p -адическая L -функция

В математике p - адическая дзета-функция или, в более общем смысле, p -адическая L -функция — это функция, аналогичная дзета-функции Римана или более общим L -функциям , но область определения и цель которой являются p-адическими (где p является простым числом ). Например, областью определения могут быть - адические целые числа Zp _{, а} , проконечная p- группа или p -адическое семейство представлений Галуа изображением могут быть p -адические числа Qp _p или его алгебраическое замыкание .

Источник p -адической L -функции может быть одного из двух типов. Первый источник, из которого Томио Кубота и Генрих-Вольфганг Леопольдт дали первую конструкцию p -адической L -функции ( Кубота и Леопольдт, 1964 ), — это p -адическая интерполяция специальных значений L -функций . Например, Кубота-Леопольдт использовал сравнения Куммера для чисел Бернулли , чтобы построить p -адическую L -функцию, p -адическую дзета-функцию Римана ζ _p ( s ), значения которой в отрицательных нечетных целых числах совпадают со значениями дзета-функции Римана в отрицательных числах. нечетные целые числа (с точностью до явного поправочного коэффициента). Возникающие таким образом p -адические L -функции обычно называют аналитическими p -адическими L -функциями . Другой основной источник p -адических L -функций, впервые обнаруженный Кенкичи Ивасавой , — это арифметика круговых полей или, в более общем смысле, некоторые модули Галуа над башнями круговых полей или даже более общими башнями. арифметической p - адической Возникающая таким образом p-адическая L-функция обычно называется L - функцией , поскольку она кодирует арифметические данные задействованного модуля Галуа. Основная гипотеза теории Ивасавы (теперь теорема Барри Мазура и Эндрю Уайлса -функция Куботы-Леопольдта ) - это утверждение о том, что p -адическая L и арифметический аналог, построенный теорией Ивасавы, по существу одинаковы. В более общих ситуациях, когда конструируются (или ожидаются) как аналитические, так и арифметические p -адические L -функции, утверждение о том, что они согласуются, называется основной гипотезой теории Ивасавы для этой ситуации. Такие гипотезы представляют собой формальные утверждения, касающиеся философии, согласно которой специальные значения L -функций содержат арифметическую информацию.

L-функции Дирихле

-функция Дирихле L задается аналитическим продолжением

$L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}$

-функция Дирихле L в отрицательных целых числах определяется выражением

$L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}$

где B _{n ,χ} — обобщенное число Бернулли , определяемое формулой

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}$

для х — характер Дирихле с проводником f .

Определение с использованием интерполяции

Куботы–Леопольдта p -адическая L -функция L _p ( s -функцию Дирихле , χ) интерполирует L с удаленным множителем Эйлера в точке p .Точнее, L _p ( s , χ) — единственная непрерывная функция p -адического числа s такая, что

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )$

для натуральных чисел n, делящихся на p - 1. Правая часть представляет собой обычную L -функцию Дирихле, за исключением того, что фактор Эйлера в точке p удален, иначе она не была бы p -адически непрерывной. Непрерывность правой части тесно связана с куммеровскими сравнениями .

Когда n не делится на p - 1, это обычно не так; вместо

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})$

для положительных целых чисел n . Здесь χ скручен степенью характера Тейхмюллера ω.

Рассматривается как p -адическая мера

p -адические L -функции также можно рассматривать как p -адические меры (или p -адические распределения ) на p -проконечных группах Галуа. Перевод между этой точкой зрения и исходной точкой зрения Куботы-Леопольдта (как Q _p -значных функций на Z _p ) осуществляется через преобразование Мазура-Меллина (и теорию полей классов ).

Полностью реальные поля

Делинь и Рибе (1980) , основываясь на предыдущей работе Серра (1973) , построили аналитические p -адические L -функции для полностью вещественных полей. Независимо Барский (1978) и Кассу-Ногес (1979) сделали то же самое, но их подходы следовали подходу Такуро Шинтани к изучению L -значений.

Ссылки

• Барский, Дэниел (1978), «P-адические дзета-функции лучевого класса полностью вещественных числовых полей» , в Amice, Y .; Барски, Д.; Робба, П. (ред.), Исследовательская группа по ультраметрическому анализу (5-й год: 1977/78) , том. 16, Париж: Секретариат математики, ISBN.  978-2-85926-266-2 , МР   0525346
• Кассу-Ноге, Пьеретт (1979), «Отрицательные целые значения дзета-функций и p-адических дзета-функций», Inventiones Mathematicae , 51 (1): 29–59, doi : 10.1007/BF01389911 , ISSN   0020-9910 , MR   0524276
• Коутс, Джон (1989), «О p-адических L-функциях» , Asterisque (177): 33–59, ISSN   0303-1179 , MR   1040567
• Кольмез, Пьер (2004), кольца Фонтена и p-адические L-функции (PDF)
• Делинь, Пьер ; Рибет, Кеннет А. (1980), «Значения абелевых L-функций в отрицательных целых числах над полностью вещественными полями», Inventiones Mathematicae , 59 (3): 227–286, Bibcode : 1980InMat..59..227D , doi : 10.1007 /BF01453237 , ISSN   0020-9910 , MR   0579702
• Ивасава, Кенкичи (1969), «О p-адических L-функциях», Annals of Mathematics , Вторая серия, 89 (1), Annals of Mathematics: 198–205, doi : 10.2307/1970817 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970817 , МР   0269627
• Ивасава, Кенкичи (1972), Лекции по p-адическим L-функциям , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08112-0 , МР   0360526
• Кац, Николас М. (1975), «p-адические L-функции через модули эллиптических кривых», Алгебраическая геометрия , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 29, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 479–506, MR   0432649.
• Коблиц, Нил (1984), p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 58, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-96017-3 , МР   0754003
• Кубота, Томио ; Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1964), «Р-адическая теория дзета-значений. I. Введение p-адических L-функций Дирихле» , Журнал чистой и прикладной математики , 214/215: 328–339, doi : 10.1515 /crll.1964.214-215.328 , ISSN   0075-4102 , MR   0163900
• Серр, Жан-Пьер (1973), «Модулярные формы и p-адические дзета-функции», в Kuyk, Willem; Серр, Жан-Пьер (ред.), Модульные функции одной переменной, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972) , Конспекты лекций по математике, том. 350, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 191–268, номер домена : 10.1007/978-3-540-37802-0_4 , ISBN.  978-3-540-06483-1 , МР   0404145