Сравнение Куммера

В математике сравнения Куммера — это некоторые сравнения , включающие числа Бернулли , найденные Эрнстом Эдуардом Куммером ( 1851 ).

Кубота и Леопольдт (1964) использовали сравнения Куммера для определения p-адической дзета-функции .

Заявление

Простейшая форма сравнения Куммера гласит, что

${\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ whenever }}h\equiv k{\pmod {p-1}}$

где p — простое число, h и k — положительные четные целые числа, не делящиеся на p −1, а числа B _h — числа Бернулли .

В более общем смысле, если h и k - положительные четные целые числа, не делящиеся на p - 1, то

$(1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}$

в любое время

$h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}$

где φ( p ^{+1 ​} ) — функция Эйлера , вычисляемая при p ^{+1 ​} и a — неотрицательное целое число. При a = 0 выражение принимает более простую форму, как показано выше.Две стороны сравнения Куммера по существу являются значениями p-адической дзета-функции , а сравнения Куммера подразумевают, что p -адическая дзета-функция для отрицательных целых чисел непрерывна, поэтому ее можно расширить по непрерывности на все p -адические целые числа.

См. также

• Теорема фон Штаудта – Клаузена , еще одно сравнение, включающее числа Бернулли.

Ссылки

• Коблиц, Нил (1984), p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Тексты для аспирантов по математике , vol. 58, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-96017-3 , МР   0754003
• Кубота, Томио ; Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1964), «Р-адическая теория дзета-значений. I. Введение p-адических L-функций Дирихле» , Журнал чистой и прикладной математики , 214/215: 328–339, doi : 10.1515 /crll.1964.214-215.328 , ISSN   0075-4102 , MR   0163900
• Куммер, Эрнст Эдуард (1851), «Об общем свойстве коэффициентов рационального развития некоторого рода аналитических функций» , Журнал чистой и прикладной математики , 41 : 368–372, doi : 10.1515/crll.1851.41.368 , ISSN   0075-4102 , ЭРАМ   041.1136cj