постоянная де Брейна – Ньюмана

Константа де Брейна–Ньюмана , обозначаемая $\Lambda$ и названная в честь Николааса Говерта де Брейна и Чарльза Майкла Ньюмана , представляет собой математическую константу, определяемую через нули определенной функции. $H(\lambda ,z)$ , где $\lambda$ является действительным параметром и $z$ является комплексной переменной. Точнее,

H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du

,

где $\Phi$ это суперэкспоненциально убывающая функция

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}

и $\Lambda$ уникальное действительное число со свойством, которое $H$ имеет действительные нули только тогда и только тогда, когда $\lambda \geq \Lambda$ .

Константа тесно связана с гипотезой Римана . Действительно, гипотеза Римана эквивалентна гипотезе о том, что $\Lambda \leq 0$ . ^{[ 1 ]} Брэд Роджерс и Теренс Тао доказали , что $\Lambda \geq 0$ , поэтому гипотеза Римана эквивалентна $\Lambda =0$ . ^{[ 2 ]} Упрощенное доказательство результата Роджерса-Тао позже было дано Александром Добнером. ^{[ 3 ]}

История

Де Брейн показал, что в 1950 г. $H$ имеет только вещественные нули, если $\lambda \geq 1/2$ и более того, если $H$ имеет только действительные нули для некоторых $\lambda$ , $H$ также имеет только действительные нули, если $\lambda$ заменяется любым большим значением. ^{[ 4 ]} Ньюман доказал в 1976 году существование постоянной $\Lambda$ для которого справедливо утверждение «тогда и только если»; и это тогда означает, что $\Lambda$ является уникальным. Ньюман также предположил, что $\Lambda \geq 0$ , ^{[ 5 ]} что затем доказали Брэд Роджерс и Теренс Тао в 2018 году.

Верхние границы

Верхняя граница де Брёйна $\Lambda \leq 1/2$ не улучшался до 2008 года, когда Ки, Ким и Ли доказали $\Lambda <1/2$ , что делает неравенство строгим. ^{[ 6 ]}

В декабре 2018 года 15-й проект Polymath улучшил показатели $\Lambda \leq 0.22$ . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Рукопись работы Polymath была отправлена в arXiv в конце апреля 2019 года. ^{[ 10 ]} и был опубликован в журнале Research In the Mathematical Sciences в августе 2019 года. ^{[ 11 ]}

Эта граница была немного улучшена в апреле 2020 года Платтом и Трудгианом до $\Lambda \leq 0.2$ . ^{[ 12 ]}

Исторические границы

Исторические нижние границы
Год	Нижняя оценка Λ	Авторы
1987	−50 ^{[ 13 ]}	Чордас, Г.; Норфолк, Техас; Варга, РС
1990	−5 ^{[ 14 ]}	в районе Риле, HJJ
1991	−0.0991 ^{[ 15 ]}	Чордас, Г.; Руттан, А.; Варга, РС
1993	−5.895 × 10 ⁻⁹^{[ 16 ]}	Чордас, Г.; Одлыжко А.М.; Смит, В.; Варга, РС
2000	−2.7 × 10 ⁻⁹^{[ 17 ]}	Одлизко А.М.
2011	−1.1 × 10 ⁻¹¹^{[ 18 ]}	Саутер, Янник; Гурдон, Ксавье; Демишель, Патрик
2018	≥0 ^{[ 2 ]}	Роджерс, Брэд; Тао, Теренс

Исторические верхние границы
Год	Верхняя оценка Λ	Авторы
1950	≤ 1/2 ^{[ 4 ]}	де Брёйн, НГ
2008	< 1/2 ^{[ 6 ]}	Ки, Х.; Ким, Ю.О.; Ли, Дж.
2019	≤ 0.22 ^{[ 7 ]}	Полимат, DHJ
2020	≤ 0.2 ^{[ 12 ]}	Платт, Д.; Труджан, Т.

