Алгебраическое целое число

В теории алгебраических чисел алгебраическое целое число — это комплексное число , являющееся целым по целым числам . То есть целое алгебраическое число является комплексным корнем некоторого монического многочлена ( многочлена которого , старший коэффициент равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех целых алгебраических чисел $A$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Кольцо целых чисел числового поля $K$ , обозначаемое $OK,$ является пересечением K $:$ и $A$ максимальный порядок поля K. $его$ также можно охарактеризовать как Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число $α$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда кольцо $\mathbb {Z} [\alpha ]$ конечно порождена как абелева группа , т. е. как $\mathbb {Z}$ - модуль .

Определения [ править ]

Ниже приведены эквивалентные определения целого алгебраического числа. Пусть $K$ — числовое поле (т. е. конечное расширение поля $\mathbb {Q}$ , поле рациональных чисел ), другими словами, $K=\mathbb {Q} (\theta )$ для некоторого алгебраического числа $\theta \in \mathbb {C}$ по теореме о примитивном элементе .

$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует монический многочлен $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ такой, что $ж (α) знак равно 0$ .
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен от $α$ над $\mathbb {Q}$ в $\mathbb {Z} [x]$ .
$α \in K$ — целое алгебраическое число, если $\mathbb {Z} [\alpha ]$ является конечно порожденным $\mathbb {Z}$ -модуль.
$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует ненулевое конечно порожденное $\mathbb {Z}$ - субмодуль $M\subset \mathbb {C}$ такой, что $αM \subseteq M$ .

Алгебраические целые числа являются частным случаем целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является целым элементом конечного расширения. $K/\mathbb {Q}$ .

Примеры [ править ]

Единственные целые алгебраические числа, которые встречаются в множестве рациональных чисел, — это целые числа. Другими словами, пересечение $\mathbb {Q}$ и $А$ точно $\mathbb {Z}$ . Рациональное число $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a / b$ не является целым алгебраическим числом, если $b$ не делит $a$ . Старшим коэффициентом полинома $bx - a$ является целое число $b$ . Еще один частный случай: квадратный корень ${\sqrt {n}}$ неотрицательного целого числа $n$ является алгебраическим целым числом, но иррационально , если только $n не$ является полным квадратом .
Если $d$ — целое число без квадратов , то расширение $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ — квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $O K$ содержит ${\sqrt {d}}$ так как это корень монического многочлена $x 2 - д$ . Более того, если $d \equiv 1 mod 4$ , то элемент ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет полиному $x 2 - х + 1/4, постоянный (1 - d)$ где член $1/4 целое d (1 -) —$ число. Полное кольцо целых чисел генерируется ${\sqrt {d}}$ или ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ соответственно. см. в разделе Квадратное целое число . Дополнительную информацию
Кольцо целых чисел поля $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$ , $а = 3 \sqrt m$ имеет следующий целочисленный базис , записывая $m = hk 2$ для двух без квадратов взаимно простых целых чисел $h$ и $k$ : ^[1] ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Если $ζ n$ — примитивный $корень n-й$ степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ это именно $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ .
Если $α$ — целое алгебраическое число, то $β = н \sqrt α$ — еще одно алгебраическое целое число. Полином для $β$ получается заменой $x н$ в полиноме для $α$ .

Непример [ править ]

Если $P (x)$ является примитивным полиномом с целыми коэффициентами, но не является моническим, $P$ неприводим и по $\mathbb {Q}$ , то ни один из корней $P$ не является целым алгебраическим числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитив используется в том смысле, что старший общий делитель коэффициентов $P$ равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно относительно простыми.

Факты [ править ]

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частного нет. Используемый монический полином обычно имеет более высокую степень , чем у исходных алгебраических целых чисел, и его можно найти путем анализа результатов и факторизации. Например, если $х 2 - x - 1 =$ и $03 - y - 1 = 0$ и $z = xy$ , затем исключение $x$ и $y$ из $z - xy = 0$ и полиномов, удовлетворяющих $x$ и $y$ , с использованием полученного результата дает $z 6 - 3 з 4 - 4 з 3 + я 2 + z - 1 = 0$ , которое неприводимо и представляет собой моническое уравнение, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $xy$ является корнем $x$ -результата $z - xy$ и $x 2 - x - 1$ , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале , порожденном двумя входными полиномами.)
Следовательно, любое число, которое можно составить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все целые алгебраические числа являются такими конструктивными: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля-Руффини .
Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам по себе является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целозамкнутое в любом из своих расширений.
Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
Если унитарный полином, связанный с целым алгебраическим числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратное число этого алгебраического целого числа также является целым алгебраическим числом, и каждый из них является единицей , элементом группы единиц кольца целых алгебраических чисел.
Если $x$ — алгебраическое число, то $a n x$ — целое алгебраическое число, где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x н$ является членом высшей степени $p (x)$ . Значение $y = a n x$ является целым алгебраическим числом, поскольку оно является корнем $q (y) = a п - 1 n p (y / a n)$ , где $q (y)$ — монический полином с целыми коэффициентами.
Если $x$ — алгебраическое число, то его можно записать как отношение целого алгебраического числа к целому ненулевому алгебраическому числу. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать как целое положительное число. Соотношение $| п | х / | п |$ , где $x$ удовлетворяет полиному $p (x)$ с целыми коэффициентами и где $a n x н$ является членом высшей степени $p (x)$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, с. 38 и бывш. 41. ИСБН 978-0-387-90279-1 .

Штейн, Уильям . Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 ноября 2013 г.

[1] Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, с. 38 и бывш. 41. ИСБН 978-0-387-90279-1 .

[1]