Обобщенная гипотеза Римана

Гипотеза Римана одна из важнейших гипотез математики . — Это утверждение о нулях дзета-функции Римана . Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны так называемыми глобальными L -функциями , которые формально аналогичны дзета-функции Римана. Тогда можно задать тот же вопрос о нулях этих L -функций, что приведет к различным обобщениям гипотезы Римана. Многие математики считают, что эти обобщения гипотезы Римана верны. Единственные случаи этих гипотез, которые были доказаны, относятся к случаю поля алгебраических функций (а не к случаю числового поля).

Глобальные L -функции могут быть ассоциированы с эллиптическими кривыми , числовыми полями (в этом случае они называются дзета-функциями Дедекинда ), формами Маасса и характерами Дирихле (в этом случае они называются L-функциями Дирихле ). Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, она известна как расширенная гипотеза Римана (ERH) , а когда она формулируется для L -функций Дирихле, она известна как обобщенная гипотеза Римана или обобщенная гипотеза Римана (GRH). Эти два утверждения будут обсуждаться более подробно ниже. (Многие математики используют термин « обобщенная гипотеза Римана», чтобы охватить распространение гипотезы Римана на все глобальные L -функции, это не просто частный случай L -функций Дирихле.)

Обобщенная гипотеза Римана (GRH)

Обобщенная гипотеза Римана (для L -функций Дирихле), вероятно, была впервые сформулирована Адольфом Пильцем в 1884 году. Как и исходная гипотеза Римана, она имеет далеко идущие последствия в отношении распределения простых чисел .

Далее следует формальное изложение гипотезы. Характер Дирихле — это полностью мультипликативная арифметическая функция χ такая, что существует целое положительное число k такое, что χ ( n + k ) = χ ( n ) для всех n и χ ( n ) = 0 всякий раз, когда НОД( n , k ) > 1 . Если такой характер задан, мы определяем соответствующую L -функцию Дирихле формулой

$L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

для любого комплексного числа s такого, что Re s > 1 . Путем аналитического продолжения эту функцию можно продолжить до мероморфной функции (только тогда, когда $\chi$ примитивен), определенный на всей комплексной плоскости. Обобщенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого характера Дирихле χ и каждого комплексного числа s с L ( χ , s ) = 0 , если s не является отрицательным действительным числом, то действительная часть s равна 1/2.

Случай χ ( n ) = 1 для всех n дает обычную гипотезу Римана.

Последствия ГРХ

Теорема Дирихле утверждает, что если a и d — взаимно простые натуральные числа , то арифметическая прогрессия a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... содержит бесконечно много простых чисел. Пусть π( x , a , d ) обозначает количество простых чисел в этой прогрессии, которые меньше или равны x . Если обобщенная гипотеза Римана верна, то для любых взаимно простых a и d и для любого ε > 0

$\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,$

где $\varphi$ - это полная функция Эйлера и $O$ это O. обозначение Big Это значительное усиление теоремы о простых числах .

Если GRH истинно, то каждая собственная подгруппа мультипликативной группы $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ пропускает число меньше 2(ln n ) ² , а также числа, взаимно простые с n меньше 3(ln n ) ² . Другими словами, $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ генерируется набором чисел меньше 2(ln n ) ² . Это часто используется в доказательствах и имеет множество последствий, например (при условии GRH):

• Тест на простоту Миллера-Рабина гарантированно выполняется за полиномиальное время. (Тест простоты с полиномиальным временем, не требующий GRH, тест простоты AKS , был опубликован в 2002 году.)
• Алгоритм Шэнкса – Тонелли гарантированно работает за полиномиальное время.
• Детерминированный алгоритм Иваньоса – Карпинского – Саксены. факторизация многочленов по конечным полям с простыми, постоянными и гладкими степенями гарантированно выполняется за полиномиальное время.

Если GRH истинно, то для каждого простого числа p существует примитивный корень по модулю p (генератор мультипликативной группы целых чисел по модулю p ), который меньше $O((\ln p)^{6}).$

Слабая гипотеза Гольдбаха также следует из обобщенной гипотезы Римана. Еще не проверенное доказательство Харальда Хелфготта этой гипотезы проверяет GRH для нескольких тысяч маленьких символов до определенной мнимой части, чтобы получить достаточные оценки, которые доказывают гипотезу для всех целых чисел выше 10. ²⁹ , целые числа ниже которых уже проверены расчетом.

Предполагая истинность GRH, оценку суммы характеров в неравенстве Полиа – Виноградова можно улучшить до $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$, q — модуль характера.

Расширенная гипотеза Римана (ERH)

Предположим, что K — числовое поле (конечномерное расширение поля рациональных чисел Q ) с кольцом целых чисел O _K (это кольцо является целочисленным замыканием целых чисел Z в K ). Если a — идеал группы OK _, отличный от нулевого идеала, мы обозначаем его норму через Na . Дзета -функция Дедекинда K тогда определяется выражением

$\zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}$

для любого комплексного числа s с вещественной частью > 1. Сумма распространяется на все ненулевые идеалы a из _OK .

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению и может быть расширена путем аналитического продолжения на всю комплексную плоскость. Полученная функция кодирует важную информацию о числовом K. поле Расширенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого числового поля K и каждого комплексного числа s с ζ _K ( s ) = 0: если действительная часть s находится между 0 и 1, то на самом деле она равна 1/2.

Обычная гипотеза Римана следует из расширенной, если в качестве числового поля взять с кольцом целых чисел Z. Q

ERH подразумевает эффективную версию о теоремы плотности Чеботарева : если L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G , а C — объединение классов сопряженности G , то число неразветвленных простых чисел нормы K ниже x с классом сопряженности Фробениуса в C равно

${\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},$

где константа, подразумеваемая в обозначении big-O, является абсолютной, n — это степень L над Q , а Δ — его дискриминант.

См. также

• Гипотеза Артина
• L-функция Дирихле
• класс Сельберга
• Гипотеза Большого Римана

Дальнейшее чтение

• «Гипотеза Римана, обобщенная» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]