Ссылки

^ «Константа Де Брейна-Ньюмана неотрицательна» . 19 января 2018 года . Проверено 19 января 2018 г. (анонсирующий пост)
^ Jump up to: ^а ^б Роджерс, Брэд; Тао, Теренс (2020). «Константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна» . Форум математики, Пи . 8 :e6. arXiv : 1801.05914 . дои : 10.1017/fmp.2020.6 . ISSN 2050-5086 .
^ Добнер, Александр (2020). «Новое доказательство гипотезы Ньюмана и обобщение». arXiv : 2005.05142 [ math.NT ].
^ Jump up to: ^а ^б де Брюин, Н.Г. (1950). «Корни тригинометрических интегралов» (PDF) . Герцог Мат. Дж . 17 (3): 197–226. дои : 10.1215/s0012-7094-50-01720-0 . Збл 0038.23302 .
^ Ньюман, CM (1976). «Преобразование Фурье только с действительными нулями» . Учеб. амер. Математика. Соц . 61 (2): 245–251. дои : 10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5 . Збл 0342.42007 .
^ Jump up to: ^а ^б Ки, Хасео; Ким, Янг-Уан; Ли, Юнгсоб (2009), «О постоянной де Брейна-Ньюмана» (PDF) , Advance in Mathematics , 222 (1): 281–306, doi : 10.1016/j.aim.2009.04.003 , ISSN 0001-8708 , МР 2531375 ( обсуждение ).
^ Jump up to: ^а ^б DHJ Polymath (20 декабря 2018 г.), Эффективная аппроксимация эволюции теплового потока Римана $\xi$ -функция и верхняя граница константы де Брейна-Ньюмана (PDF) (препринт) , получено 23 декабря 2018 г.
^ Идем ниже $\Lambda \leq 0.22?$ , 4 мая 2018 г.
^ Безнулевые регионы
^ Полимат, DHJ (2019). «Эффективное приближение эволюции теплового потока ξ-функции Римана и новая верхняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана». arXiv : 1904.12438 [ math.NT ]. (препринт)
^ Polymath, DHJ (2019), «Эффективное приближение эволюции теплового потока ξ-функции Римана и новая верхняя оценка константы де Брейна-Ньюмана», Research in the Mathematical Sciences , 6 (3), arXiv : 1904.12438 , Bibcode : 2019arXiv190412438P , дои : 10.1007/s40687-019-0193-1 , S2CID 139107960
^ Jump up to: ^а ^б Платт, Дэйв; Трудджиан, Тим (2021). «Гипотеза Римана верна до 3·1012». Бюллетень Лондонского математического общества . 53 (3): 792–797. arXiv : 2004.09765 . дои : 10.1112/blms.12460 . S2CID 234355998 . (препринт)
^ Чордас, Г.; Норфолк, Техас; Варга, РС (1 сентября 1987 г.). «Нижняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана Λ». Численная математика . 52 (5): 483–497. дои : 10.1007/BF01400887 . ISSN 0945-3245 . S2CID 124008641 .
^ Риле, HJJ (1 декабря 1990 г.). «Новая нижняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана». Численная математика . 58 (1): 661–667. дои : 10.1007/BF01385647 . ISSN 0945-3245 .
^ Чордас, Г.; Руттан, А.; Варга, РС (1 июня 1991 г.). «Неравенства Лагерра с применением к проблеме, связанной с гипотезой Римана». Численные алгоритмы . 1 (2): 305–329. Бибкод : 1991NuAlg...1..305C . дои : 10.1007/BF02142328 . ISSN 1572-9265 . S2CID 22606966 .
^ Чордас, Г.; Одлизко, А.М. ; Смит, В.; Варга, Р.С. (1993). «Новая пара нулей Лемера и новая нижняя граница лямбда-константы Де Брюйна – Ньюмана» (PDF) . Электронные труды по численному анализу . 1 : 104–111. Збл 0807.11059 . Проверено 1 июня 2012 г.
^ Одлыжко, А.М. (2000). «Улучшенная оценка постоянной де Брейна – Ньюмана». Численные алгоритмы . 25 (1): 293–303. Бибкод : 2000NuAlg..25..293O . дои : 10.1023/A:1016677511798 . S2CID 5824729 . Збл 0967.11034 .
^ Саутер, Янник; Гурдон, Ксавье; Демишель, Патрик (2011). «Улучшенная нижняя оценка постоянной де Брейна – Ньюмана» . Математика вычислений . 80 (276): 2281–2287. дои : 10.1090/S0025-5718-2011-02472-5 . МР 2813360 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Де Брейн – Ньюман Констант» . Математический мир .

[tao2-1] «Константа Де Брейна-Ньюмана неотрицательна» . 19 января 2018 года . Проверено 19 января 2018 г. (анонсирующий пост)

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Роджерс, Брэд; Тао, Теренс (2020). «Константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна» . Форум математики, Пи . 8 :e6. arXiv : 1801.05914 . дои : 10.1017/fmp.2020.6 . ISSN 2050-5086 .

