Теорема Кронекера–Вебера

В теории алгебраических чисел можно показать, что каждое круговое поле является абелевым расширением поля рациональных чисел Q , имеющим группу Галуа вида $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$. Теорема Кронекера -Вебера обеспечивает частичное обратное: каждое конечное абелево расширение Q содержится в некотором круговом поле. Другими словами, каждое целое алгебраическое число которого , группа Галуа абелева , может быть выражено как сумма корней из единицы с рациональными коэффициентами. Например,

${\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},$ ${\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},$ и ${\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.$

Теорема названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера .

Теоретико-полевая формулировка

Теорему Кронекера-Вебера можно сформулировать в терминах полей и расширений полей . В частности, теорема Кронекера-Вебера утверждает: каждое конечное абелево расширение рациональных чисел Q является подполем кругового поля. То есть, всякий раз, когда поле алгебраических чисел имеет группу Галуа над Q , которая является абелевой группой , это поле является подполем поля, полученным путем присоединения корня из единицы к рациональным числам.

Для данного абелева расширения K поля Q существует минимальное круговое поле, содержащее его. Теорема позволяет определить проводник K корнями как наименьшее целое число n такое, что K лежит внутри поля, порожденного n -й степени из единицы. Например, квадратичные поля имеют в качестве проводника абсолютное значение своего дискриминанта — факт, обобщенный в теории полей классов .

История

Теорема была впервые сформулирована Кронекером ( 1853 ), хотя его аргументы не были полными для расширений степени степени 2. Вебер ( 1886 ) опубликовал доказательство, но в нем были некоторые пробелы и ошибки, на которые указал и исправил Нейман (1981) . Первое полное доказательство было дано Гильбертом ( 1896 ).

Обобщения

Любин и Тейт ( 1965 , 1966 ) доказали, что местная теорема Кронекера -Вабер, в которой говорится, что любое расширение авелевского местного поля может быть построено с использованием циклотомных расширений и расширений Любин -Тат . Hazewinkel ( 1975 ), Rosen ( 1981 ) и Lubin ( 1981 ) дали другие доказательства.

Двенадцатая проблема Гильберта просит обобщения теоремы Кронекера -Вабара для базовых полей, отличных от рациональных чисел, и просит аналоги корней единства для этих полей. Другой подход к расширениям Абелеи дается теорией поля классов .

Ссылки

• Ghate, Eknnath (2000), «Теорема Kronceker-Weber» (PDF) , в Adhikari, SD; Katre, S.; Thakur, Dinesh (Eds), Cyclotomic Fields и связанные с ними темы (Pune, 1999) , Bhaskaracharya Pratishththana, Pune, pp. 135-146, г-н   1802379
• Гринберг, MJ (1974). «Элементарное доказательство теоремы Кронекера-Уэбер». Американский математический ежемесячный . 81 (6): 601–607. doi : 10.2307/2319208 . JSTOR   2319208 .
• Hazewinkel, Michiel (1975), «Теория местного поля классов легко» (PDF) , достижения в области математики , 18 (2): 148–181, doi : 10.1016/0001-8708 (75) 90156-5 , ISSN   0001-8708 , MR   0389858
• Хилберт, Дэвид (1896), «Новое доказательство основного приговора Кронекера о схеме Авеля». , Новости об обществе наук в Геттингене (на немецком языке): 29–39
• Кронекер, Леопольд (1853), «Об алгебраически разрешимых уравнениях» , Берлин К. Акад. (на немецком языке): 365–374, ISBN.  9780821849828 , Собрание сочинений том 4
• Кронекер, Леопольд (1877), «Об абелевых уравнениях» , Берлин К. Акад. (на немецком языке): 845–851, ISBN.  9780821849828 , Собрание сочинений том 4
• Леммермейер, Франц (2005), «Кронекер-Вебер через Стикельбергера», Journal de theorie des nombres de Bordeaux , 17 (2): 555–558, arXiv : 1108.5671 , doi : 10.5802/jtnb.507 , ISSN   -74, 2574 , МИСТЕР   2211307
• Любин, Джонатан (1981), «Местная теорема Кронекера-Вэбер», « Труды Американского математического общества» , 267 (1): 133–138, doi : 10.2307/1998574 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   199874 , г-н   0621978
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в местных полях», Анналы математики , вторая серия, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307/1970622 , ISSN   0003-486x , JSTOR   1970622 , MR   0172878
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1966), «Формальные модули для однопараметрических формальных групп лжи» , Bulletin de la Société Mathematique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033/bsmf.1633 , ISSN   0037-9484 , г-н   0238544
• Neumann, Olaf (1981), «Два доказательства теоремы Kronecker-Weber« По словам Кронекера и Вебера » , журнал для чистой и прикладной математики , 323 (323): 105–126, doi : 10.1515/crll.1981.323. 105 , ISSN   0075-4102 , MR   0611446
• Розен, Майкл (1981), «Элементарное доказательство местной теоремы Кронекера-Вейбер», Труды Американского математического общества , 265 (2): 599–605, doi : 10.2307/1999753 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   199753 , MR   0610968
• Шафаревич И. Р. (1951), Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера , Тр. Матем. Инст. Стеклов. (на русском языке), т. 38, Москва: Издат. Акад. Наук СССР, стр. 382–387, МР   0049233.
• Шаппахер, Норберт (1998), «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок» , Материалы по истории математики ХХ века. ^и века (Ницца, 1996) , Семин. Конгресс, том. 3, Париж: Математическое общество Франции , стр. 243–273, ISBN  978-2-85629-065-1 , МР   1640262
• Вебер, Х. (1886), «Теория абелевых числовых полей», Acta Mathematica (на немецком языке), 8 : 193–263, doi : 10.1007/BF02417089 , ISSN   0001-5962