Сигел ноль

В математике , точнее в области аналитической теории чисел , нуль Ландау–Зигеля или просто ноль Зигеля (также известный как исключительный нуль). ), названный в честь Эдмунда Ландау и Карла Людвига Зигеля , представляет собой тип потенциального контрпримера к обобщенной гипотезе Римана о нулях L-функций Дирихле , связанных с полями квадратичных чисел . Грубо говоря, это возможные нули, очень близкие (в количественном смысле) к $s=1$.

Мотивация и определение

То, как нули Зигеля появляются в теории L-функций Дирихле, представляет собой потенциальные исключения из классических областей без нулей , которые могут возникнуть только тогда, когда L-функция связана с реальным характером Дирихле.

Настоящие

Для целого числа q ≥ 1 характер Дирихле по модулю q является арифметической функцией. ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$ удовлетворяющий следующим свойствам:

• ( полностью мультипликативный ) ${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$ для каждого m , n ;
• (периодический) ${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$ для каждого n ;
• (Поддерживать) ${\textstyle \chi (n)=0}$ если $\mathrm {gcd} (n,q)>1$.

Т. е. х — поднятие гомоморфизма ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$.

Тривиальный q характер — это характер по модулю 1, а главный характер по модулю обозначается ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$, есть снятие тривиального гомоморфизма ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$.

Персонаж ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ называется импримитивным, если существует некоторое целое число ${\textstyle d\neq q}$ с ${\textstyle d\mid q}$ такой, что индуцированный гомоморфизм ${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$ факторы как

$(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}$

для какого-то персонажа ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$; в противном случае, ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ называется примитивным .

Персонаж ${\textstyle \chi }$ является вещественным (или квадратичным ), если оно равно своему комплексно-сопряженному ${\overline {\chi }}$ (определяется как ${\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}$), или, что то же самое, если ${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$. Настоящие примитивные характеры Дирихле находятся во взаимно однозначном соответствии с символами Кронекера. ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ для ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ фундаментальный дискриминант (т.е. дискриминант поля квадратичных чисел ). Один из способов определить ${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$ представляет собой полностью мультипликативную арифметическую функцию, определяемую (для простого числа p ):

${\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.$

Поэтому принято писать ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$, которые являются реальными примитивными символами по модулю ${\textstyle |D|}$.

нуля

Основная статья: L-функция Дирихле § Нули

связанная L-функция Дирихле, с персонажем ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ определяется как аналитическое продолжение ряда Дирихле ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$ определено для ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$, где s — комплексная переменная . Для $\chi$ неглавное, это продолжение целое ; противном случае он имеет простой полюс вычета в ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$ при s = 1 как его единственная особенность. Для ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$, L-функции Дирихле можно разложить в произведение Эйлера ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$, откуда следует, что ${\textstyle L(s,\chi )}$ не имеет нулей в этой области. Теорема о простых числах для арифметических прогрессий эквивалентна (в определенном смысле) теореме ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$ ( ${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$). Более того, с помощью функционального уравнения мы можем отразить эти области через ${\textstyle s\mapsto 1-s}$ заключить, что, за исключением отрицательных целых чисел той же четности, что и χ , все остальные нули ${\textstyle L(s,\chi )}$ должно лежать внутри $\{0<\mathrm {Re} (s)<1\}$. Эта область называется критической полосой , а нули в этой области называются нетривиальными нулями .

Классическая теорема о областях без нуля (Грёнвалл, Ландо, Титчмарш ) утверждает, что существует эффективно вычислимое действительное число ${\textstyle A>0}$ такое, что, написав $s=\sigma +it$ для комплексной переменной функция ${\textstyle L(s,\chi )}$ не имеет нулей в области

$\sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}$

если ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ нереально. Если ${\textstyle \chi }$ веществен, то в этой области имеется не более одного нуля, который обязательно должен быть вещественным и простым . Этот возможный ноль является так называемым нулем Зигеля .

Обобщенная гипотеза Римана (GRH) утверждает, что для каждого ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$, все нетривиальные нули ${\textstyle L(s,\chi )}$ лежать на линии ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$.

Определение «нулей Зигеля»

Нерешенная задача по математике :

Есть ${\textstyle \delta >0}$ для чего ${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$ для каждого фундаментального дискриминанта D, предоставленного ${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$?

(еще нерешенные задачи по математике)

Представленное определение нулей Зигеля связывает их с константой A в области без нулей. Это часто усложняет работу с этими объектами, поскольку во многих ситуациях конкретное значение константы A не имеет большого значения. Следовательно, обычно приходится работать с более определенными утверждениями, утверждающими или отрицающими существование бесконечного семейства таких нулей, например:

• Гипотеза («нет нулей Зигеля»): если ${\textstyle \beta _{D}}$ обозначает наибольший действительный ноль ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$, затем $1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.$

Возможность существования или отсутствия нулей Зигеля оказывает большое влияние на тесно связанные темы теории чисел, при этом гипотеза об отсутствии нулей Зигеля служит более слабой (хотя и мощной, а иногда и полностью достаточной) заменой GRH (см. ниже). для примера, включающего теорему Сигела-Тацудзавы и проблему идонеального числа ). Эквивалентной формулировкой «отсутствия нулей Зигеля», которая не ссылается на нули явно, является утверждение:

${\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).$

Эквивалентность можно вывести, например, используя области без нулей и классические оценки количества нетривиальных нулей ${\textstyle L(s,\chi )}$ до определенной высоты.