[3] Добнер, Александр (2020). «Новое доказательство гипотезы Ньюмана и обобщение». arXiv : 2005.05142 [ math.NT ].

[de_Bruijn_roots-4] Jump up to: ^а ^б де Брюин, Н.Г. (1950). «Корни тригинометрических интегралов» (PDF) . Герцог Мат. Дж . 17 (3): 197–226. дои : 10.1215/s0012-7094-50-01720-0 . Збл 0038.23302 .

[5] Ньюман, CM (1976). «Преобразование Фурье только с действительными нулями» . Учеб. амер. Математика. Соц . 61 (2): 245–251. дои : 10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5 . Збл 0342.42007 .

[Ki_Kim_Lee-6] Jump up to: ^а ^б Ки, Хасео; Ким, Янг-Уан; Ли, Юнгсоб (2009), «О постоянной де Брейна-Ньюмана» (PDF) , Advance in Mathematics , 222 (1): 281–306, doi : 10.1016/j.aim.2009.04.003 , ISSN 0001-8708 , МР 2531375 ( обсуждение ).

[Polymath15-7] Jump up to: ^а ^б DHJ Polymath (20 декабря 2018 г.), Эффективная аппроксимация эволюции теплового потока Римана $\xi$ -функция и верхняя граница константы де Брейна-Ньюмана (PDF) (препринт) , получено 23 декабря 2018 г.

[8] Идем ниже $\Lambda \leq 0.22?$ , 4 мая 2018 г.

[9] Безнулевые регионы

[Polymath1-10] Полимат, DHJ (2019). «Эффективное приближение эволюции теплового потока ξ-функции Римана и новая верхняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана». arXiv : 1904.12438 [ math.NT ]. (препринт)

[Polymath3-11] Polymath, DHJ (2019), «Эффективное приближение эволюции теплового потока ξ-функции Римана и новая верхняя оценка константы де Брейна-Ньюмана», Research in the Mathematical Sciences , 6 (3), arXiv : 1904.12438 , Bibcode : 2019arXiv190412438P , дои : 10.1007/s40687-019-0193-1 , S2CID 139107960

[Platt+Trudgian-12] Jump up to: ^а ^б Платт, Дэйв; Трудджиан, Тим (2021). «Гипотеза Римана верна до 3·1012». Бюллетень Лондонского математического общества . 53 (3): 792–797. arXiv : 2004.09765 . дои : 10.1112/blms.12460 . S2CID 234355998 . (препринт)

[13] Чордас, Г.; Норфолк, Техас; Варга, РС (1 сентября 1987 г.). «Нижняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана Λ». Численная математика . 52 (5): 483–497. дои : 10.1007/BF01400887 . ISSN 0945-3245 . S2CID 124008641 .

[14] Риле, HJJ (1 декабря 1990 г.). «Новая нижняя оценка постоянной де Брейна-Ньюмана». Численная математика . 58 (1): 661–667. дои : 10.1007/BF01385647 . ISSN 0945-3245 .

[15] Чордас, Г.; Руттан, А.; Варга, РС (1 июня 1991 г.). «Неравенства Лагерра с применением к проблеме, связанной с гипотезой Римана». Численные алгоритмы . 1 (2): 305–329. Бибкод : 1991NuAlg...1..305C . дои : 10.1007/BF02142328 . ISSN 1572-9265 . S2CID 22606966 .

[16] Чордас, Г.; Одлизко, А.М. ; Смит, В.; Варга, Р.С. (1993). «Новая пара нулей Лемера и новая нижняя граница лямбда-константы Де Брюйна – Ньюмана» (PDF) . Электронные труды по численному анализу . 1 : 104–111. Збл 0807.11059 . Проверено 1 июня 2012 г.

[17] Одлыжко, А.М. (2000). «Улучшенная оценка постоянной де Брейна – Ньюмана». Численные алгоритмы . 25 (1): 293–303. Бибкод : 2000NuAlg..25..293O . дои : 10.1023/A:1016677511798 . S2CID 5824729 . Збл 0967.11034 .

[18] Саутер, Янник; Гурдон, Ксавье; Демишель, Патрик (2011). «Улучшенная нижняя оценка постоянной де Брейна – Ньюмана» . Математика вычислений . 80 (276): 2281–2287. дои : 10.1090/S0025-5718-2011-02472-5 . МР 2813360 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]