Узкая классовая группа

В алгебраической теории чисел узкая группа классов числового поля K — это уточнение группы классов K , учитывающее некоторую информацию о вложениях K в поле действительных чисел .

Формальное определение

Предположим, что — конечное расширение Q. K Напомним, что группа обычных классов K определяется как фактор

$C_{K}=I_{K}/P_{K},\,\!$

где I _K — группа дробных идеалов K , а P _K — подгруппа главных дробных идеалов K т. е. идеалов вида aO _K, где a — элемент K. ,

Узкая группа классов определяется как фактор

$C_{K}^{+}=I_{K}/P_{K}^{+},$

где сейчас П _К ⁺ — группа вполне положительных главных дробных идеалов поля K ; то есть идеалы вида aO _K , где a — элемент из K такой, что σ( a ) положительно для любого вложения

$\sigma :K\to \mathbb {R} .$

Использование

Узкая группа классов занимает видное место в теории представления целых чисел квадратичными формами . Примером может служить следующий результат (Фрёлих и Тейлор, глава V, теорема 1.25).

Теорема . Предположим, что $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,),$ где d — целое число без квадратов что узкая группа классов K тривиальна и . Предположим, что

$\{\omega _{1},\omega _{2}\}\,\!$

является базисом кольца целых K чисел . Определить квадратичную форму

$q_{K}(x,y)=N_{K/\mathbb {Q} }(\omega _{1}x+\omega _{2}y)$,

где N _{K / Q} – норма . Тогда простое число p имеет вид

$p=q_{K}(x,y)\,\!$

для некоторых целых чисел x и y тогда и только тогда, когда либо

$p\mid d_{K}\,\!,$

или

$p=2\quad {\mbox{ and }}\quad d_{K}\equiv 1{\pmod {8}},$

или

$p>2\quad {\mbox{ and}}\quad \left({\frac {d_{K}}{p}}\right)=1,$

где d _K — дискриминант K и ,

$\left({\frac {a}{b}}\right)$

обозначает символ Лежандра .

Примеры

Например, можно доказать , что все квадратичные поля Q ( √ −1 ), Q ( √ 2 ), Q ( √ −3 ) имеют тривиальную узкую группу классов. Тогда, выбрав подходящие основания для целых чисел каждого из этих полей, из приведенной выше теоремы следует следующее:

• Простое число p имеет вид p = x ² + и ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

$p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}.$

(Это известно как теорема Ферма о суммах двух квадратов .)

• Простое число p имеет вид p = x ² − 2 года ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

$p=2\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1,7{\pmod {8}}.$

• Простое число p имеет вид p = x ² − ху + у ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

$p=3\quad {\mbox{or}}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}.$ (ср. простое число Эйзенштейна )

Примером, иллюстрирующим разницу между узкой группой классов и обычной группой классов, является случай Q ( √ 6 ). У него есть тривиальная группа классов, но ее узкая группа классов имеет порядок 2. Поскольку группа классов тривиальна, верно следующее утверждение:

• Простое число p или обратное ему − p имеет вид ± p = x ² - 6 лет ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда

$p=2\quad {\mbox{or}}\quad p=3\quad {\mbox{or}}\quad \left({\frac {6}{p}}\right)=1.$

Однако это утверждение неверно, если мы сосредоточимся только на p , а не на − p (и на самом деле оно неверно даже для p = 2), поскольку узкая группа классов нетривиальна. Утверждение, которое классифицирует положительное p , следующее:

• Простое число p имеет вид p = x ² - 6 лет ² для целых чисел x и y тогда и только тогда, когда p = 3 или

$\left({\frac {6}{p}}\right)=1\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {-2}{p}}\right)=1.$

(В то время как первое утверждение допускает простые числа $p\equiv 1,5,19,23{\pmod {24}}$, второй допускает только простые числа $p\equiv 1,19{\pmod {24}}$.)

См. также

• Группа классов
• Квадратичная форма

Ссылки

• А. Фрелих и М. Дж. Тейлор, Алгебраическая теория чисел (стр. 180), Cambridge University Press, 1991.