-

Первый прорыв в борьбе с этими нулями был сделан Ландау, который показал, что существует эффективно вычислимая константа $B>0$ такой, что для любого ${\textstyle \chi _{D}}$ и ${\textstyle \chi _{D'}}$ реальные примитивные символы к различным модулям, если ${\textstyle \beta ,\beta '}$ являются реальными нулями ${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$ соответственно, тогда

$\min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.$

Это значит, что если нули Зигеля существуют, то их не может быть слишком много. Это доказывается с помощью «перекручивающего» аргумента, который сводит проблему к дзета-функции Дедекинда биквадратичного поля. ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$. Этот прием до сих пор широко применяется в современных работах.

Этот «эффект отталкивания» (см. феномен Дойринга-Хейльбронна ) после более тщательного анализа привел Ландау к его теореме 1936 года: который гласит, что для каждого ${\textstyle \varepsilon >0}$, есть ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$ такое, что если ${\textstyle \beta }$ это настоящий ноль ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$, затем ${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$. Однако в том же году в том же номере того же журнала Сигел непосредственно улучшил эту оценку до

$\beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.$

Доказательства Ландау и Зигеля не дают явного способа вычисления. ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$, таким образом, являясь примерами неэффективного результата .

–

В 1951 году Тикао Тацудзава доказал «почти» эффективную версию теоремы Сигела: показывая, что для любого фиксированного ${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$, если ${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$ затем

$L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },$

за возможным исключением не более одного фундаментального дискриминанта. Используя «почти эффективность» этого результата, П. Дж. Вайнбергер (1973) показал, что список Эйлера из 65 идонеальных чисел полон, за исключением не более двух элементов.

Связь с квадратичными полями

Нули Зигеля часто кажутся чем-то большим, чем искусственная проблема в аргументах в пользу вывода областей без нулей, поскольку оценки областей без нулей глубоко связаны с арифметикой квадратичных полей. Например, личность ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$ можно интерпретировать как аналитическую формулировку квадратичной взаимности (см. §Утверждение закона взаимности Артина в терминах L-функций ). Точная связь между распределением нулей вблизи s = 1 и арифметикой возникает из формулы числа классов Дирихле :

$L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}$

где:

• ${\textstyle h(D)}$ идеальное классов число ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$;
• ${\textstyle w_{D}}$ - число корней из единицы в ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ( Д <0 );
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$ является фундаментальной единицей ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ( Д > 0 ).

Таким образом, оценки наибольшего реального нуля ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ можно перевести в оценки ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ (например, из-за того, что ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$ для ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$), которые, в свою очередь, становятся оценками ${\textstyle h(D)}$. Классические работы по этой теме рассматривают эти три величины по существу как взаимозаменяемые, хотя случай D > 0 вносит дополнительные сложности, связанные с фундаментальной единицей.

Зигеля как «квадратичные

В каком-то смысле трудность, связанная с явлением нулей Зигеля в целом, полностью ограничивается квадратичными расширениями. следствием теоремы Кронекера-Вебера Например, является то, что дзета-функция Дедекинда ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ абелева числового поля ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ можно записать в виде произведения L-функций Дирихле. Таким образом, если ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ имеет нуль Зигеля, должно быть какое-то подполе ${\textstyle F\subseteq K}$ с ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ такой, что ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$ имеет ноль Зигеля.

В то время как для неабелева случая ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ можно разложить только на более сложные L-функции Артина , то же самое верно:

• Теорема ( Старк , 1974) . Позволять ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ — числовое поле степени n > 1 . Существует постоянная ${\textstyle c(n)}$ ( ${\textstyle =4}$ если ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ это нормально, ${\textstyle =4n!}$ в противном случае) такой, что, если существует реальное ${\textstyle \beta }$ в диапазоне

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

с ${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$, то существует квадратичное подполе ${\textstyle F\subseteq K}$ такой, что ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$. Здесь, ${\textstyle \Delta _{K}}$ является дискриминантом поля расширения ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$.

