Группа Зельмера

В арифметической геометрии группа Сельмера , названная в честь работы Эрнста Сейерстеда Зельмера ( 1951 ) Джоном Уильямом Скоттом Касселсом ( 1962 ), представляет собой группу, построенную на основе изогении абелевых многообразий .

Группа

Группа Сельмера абелева многообразия A относительно изогении f : A → B абелевых многообразий может быть определена в терминах когомологий Галуа как

$\operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v}))$

где A _v [ f обозначает f - кручение A и _v ] $\kappa _{v}$ это местная карта Куммера $B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])$. Обратите внимание, что $H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v})$ изоморфен $H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]$. Геометрически главные однородные пространства, происходящие из элементов группы Сельмера, имеют K _v -рациональные точки для всех мест v из K . Группа Сельмера конечна. Это означает, что часть группы Тейта–Шафаревича, убитой f, конечна в силу следующей точной последовательности

0 → B ( K )/ ж ( A ( K )) → Сел ^(е) ( А / К ) → Ш( А / К )[ ж ] → 0.

Группа Сельмера в середине этой точной последовательности конечна и эффективно вычислима. Отсюда следует слабая теорема Морделла–Вейля о том, что ее подгруппа B ( K )/ f ( A ( K )) конечна. Существует печально известная проблема о том, можно ли эффективно вычислить эту подгруппу: существует процедура ее вычисления, которая завершается правильным ответом, если существует некоторое простое число p такое, что p -компонента группы Тейта–Шафаревича конечна. Предполагается, что группа Тейта – Шафаревича на самом деле конечна, и в этом случае любое простое число p подойдет . Однако если (что кажется маловероятным) группа Тейта–Шафаревича имеет бесконечную p -компоненту для каждого простого числа p , то процедура может никогда не завершиться.

Ральф Гринберг ( 1994 ) обобщил понятие группы Сельмера на более общие p -адические представления Галуа и на p -адические вариации мотивов в контексте теории Ивасавы .

Группа Сельмера

В более общем смысле можно определить группу Сельмера конечного модуля Галуа M (например, ядра изогении) как элементы H ¹ ( G _K , M ), которые имеют образы внутри определенных заданных подгрупп H ¹ ( Г _{Кв )} , М .

Ссылки

• Кассельс, Джон Уильям Скотт (1962), «Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта – Шафаревича и Сельмера», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 12 : 259–296, doi : 10.1112/plms/ с3-12.1.259 , ISSN   0024-6115 , МР   0163913
• Кассельс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 24, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9781139172530 , ISBN.  978-0-521-41517-0 , МР   1144763
• Гринберг, Ральф (1994), «Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов», в Серре, Жан-Пьер ; Яннсен, Уве; Клейман, Стивен Л. (ред.), Мотивы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-1637-0 , МР   1265554
• Зельмер, Эрнст С. (1951), "Диофантово уравнение ax ³ + по ³ + Чешский ³ = 0", Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007/BF02395746 , ISSN   0001-5962 , MR   0041871

См. также

• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма