Основная единица (теория чисел)

В теории алгебраических чисел является фундаментальная единица генератором (по модулю корней из единицы ) для единичной группы кольца целых чисел числового поля , когда эта группа имеет ранг 1 (т.е. когда единичная группа по модулю своей периодической подгруппы бесконечна ) . циклический ). Теорема Дирихле о единице показывает, что группа единиц имеет ранг 1 точно тогда, когда числовое поле является вещественным квадратичным полем , комплексным кубическим полем или полностью мнимым полем квартической степени . Когда группа единиц имеет ранг ≥ 1, ее базис по модулю кручения называется фундаментальной системой единиц . Некоторые авторы используют термин «фундаментальная единица» для обозначения любого элемента фундаментальной системы единиц, не ограничиваясь случаем ранга 1 (например, Neukirch 1999 , стр. 42).

Действительные квадратичные поля

Для действительного квадратичного поля $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ (с d свободным от квадратов), фундаментальная единица ε обычно нормализуется так, что ε > 1 (как действительное число). которые больше 1. Если ∆ обозначает дискриминант K Тогда она однозначно характеризуется как минимальная единица среди тех , , то фундаментальной единицей является

$\varepsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}$

где ( a , b ) — наименьшее решение задачи

$x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4$

в положительных целых числах. Это уравнение по сути представляет собой уравнение Пелла или отрицательное уравнение Пелла, и его решения можно получить аналогичным образом, используя непрерывную дробь разложение в ${\sqrt {\Delta }}$.

Будет или нет х ² − Δ у ² = −4 имеет решение, определяет, ли группа классов K с совпадает его узкой группой классов или, что то же самое, существует ли единица нормы −1 в K . Известно, что это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда период разложения цепной дроби ${\sqrt {\Delta }}$ странно. Более простое соотношение можно получить с помощью сравнений: если ∆ делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то K не имеет единицы нормы −1. Однако обратное неверно, как показано на примере d = 34. В начале 1990-х годов Питер Стивенхаген предложил вероятностную модель, которая привела его к предположению о том, как часто обратное утверждение терпит неудачу. В частности, если D ( X ) — количество действительных квадратичных полей, дискриминант которых Δ < X не делится на простое число, конгруэнтное 3 по модулю 4, и D ⁻ ( X ) – это те, у кого есть единица нормы −1, тогда

$\lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(X)}{D(X)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).$

Другими словами, обратное не удается примерно в 42% случаев. По состоянию на март 2012 года недавний результат в отношении этой гипотезы был предоставлен Этьеном Фуври и Юргеном Клюнерсом. которые показывают, что обратное не удается в 33–59% случаев. В 2022 году Питер Койманс и Карло Пагано заявил о полном доказательстве гипотезы Стивенхагена.

Кубические поля

Если K — комплексное кубическое поле, то оно имеет единственное вещественное вложение и фундаментальную единицу ε можно выбрать единственным образом так, что |ε| > 1 в этом вложении. Если дискриминант ∆ группы K удовлетворяет условию |∆| ≥ 33, тогда

$\epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.$

Например, основная единица $\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ является $\epsilon =1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}},$ и $\epsilon ^{3}\approx 56.9$ тогда как дискриминант этого поля равен -108, таким образом

${\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25$

так $\epsilon ^{3}\approx 56.9>20.25$.

Ссылки

• Аладжа, Шабан; Уильямс, Кеннет С. (2004), Вводная теория алгебраических чисел , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-54011-7
• Дункан Бьюэлл (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , стр. 92–93 , ISBN  978-0-387-97037-0
• Фуври, Этьен; Клюнерс, Юрген (2010), «Об отрицательном уравнении Пелля», Annals of Mathematics , 2 (3): 2035–2104, doi : 10.4007/annals.2010.172.2035 , MR   2726105
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук , том. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-65399-8 , МР   1697859 , Збл   0956.11021
• Стивенхаген, Питер (1993), «Число действительных квадратичных полей, имеющих единицы отрицательной нормы», Experimental Mathematics , 2 (2): 121–136, CiteSeerX   10.1.1.27.3512 , doi : 10.1080/10586458.1993.10504272 , MR   1259426

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная единица» . Математический мир .