Теорема Линника

Теорема Линника в аналитической теории чисел отвечает на естественный вопрос после теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Он утверждает, что существуют положительные c и L такие, что, если мы обозначим p( a , d ), наименьшее простое число в арифметической прогрессии

$a+nd,\$

где n проходит через целые положительные числа , а a и d — любые положительные взаимно простые целые числа с 1 ≤ a ≤ d − 1, тогда:

$\operatorname {p} (a,d)<cd^{L}.\;$

Теорема названа в честь Юрия Владимировича Линника , доказавшего ее в 1944 году. Хотя доказательство Линника показало, c и L что эффективно вычислимы , он не предоставил для них числовых значений.

следует Из теоремы Жигмонди , что p(1, d ) ⩽ 2 ^д − 1, для всех d ≥ 3. Известно, что p(1, p ) ⩽ L _p для всех простых чисел p ≥ 5, поскольку L _p конгруэнтна 1 по модулю p для всех простых чисел p , где L _p обозначает p -е число Лукаса . Так же, как и числа Мерсенна , числа Люка с простыми индексами имеют делители вида 2 kp +1.

Характеристики

Известно, что L ≤ 2 почти для всех целых чисел d .

На основе обобщенной гипотезы Римана можно показать, что

$\operatorname {p} (a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,$

где $\varphi$ это функция тотента , и более сильная граница

$\operatorname {p} (a,d)\leq \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,$

также было доказано.

Также предполагается , что:

$\operatorname {p} (a,d)<d^{2}.\;$

Границы для L

Константа L называется константой Линника. а в следующей таблице показан прогресс, достигнутый в определении его размера.

L ≤	Год издания	Автор
10000	1957	Кастрюля
5448	1958	Кастрюля
777	1965	Чен
630	1971	Болтовня
550	1970	Болтовня
168	1977	Чен
80	1977	Болтовня
36	1977	Грэм
20	1981	Грэм (представлено до статьи Чена 1979 года)
17	1979	Чен
16	1986	Ван
13.5	1989	Чен и Лю
8	1990	Ван
5.5	1992	Хит-Браун
5.18	2009	Ксилурис
5	2011	Ксилурис

Более того, в результате Хита-Брауна константа c эффективно вычислима.