Jump to content

Основная гипотеза теории Ивасавы

Основная гипотеза теории Ивасавы
Поле Алгебраическая теория чисел
Теория Ивасавы
Предполагается Кенкичи — Ивасава
Предполагается в 1969
Первое доказательство Барри Мазур
Эндрю Уайлс
Первое доказательство в 1984

В математике основная гипотеза теории Ивасавы — глубокая связь между p -адическими L -функциями и группами идеальных классов круговых полей , доказанная Кенкичи Ивасавой для простых чисел, удовлетворяющих гипотезе Куммера-Вандивера , и доказанная для всех простых чисел формулойМазур и Уайлс ( 1984 ). Теорема Эрбрана-Рибе и гипотеза Гра являются легкими следствиями основной гипотезы.Существует несколько обобщений основной гипотезы на вполне реальные поля . [1] Поля CM , эллиптические кривые и т. д.

Мотивация [ править ]

Ивасава (1969a) был частично мотивирован аналогией с описанием Вейля дзета-функции алгебраической кривой над конечным полем в терминах собственных значений эндоморфизма Фробениуса на ее якобиане многообразия . В этой аналогии

  • Действие Фробениуса соответствует действию группы Γ.
  • Якобиан кривой соответствует модулю X над Γ, определенному в терминах групп идеальных классов.
  • Дзета-функция кривой над конечным полем соответствует p -адической L -функции.
  • Теорема Вейля, связывающая собственные значения Фробениуса с нулями дзета-функции кривой, соответствует основной гипотезе Ивасавы, связывающей действие алгебры Ивасавы на X с нулями p -адической дзета-функции.

История [ править ]

Основная гипотеза теории Ивасавы была сформулирована как утверждение о том, что два способа определения p -адических L -функций (по теории модулей, путем интерполяции) должны совпадать, насколько это было корректно определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для Q и для всех полностью действительных числовых полей Уайлсом (1990) . Эти доказательства были созданы по образцу доказательства Кена Рибета , обратного теореме Эрбрана ( теорема Эрбрана-Рибе ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя метод Тейна Колывагина и системы Эйлера , описанные в Lang (1990) и Washington (1997) , а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей. [2]

В 2014 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан доказали несколько случаев основных гипотез для большого класса модульных форм . [3] Как следствие, для модулярной эллиптической кривой над рациональными числами они доказывают, что из обращения в нуль Хассе–Вейля L -функции L ( E , s ) группы E в точке s = 1 следует, что p -адическая группа Сельмера группы E является бесконечный. В сочетании с теоремами Гросса Загера и Колывагина это дало условное доказательство (по гипотезе Тейта–Шафаревича ) гипотезы о том, что E имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда L ( E , 1) = 0, a (слабая) форма гипотезы Бёрча-Суиннертона-Дайера . Эти результаты были использованы Манджулом Бхаргавой , Скиннером и Вэй Чжаном , чтобы доказать, что положительная часть эллиптических кривых удовлетворяет гипотезе Берча-Свиннертона-Дайера . [4] [5]

Заявление [ править ]

  • р — простое число.
  • F n — поле Q (ζ), где ζ — корень из единицы порядка p п +1 .
  • Γ — наибольшая подгруппа абсолютной группы Галуа группы F ∞, изоморфная целым p -адическим числам.
  • γ — топологический генератор Γ
  • L n поле p -гильбертовых классов F n .
  • H n — группа Галуа Gal( L n / F n ), изоморфная подгруппе элементов группы идеальных классов F n, порядок которой является степенью p .
  • H — обратный предел групп Галуа H n .
  • V — векторное пространство H Z p Q p .
  • ω — характер Тейхмюллера .
  • V я это ω я В. собственное пространство
  • h p я , T ) — характеристический полином функции γ, действующий на векторном пространстве V я
  • L p p-адическая функция L с L p я ,1– k ) = –B k я к )/ k , где B обобщенное число Бернулли .
  • u — единственное p-адическое число, удовлетворяющее условию γ(ζ) = ζ в для всех корней p-степени из единицы ζ
  • G p степенной ряд с G p я , в с –1) = L p я , с )

Основная гипотеза теории Ивасавы, доказанная Мазуром и Уайлсом, гласит, что если i — нечетное целое число, не совпадающее с 1 по модулю p –1, то идеалы порожденный h p я , T ) и G p 1– я , T ) равны.

Примечания [ править ]

Источники [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d9c21716dffcda25c3f5ab4bafc6d82e__1716220500
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d9/2e/d9c21716dffcda25c3f5ab4bafc6d82e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Main conjecture of Iwasawa theory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)