Теорема Зигеля–Вальфиса

В аналитической теории чисел теорема Зигеля -Вальфиса была получена Арнольдом Уолфисом. как применение теоремы Карла Людвига Зигеля на простые числа в арифметической прогрессии . Это уточнение как теоремы о простых числах , так и теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях .

Заявление

Определять

$\psi (x;q,a)=\sum _{n\,\leq \,x \atop n\,\equiv \,a\!{\pmod {\!q}}}\Lambda (n),$

где $\Lambda$ обозначает функцию фон Мангольдта , и пусть φ обозначает тотент-функцию Эйлера .

Тогда теорема утверждает, что для любого действительного числа N существует положительная константа CN _, зависящая только от N, такая, что

$\psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),$

всякий раз, когда ( a , q ) = 1 и

$q\leq (\log x)^{N}.$

Примечания

Константа CN _, не является эффективно вычислимой поскольку теорема Зигеля неэффективна.

Из этой теоремы мы можем вывести следующую оценку относительно теоремы о простых числах для арифметических прогрессий : Если для ( a , q ) = 1, то $\pi (x;q,a)$ мы обозначаем количество простых чисел, меньших или равных , конгруэнтны модулю q , x которые тогда

$\pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),$

где N , a , q , CN _{логарифмический} и φ такие же, как в теореме, а Li обозначает интеграл .

См. также

• Bombieri–Vinogradov theorem