Чебышевские узлы

Здесь мы рисуем узлы Чебышёва первого и второго рода, оба для n = 8. Для обоих типов узлов мы сначала наносим точки на равноудалённом верхнем полукруге синим цветом. Затем синие точки проецируются вниз на X. ось Проецируемые точки, выделенные красным, представляют собой узлы Чебышева.

В численном анализе узлы Чебышева представляют собой набор конкретных действительных алгебраических чисел , используемых в качестве узлов для полиномиальной интерполяции . Они представляют собой проекцию равноотстоящих друг от друга точек единичной окружности на действительный интервал. $[-1,1],$ диаметр . круга

Узлы Чебышева первого рода , называемые также нулями Чебышева , являются нулями первого полиномов Чебышева рода. Узлы Чебышева второго рода , называемые также экстремумами Чебышева , являются экстремумами полиномов Чебышева первого рода, которые также являются нулями полиномов Чебышева второго рода. Оба этих набора чисел в литературе обычно называют узлами Чебышева . Полиномиальные интерполянты, построенные из этих узлов, минимизируют эффект явления Рунге .

Определение

Узлы Чебышева обоих видов из $n=2$ к $n=50$.

Для данного положительного целого числа $n$ узлы Чебышева первого рода на открытом интервале $(-1,1)$ являются

$$x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$$

Это корни полиномов Чебышева первого рода степени $n$. Для узлов на произвольном интервале $(a,b)$ аффинное преобразование можно использовать :

$$x_{k}={\frac {(a+b)}{2}}+{\frac {(b-a)}{2}}\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$$

Аналогично, для данного положительного целого числа $n$ узлы Чебышёва второго рода на отрезке $[-1,1]$ являются

$$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n-1}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$$

Это корни полиномов Чебышева второго рода степени $n$. Для узлов на произвольном интервале $[a,b]$ аффинное преобразование можно использовать, как указано выше. Узлы Чебышева второго рода также называются точками Чебышева-Лобатто или крайними точками Чебышева. Обратите внимание, что узлы Чебышева второго рода включают конечные точки интервала, а узлы Чебышева первого рода не включают конечные точки. Эти формулы генерируют узлы Чебышёва, которые сортируются от наибольшего к наименьшему на реальном интервале.

Оба типа узлов всегда симметричны относительно середины интервала. Следовательно, для нечетного $n$, оба типа узлов будут включать среднюю точку. Геометрически для обоих типов узлов на первое место поставим $n$ точки в верхней половине единичного круга с равным расстоянием между ними. Затем точки проецируются вниз на $x$-ось. Проецируемые точки на $x$-оси называются узлами Чебышева.

Приближение

Узлы Чебышева важны в теории аппроксимации , поскольку они образуют особенно хороший набор узлов для полиномиальной интерполяции . Дана функция f на интервале $[-1,+1]$ и $n$ очки $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ в этом интервале интерполяционный полином — это уникальный полином $P_{n-1}$ степени максимум $n-1$ который имеет ценность $f(x_{i})$ в каждой точке $x_{i}$. Ошибка интерполяции при $x$ является

$$f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$$

для некоторых $\xi$ (в зависимости от x ) в [−1, 1] . Поэтому логично попытаться минимизировать

$$\max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.$$

Это произведение представляет собой монический полином степени n . Можно показать, что максимальное абсолютное значение (максимальная норма) любого такого многочлена ограничено снизу 2 ^{1− н} . Эта оценка достигается масштабированными полиномами Чебышева 2 ^{1− н} T _n , которые также являются монотическими. (Напомним, что | T _n ( x )| ≤ 1 для x ∈ [−1, 1] . ) Следовательно, когда узлы интерполяции x _i являются корнями T _n , ошибка удовлетворяет условию

$$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$$

Для произвольного интервала [ a , b ] замена переменной показывает, что

$$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$$

Даже порядок модифицированных узлов Чебышева

Многие приложения для узлов Чебышева, такие как разработка пассивных фильтров Чебышева с одинаковым завершением, не могут использовать узлы Чебышева напрямую из-за отсутствия корня в 0. Однако узлы Чебышева могут быть изменены в пригодную для использования форму путем перевода корней вниз так, что самые нижние корни перемещаются в ноль, тем самым создавая два корня в нуле модифицированных узлов Чебышева.

Перевод модификации четного порядка:

$X_{k}Even={\sqrt {\frac {X_{k}^{2}-X_{n/2}^{2}}{1-X_{n/2}^{2}}}}{\text{ For }}n>2$

Знак ${\sqrt {}}$ функция выбрана такой же, как знак $X_{k}$.

Например, узлы Чебышева для функции Чебышева 4-го порядка: {0,92388,0,382683,-0,382683,-0,92388} и $X_{n/2}^{2}$ является $0.382683^{2}$, или 0,146446. Проведение всех узлов через преобразование дает $X_{k}Even$ быть {0,910180, 0, 0, -0,910180}.

Модифицированные узлы Чебышева четного порядка теперь содержат два нулевых узла и подходят для использования при разработке фильтров Чебышева четного порядка с цепями пассивных элементов с одинаковым завершением.

Ссылки

• Финк, Куртис Д.; Мэтьюз, Джон Х. (1999). Численные методы с использованием MATLAB (3-е изд.). Аппер-Седл-Ривер, штат Нью-Джерси: Прентис-холл.
• Стюарт, Гилберт В. (1996). Послесловия к численному анализу . СИАМ . ISBN  978-0-89871-362-6 .
• Трефетен, Ллойд Н. (2013), Теория приближений и практика приближений , SIAM

Дальнейшее чтение

• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас: Численный анализ , 8-е изд., страницы 503–512, ISBN   0-534-39200-8 .