Биквадратное поле
В математике биквадратичное поле — это числовое поле K определенного вида, которое является расширением Галуа поля рациональных чисел Q с группой Галуа — четырехгруппой Клейна .
Структура и подполя
[ редактировать ]Биквадратичные поля получаются путем присоединения двух квадратных корней . Поэтому в явном виде они имеют вид
- K знак равно Q ( √ а , √ б )
для рациональных чисел a и b . Без потери общности можно считать a и b ненулевыми целыми числами без квадратов .
Согласно теории Галуа должно содержаться три квадратичных поля , в K , поскольку группа Галуа имеет три подгруппы индекса 2. Третье подполе, добавляемое к очевидным Q ( √ a ) и Q ( √ b ), — это Q ( √ аб ).
Биквадратичные поля являются простейшими примерами абелевых расширений Q , которые не являются циклическими расширениями .
Ссылки
[ редактировать ]- Раздел 12 Суиннертон-Дайер, HPF (2001), Краткое руководство по теории алгебраических чисел , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 50, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-00423-7 , МР 1826558