«Нет нулей Зигеля» для D <0

При работе с квадратичными полями имеет место случай ${\textstyle D>0}$ имеет тенденцию быть неуловимым из-за поведения фундаментальной единицы. Таким образом, принято рассматривать случаи ${\textstyle D<0}$ и ${\textstyle D>0}$ отдельно. Гораздо больше известно о случае отрицательного дискриминанта:

Нижние границы для h ( D )

В 1918 году Эрих Хекке показал, что «нет нулей Зигеля» для ${\textstyle D<0}$ подразумевает, что ${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$ (для сравнения см. «Проблема с номером класса» ). Это можно распространить до эквивалентности, поскольку это является следствием теоремы 3 Гранвилля – Старка (2000):

${\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},$

где суммирование проводится по приведенным двоичным квадратичным формам ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ дискриминанта ${\textstyle D}$. Используя это, Гранвилл и Старк показали, что определенная единая формулировка гипотезы abc для числовых полей подразумевает «отсутствие нулей Зигеля» для отрицательных дискриминантов.

В 1976 году Дориан Голдфельд доказал следующую безусловную эффективную нижнюю оценку для ${\textstyle h(D)}$:

$h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.$

Комплексное умножение

Другая эквивалентность «отсутствию нулей Зигеля» для ${\textstyle D<0}$ может быть задано через верхние высот оценки сингулярных модулей :

$h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,$

где:

• ${\textstyle h}$ — абсолютная логарифмическая наивная высота числовых полей;
• ${\textstyle j}$ – j-инвариантная функция ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

Число ${\textstyle j(\tau _{D})}$ генерирует класса Гильберта поле ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$, которое является его максимальным неразветвленным абелевым расширением. Эта эквивалентность является прямым следствием результатов Гранвилля – Старка (2000): и это можно увидеть у К. Тафула (2019).

Точная связь между высотами и значениями L-функций была получена Пьером Колмезом (1993, 1998 ), который показал, что для эллиптической кривой ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ с комплексным умножением на ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$, у нас есть

$-2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,$

где ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$ обозначает высоту Фальтингса . Использование личностей ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$ и ${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$, Теорема Кольмеса также обеспечивает доказательство приведенной выше эквивалентности.

существования

Хотя ожидается, что обобщенная гипотеза Римана будет верной, поскольку гипотеза об отсутствии нулей Зигеля остается открытой, интересно изучить, какие последствия могут повлечь за собой столь серьезные контрпримеры к GRH. Другая причина изучить эту возможность заключается в том, что доказательство некоторых безусловных теорем требует разделения на два случая: сначала доказательство, предполагающее, что нули Зигеля не существуют, а затем другое, предполагающее, что нули Зигеля действительно существуют. Классической теоремой такого типа является теорема Линника о наименьшем простом числе арифметической прогрессии .

Ниже приведены некоторые примеры фактов, вытекающих из существования нулей Зигеля.

Бесконечность простых чисел-близнецов

Основная статья: Твин Прайм

Поразительным результатом в этом направлении является результат Роджера Хита-Брауна 1983 года. который, следуя Теренсу Тао , можно сформулировать следующим образом:

• Теорема (Хит-Браун, 1983) . Верно хотя бы одно из следующих утверждений: (1) Нулей Зигеля нет. ( 2) Существует бесконечно много простых чисел-близнецов .

Проблема с четностью

Основная статья: Проблема четности (теория решета)

Проблема четности в теории решета примерно относится к тому факту, что аргументы просеивания, вообще говоря, не могут определить, имеет ли целое число четное или нечетное количество простых делителей. Это приводит ко многим верхним оценкам ситовых оценок, например, к оценке линейного сита отклонение от ожидаемого значения в 2 раза. В 2020 году Гранвиль показал, что в предположении существования нулей Зигеля общие верхние оценки для проблемы интервалов просеивания оптимальны, а это означает, что дополнительный коэффициент 2, возникающий из-за явления четности, таким образом, не будет искусственным ограничением метода.

См. также

• Обобщенная гипотеза Римана
• Феномен Дойринга – Хейльбронна
• Проблема с номером класса
• Теорема Брауэра – Зигеля
• Теорема Зигеля–Вальфиса

Ссылки

• Давенпорт, Х. (1980). Мультипликативная теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 74. дои : 10.1007/978-1-4757-5927-3 . ISBN  978-1-4757-5929-7 . ISSN   0072-5285 .
• Иванец, Х. (2006), Фридлендер, Дж.Б.; Хит-Браун, ДР; Иванец, Х.; Качоровски Дж. (ред.), «Беседы об исключительном характере», Аналитическая теория чисел: лекции, прочитанные на Летней школе CIME в Четраро, Италия, 11–18 июля 2002 г. , Конспекты лекций по математике, том. 1891, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 97–132, doi : 10.1007/978-3-540-36364-4_3 , ISBN.  978-3-540-36364-4
• Монтгомери, HL ; Воган, RC (2006). Мультипликативная теория чисел I: Классическая теория . Кембриджские исследования по высшей математике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84903-6 .
• Загер, Д.Б. (1981). Дзета-функции и квадратные поля: введение в теорию высших чисел . Университетский текст (на немецком языке). Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN  978-3-540-10603-6 .