Алгебраический элемент

В математике , если L — поле расширения K алгебраическим , то элемент a из L называется алгебраическим элементом над K или просто над K , если существует некоторый ненулевой полином g ( x ) с коэффициентами из K такой, что г ( а ) знак равно 0 . Элементы L , не алгебраические над K называются трансцендентными над K. ,

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширением поля является C / Q , где C — поле комплексных чисел , а Q — поле рациональных чисел ).

Примеры

• Квадратный корень из 2 является алгебраическим над Q , поскольку он является корнем многочлена g ( x ) = x ² − 2, коэффициенты которого рациональны.
• Pi трансцендентно над Q, но алгебраично над полем действительных чисел R : это корень g ( x ) = x − π , чьи коэффициенты (1 и − π ) оба вещественны, но не относятся к какому-либо многочлену только с рациональными коэффициентами. . (В определении термина трансцендентное число используется C / Q , а не C / R .)

Свойства

Следующие условия эквивалентны для элемента $a$ из $L$:

• $a$ является алгебраическим над $K$,
• расширение поля $K(a)/K$ является алгебраическим, т.е. каждый элемент $K(a)$ является алгебраическим над $K$ (здесь $K(a)$ обозначает наименьшее подполе $L$ содержащий $K$ и $a$),
• расширение поля $K(a)/K$ имеет конечную степень, размерность т.е. $K(a)$ как $K$- векторное пространство конечно,
• $K[a]=K(a)$, где $K[a]$ представляет собой совокупность всех элементов $L$ что можно записать в виде $g(a)$ с полиномом $g$ коэффициенты которого лежат в $K$.

Чтобы сделать это более явным, рассмотрим полиномиальную оценку $\varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)$. Это гомоморфизм и его ядро ​​есть $\{P\in K[X]\mid P(a)=0\}$. Если $a$ является алгебраическим, этот идеал содержит ненулевые многочлены, но поскольку $K[X]$ является евклидовой областью , она содержит уникальный полином $p$ с минимальной степенью и ведущим коэффициентом $1$, которое тогда также порождает идеал и должно быть неприводимым . Полином $p$ называется полиномом минимальным $a$ и он кодирует многие важные свойства $a$. Следовательно, кольцевой изоморфизм $K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})$ полученный по теореме о гомоморфизме, является изоморфизмом полей, где мы можем тогда заметить, что $\mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)$. В противном случае, $\varepsilon _{a}$ инъективен, и, следовательно, мы получаем изоморфизм полей $K(X)\rightarrow K(a)$, где $K(X)$ это дробей поле $K[X]$, т.е. поле рациональных функций на $K$, по универсальному свойству поля дробей. Можно заключить, что в любом случае мы находим изоморфизм $K(a)\cong K[X]/(p)$ или $K(a)\cong K(X)$. Исследование этой конструкции дает желаемые результаты.

Эту характеристику можно использовать, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов по $K$ снова алгебраически закончились $K$. Ибо если $a$ и $b$ оба алгебраические, то $(K(a))(b)$ конечно. Поскольку он содержит вышеупомянутые комбинации $a$ и $b$, примыкая к одному из них $K$ также дает конечное расширение, и, следовательно, эти элементы также являются алгебраическими. Таким образом совокупность всех элементов $L$ которые являются алгебраическими над $K$ это поле, которое находится между $L$ и $K$.

Поля, не допускающие над собой никаких алгебраических элементов (кроме собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми . Поле комплексных чисел является примером. Если $L$ алгебраически замкнуто, то поле алгебраических элементов $L$ над $K$ алгебраически замкнуто, что снова можно непосредственно показать, используя приведенную выше характеристику простых алгебраических расширений. Примером этого является поле алгебраических чисел .

См. также

• Алгебраическая независимость

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001