа перевод.:
✰ Функция Мангольдта — Википедия, бесплатная энциклопедия ✰
Снимок документа находящегося по адресу (URL):
✰ https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mangoldt_function ✰
Адрес хранения снимка оригинал (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/a2/63/a2bff70a2022c5237d2badfe9f9f4563.html ✰
Адрес хранения снимка перевод (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/a2/63/a2bff70a2022c5237d2badfe9f9f4563__translat.html ✰
Дата и время сохранения документа:
✰ 09.06.2024 01:43:39 (GMT+3, MSK) ✰
Дата и время изменения документа (по данным источника):
✰ 24 March 2024, at 02:56 (UTC). ✰ 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Сервисы Ask3.ru: 
 Архив документов (Снимки документов, в формате HTML, PDF, PNG - подписанные ЭЦП, доказывающие существование документа в момент подписи. Перевод сохраненных документов на русский язык.)https://arc.ask3.ruОтветы на вопросы (Сервис ответов на вопросы, в основном, научной направленности)https://ask3.ru/answer2questionТоварный сопоставитель (Сервис сравнения и выбора товаров) ✰✰
✰ https://ask3.ru/product2collationПартнерыhttps://comrades.ask3.ru


Совет. Чтобы искать на странице, нажмите Ctrl+F или ⌘-F (для MacOS) и введите запрос в поле поиска.
Функция Мангольдта , бесплатная энциклопедия Jump to content

Функция фон Мангольдта

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

В математике функция фон Мангольдта арифметическая функция , названная в честь немецкого математика Ганса фон Мангольдта . Это пример важной арифметической функции, которая не является ни мультипликативной , ни аддитивной .

Определение [ править ]

Функция фон Мангольдта, обозначаемая Λ( n ) , определяется как

Значения Λ( n ) для первых девяти положительных целых чисел (т.е. натуральных чисел) равны

что связано с (последовательность A014963 в OEIS ).

Свойства [ править ]

Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству [1] [2]

Сумма берется по всем целым числам d делящим , n . Это доказывает основная теорема арифметики , поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0 . Например, рассмотрим случай n = 12 = 2 2 × 3 . Затем

По обращению Мёбиуса имеем

и используя правило произведения логарифма, получаем [2] [3] [4]

Для всех , у нас есть [5]

Также существуют положительные константы c 1 и c 2 такие, что

для всех , и

для всех достаточно больших x .

Серия Дирихле [ править ]

Функция фон Мангольдта играет важную роль в теории рядов Дирихле , и в частности, дзета-функции Римана . Например, у одного есть

Логарифмическая производная тогда равна [6]

Это частные случаи более общего соотношения для рядов Дирихле. Если у кого-то есть

для вполне мультипликативной функции f ( n ) и ряд сходится при Re( s ) > σ0 , то

сходится при Re( s ) > σ0 .

Функция Чебышева [ править ]

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) является суммарной функцией функции фон Мангольдта: [7]

Его ввел Пафнутий Чебышев , который использовал его, чтобы показать, что истинный порядок функции, считающей простые числа, является . Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для ψ ( x ) , включающей сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана . Это была важная часть первого доказательства теоремы о простых числах .

Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив формулу Перрона :

что справедливо для Re( s ) > 1 .

Экспоненциальный ряд [ править ]

Харди и Литтлвуд просмотрели сериал [8]

в пределе y → 0 + . Принимая гипотезу Римана , они показывают, что

В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение К > 0 такое, что оба неравенства

выполняются бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что такое поведение поначалу не очевидно численно: колебания не видны четко до тех пор, пока ряд не суммируется, превышающий 100 миллионов членов, и легко видны только тогда, когда y < 10 −5 .

Рисс означает [ править ]

функции Среднее Рисса фон Мангольдта определяется выражением

Здесь λ и δ — числа, характеризующие среднее Рисса. Надо взять c > 1 . Сумма по ρ — это сумма по нулям дзета-функции Римана, а

можно показать, что это сходящийся ряд при λ > 1 .

Римана дзета - нулями Приближение

Первая дзета-нулевая волна Римана в сумме, аппроксимирующей функцию фон Мангольдта

Существует явная формула суммирующей функции Мангольдта данный [9]

Если мы выделим тривиальные нули дзета-функции, которые являются отрицательными четными целыми числами, мы получим

(Сумма не является абсолютно сходящейся, поэтому нули будем брать в порядке абсолютного значения их мнимой части.)

Напротив, в 1911 г. Э. Ландау доказал, что для любого фиксированного t > 1 [10]

(Мы используем обозначение ρ = β + iγ для нетривиальных нулей дзета-функции.)

(Слева) Функция фон Мангольдта, аппроксимированная дзета-нулями. (Справа) Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с мнимыми частями дзета-нулей Римана в виде пиков.

Следовательно, если мы используем обозначение Римана α = −i(ρ − 1/2), мы получим, что сумма по нетривиальным дзета-нолям выражается как

достигает максимума в простых числах и степенях простых чисел.

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками по ординатам, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.

Мангольдта Обобщенная функция

Функции

где обозначает функцию Мёбиуса и обозначает целое положительное число, обобщающее функцию фон Мангольдта. [11] Функция — обычная функция Мангольдта .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Апостол (1976) стр.32
  2. ^ Перейти обратно: а б Тененбаум (1995) стр.30
  3. ^ Апостол (1976) стр.33
  4. ^ Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-62006-0 . Збл   0997.11501 .
  5. ^ Апостол (1976) стр.88
  6. ^ Харди и Райт (2008) §17.7, Теорема 294
  7. ^ Апостол (1976) стр.246
  8. ^ Харди, Г.Х. и Литтлвуд, Дж.Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF) . Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г. Проверено 3 июля 2014 г.
  9. ^ Конри, Дж. Брайан (март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF) . Уведомления Ам. Математика. Соц . 50 (3): 341–353. Збл   1160.11341 . Страница 346
  10. ^ Э. Ландау, О нулях дзета-функции, Math. 71 (1911), 548-564.
  11. ^ Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Ситовые операции , Публикации конференции Американского математического общества, том. 57, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 23, ISBN  978-0-8218-4970-5 , МР   2647984

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец оригинального документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: A2BFF70A2022C5237D2BADFE9F9F4563__1711238160
URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mangoldt_function
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Von Mangoldt function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)