Основная гипотеза теории Ивасавы

Основная гипотеза теории Ивасавы

Поле	Алгебраическая теория чисел Теория Ивасавы
Предполагается	Кенкичи — Ивасава
Предполагается в	1969
Первое доказательство	Барри Мазур Эндрю Уайлс
Первое доказательство в	1984

В математике основная гипотеза теории Ивасавы — глубокая связь между p -адическими L -функциями и группами идеальных классов круговых полей , доказанная Кенкичи Ивасавой для простых чисел, удовлетворяющих гипотезе Куммера-Вандивера , и доказанная для всех простых чисел формулойМазур и Уайлс ( 1984 ). Теорема Эрбрана-Рибе и гипотеза Гра являются легкими следствиями основной гипотезы.Существует несколько обобщений основной гипотезы на вполне реальные поля . Поля CM , эллиптические кривые и т. д.

Мотивация

Ивасава (1969a) был частично мотивирован аналогией с описанием Вейля дзета-функции алгебраической кривой над конечным полем в терминах собственных значений эндоморфизма Фробениуса на ее якобиане многообразия . В этой аналогии

• Действие Фробениуса соответствует действию группы Γ.
• Якобиан кривой соответствует модулю X над Γ, определенному в терминах групп идеальных классов.
• Дзета-функция кривой над конечным полем соответствует p -адической L -функции.
• Теорема Вейля, связывающая собственные значения Фробениуса с нулями дзета-функции кривой, соответствует основной гипотезе Ивасавы, связывающей действие алгебры Ивасавы на X с нулями p -адической дзета-функции.

История

Основная гипотеза теории Ивасавы была сформулирована как утверждение о том, что два способа определения p -адических L -функций (по теории модулей, путем интерполяции) должны совпадать, насколько это было корректно определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для Q и для всех полностью действительных числовых полей Уайлсом (1990) . Эти доказательства были созданы по образцу доказательства Кена Рибета , обратного теореме Эрбрана ( теорема Эрбрана-Рибе ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя метод Тейна Колывагина и системы Эйлера , описанные в Lang (1990) и Washington (1997) , а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

В 2014 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан доказали несколько случаев основных гипотез для большого класса модульных форм . Как следствие, для модулярной эллиптической кривой над рациональными числами они доказывают, что из обращения в нуль Хассе–Вейля L -функции L ( E , s ) группы E в точке s = 1 следует, что p -адическая группа Сельмера группы E является бесконечный. В сочетании с теоремами Гросса — Загера и Колывагина это дало условное доказательство (по гипотезе Тейта–Шафаревича ) гипотезы о том, что E имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда L ( E , 1) = 0, a (слабая) форма гипотезы Бёрча-Суиннертона-Дайера . Эти результаты были использованы Манджулом Бхаргавой , Скиннером и Вэй Чжаном , чтобы доказать, что положительная часть эллиптических кривых удовлетворяет гипотезе Берча-Свиннертона-Дайера .

Заявление

• р — простое число.
• F _n — поле Q (ζ), где ζ — корень из единицы порядка p ^{п +1} .
• Γ — наибольшая подгруппа абсолютной группы Галуа группы F _∞, изоморфная целым p -адическим числам.
• γ — топологический генератор Γ
• L _n — поле p -гильбертовых классов F _n .
• H _n — группа Галуа Gal( L _n / F _n ), изоморфная подгруппе элементов группы идеальных классов F _n, порядок которой является степенью p .
• H _∞ — обратный предел групп Галуа H _n .
• V — векторное пространство H _∞ ⊗ _{Z p} Q _p .
• ω — характер Тейхмюллера .
• V ^я это ω ^я В. собственное пространство
• h _p (ω ^я , T ) — характеристический полином функции γ, действующий на векторном пространстве V ^я
• L _p — p-адическая функция L с L _p (ω ^я ,1– k ) = –B _k (ω ^{я – к} )/ k , где B — обобщенное число Бернулли .
• u — единственное p-адическое число, удовлетворяющее условию γ(ζ) = ζ ^в для всех корней p-степени из единицы ζ
• G _p — степенной ряд с G _p (ω ^я , в ^с –1) = L _p (ω ^я , с )

Основная гипотеза теории Ивасавы, доказанная Мазуром и Уайлсом, гласит, что если i — нечетное целое число, не совпадающее с 1 по модулю p –1, то идеалы $\mathbf {Z} _{p}[[T]]$ порожденный h _p (ω ^я , T ) и G _p (ω ^{1– я} , T ) равны.

Источники

• Бейкер, Мэтт (10 марта 2014 г.), «Гипотеза BSD верна для большинства эллиптических кривых» , Математический блог Мэтта Бейкера , получено 24 февраля 2019 г.
• Бхаргава, Манджул; Скиннер, Кристофер; Чжан, Вэй (07 июля 2014 г.), «Большинство эллиптических кривых над $\mathbb Q$ удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера», arXiv : 1407.1826 [ math.NT ]
• Коутс, Джон ; Суджата, Р. (2006), Циклотомные поля и дзета-значения , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-33068-4 , Збл   1100.11002
• Ивасава, Кенкичи (1964), «О некоторых модулях теории круговых полей», Журнал Математического общества Японии , 16 : 42–82, doi : 10.2969/jmsj/01610042 , ISSN   0025-5645 , MR   0215811
• Ивасава, Кенкичи (1969a), «Аналогии между числовыми полями и функциональными полями», Некоторые последние достижения в фундаментальных науках, Vol. 2 (Процедуры Ежегодной научной конференции, Белферская аспирантура, Университет Ешива, Нью-Йорк, 1965–1966) , Белферская высшая школа наук, Университет Ешива, Нью-Йорк, стр. 203–208, MR   0255510
• Ивасава, Кенкичи (1969b), «О p-адических L-функциях», Annals of Mathematics , Second Series, 89 (1): 198–205, doi : 10.2307/1970817 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970817 , MR   0269627
• Какде, Махеш (2013), «Основная гипотеза теории Ивасавы для полностью реальных полей», Inventiones Mathematicae , 193 (3): 539–626, arXiv : 1008.0142 , doi : 10.1007/s00222-012-0436-x , MR   3091976
• Ланг, Серж (1990), Циклотомические поля I и II , Тексты для аспирантов по математике , том. 121, С приложением Карла Рубина (объединенное 2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-96671-7 , Збл   0704.11038
• Манин Ю И. ; Панчишкин А.А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, том. 49 (второе изд.), ISBN  978-3-540-20364-3 , ISSN   0938-0396 , Збл   1079.11002
• Мазур, Барри ; Уайлс, Эндрю (1984), «Поля классов абелевых расширений Q », Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi : 10.1007/BF01388599 , ISSN   0020-9910 , MR   0742853 , S2CID   122576427
• Скиннер, Кристофер; Урбан, Эрик (2014), «Основные гипотезы Ивасавы для GL ₂ », Inventiones Mathematicae , 195 (1): 1–277, CiteSeerX   10.1.1.363.2008 , doi : 10.1007/s00222-013-0448-1 , MR   3148103 , S2CID   120848645
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в круговые поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94762-4
• Уайлс, Эндрю (1990), «Гипотеза Ивасавы для полностью реальных полей», Annals of Mathematics , Second Series, 131 (3): 493–540, doi : 10.2307/1971468 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971468 , MR   1053488