Гипотеза Линделефа

В математике гипотеза Линделефа — это гипотеза финского математика Эрнста Леонарда Линделефа. ^{[ 1 ]} о скорости роста дзета-функции Римана на критической линии. Эта гипотеза вытекает из гипотезы Римана . Он говорит, что для любого ε > 0 $\zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=O(t^{\varepsilon })$ поскольку t стремится к бесконечности (см. обозначение большого O ). Поскольку ε можно заменить меньшим значением, гипотезу можно переформулировать следующим образом: для любого ε положительного $\zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=o(t^{\varepsilon }).$

Функция μ

Если σ действительно , то µ (σ) определяется как нижняя нижняя грань всех действительных чисел a таких, что ζ(σ + iT ) = O( T ^а). Легко проверить, что µ (σ) = 0 при σ > 1, а из функционального уравнения дзета-функции следует, что µ (σ) = µ (1 − σ) − σ + 1/2. Из теоремы Фрагмена –Линделёфа следует, что µ — выпуклая функция . Гипотеза Линделефа утверждает, что µ (1/2) = 0, что вместе с указанными выше свойствами µ означает, что µ (σ) равно 0 для σ ≥ 1/2 и 1/2 − σ для σ ≤ 1/2.

Результат Линделёфа о выпуклости вместе с µ (1) = 0 и µ (0) = 1/2 означает, что 0 ⩽ µ (1/2) ⩽ 1/4. Верхняя граница 1/4 была снижена Харди и Литтлвудом до 1/6 путем применения метода Вейля оценки экспоненциальных сумм к приближенному функциональному уравнению . С тех пор несколько авторов снизили его до чуть меньше 1/6, используя длинные и технические доказательства , как показано в следующей таблице:

мкм (1/2) ≤	мкм (1/2) ≤	Автор
1/4	0.25	Линделёф ^{[ 2 ]}	Граница выпуклости
1/6	0.1667	Харди и Литтлвуд ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
163/988	0.1650	Вальфиш 1924 г. ^{[ 5 ]}
27/164	0.1647	Титчмарш 1932 г. ^{[ 6 ]}
229/1392	0.164512	Филлипс 1933 г. ^{[ 7 ]}
	0.164511	Рэнкин 1955 г. ^{[ 8 ]}
19/116	0.1638	Титчмарш 1942 г. ^{[ 9 ]}
15/92	0.1631	Мин. 1949 г. ^{[ 10 ]}
6/37	0.16217	Ханеке 1962 г. ^{[ 11 ]}
173/1067	0.16214	Колесник 1973 г. ^{[ 12 ]}
35/216	0.16204	Колесник 1982 г. ^{[ 13 ]}
139/858	0.16201	Колесник 1985г. ^{[ 14 ]}
9/56	0.1608	Бомбьери и Изанец, 1986 г. ^{[ 15 ]}
32/205	0.1561	Хаксли ^{[ 16 ]}
53/342	0.1550	Бурген ^{[ 17 ]}
13/84	0.1548	Бурген ^{[ 18 ]}

Связь с гипотезой Римана

Баклунд ^{[ 19 ]} (1918–1919) показали, что гипотеза Линделефа эквивалентна следующему утверждению о нулях дзета-функции: для каждого ε > 0 количество нулей с действительной частью не менее 1/2 + ε и мнимой частью между T и T + 1 равно o(log( T )), поскольку T стремится к бесконечности. Гипотеза Римана предполагает, что в этой области вообще нет нулей, и отсюда следует гипотеза Линделёфа. Известно, что число нулей с мнимой частью между T и T + 1 равно O(log( T )), поэтому гипотеза Линделефа кажется лишь немного сильнее того, что уже было доказано, но, несмотря на это, она сопротивлялась всем попыткам чтобы доказать это.

Средства степеней (или моментов) дзета-функции

Гипотеза Линделефа эквивалентна утверждению, что ${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })$ для всех натуральных чисел k и всех положительных действительных чисел ε. Это было доказано для k = 1 или 2, но случай k = 3 кажется гораздо более сложным и все еще остается открытой проблемой .

Существует гораздо более точная гипотеза об асимптотическом поведении интеграла : считается, что

\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)

для некоторых констант c _{k , j} . Это было доказано Литтлвудом для k = 1 и Хит-Брауном. ^{[ 20 ]} для к = 2 (расширяя результат Ingham ^{[ 21 ]} кто нашел ведущий термин).

Конри и Гош ^{[ 22 ]} предложил значение

{\frac {42}{9!}}\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)

для старшего коэффициента, когда k равно 6, а Китинг и Снэйт ^{[ 23 ]} использовал теорию случайных матриц , чтобы предложить некоторые гипотезы о значениях коэффициентов для более высоких k . Предполагается, что старшие коэффициенты являются произведением элементарного множителя, некоторого произведения простых чисел и количества n × n, таблиц Юнга заданных последовательностью

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... (последовательность A039622 в OEIS ).

Другие последствия

Обозначая p _n n -е простое число, пусть $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$ Результат Альберта Ингэма показывает, что из гипотезы Линделефа следует, что для любого ε > 0 $g_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }$ если n достаточно велико .

Гипотеза о простом разрыве, более сильная, чем результат Ингэма, - это гипотеза Крамера , которая утверждает, что ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} $g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right).$

Гипотеза плотности

Известная область без нуля, грубо говоря, соответствует правому нижнему углу изображения, и гипотеза Римана сместит всю диаграмму вниз к оси X. $A_{RH}(\sigma >1/2)=0$ . С другой стороны, верхняя граница $A_{DH}(1-\sigma )=2(1-1/2)=1$ этой диаграммы соответствует тривиальной оценке, вытекающей из формулы Римана-фон Мангольдта . (Существуют и другие оценки ^{[ 26 ]})

Гипотеза плотности гласит, что $N(\sigma ,T)\leq N^{2(1-\sigma )+\epsilon }$ , где $N(\sigma ,T)$ обозначаем количество нулей $\rho$ из $\zeta (s)$ с ${\mathfrak {R}}(s)\geq \sigma$ и $|{\mathfrak {I}}(s)|\leq T$ , и это следует из гипотезы Линделёфа. ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

В общем, пусть $N(\sigma ,T)\leq N^{A(\sigma )(1-\sigma )+\epsilon }$ то известно, что эта оценка примерно соответствует асимптотике для простых чисел на коротких интервалах длины $x^{1-1/A(\sigma )}$ . ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

Ингэм показал, что $A_{I}(\sigma )={\frac {3}{2-\sigma }}$ в 1940 году, ^{[ 31 ]} Хаксли , что $A_{H}(\sigma )={\frac {3}{3\sigma -1}}$ в 1971 году, ^{[ 32 ]} и Гут и Мейнард, что $A_{GM}(\sigma )={\frac {15}{5\sigma +3}}$ в 2024 году (препринт) ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} и они совпадают $\sigma _{I,GM}=7/10<\sigma _{H,GM}=8/10<\sigma _{I,H}=3/4$ , поэтому последняя работа Гута и Мейнарда дает наиболее близкое известное значение $\sigma =1/2$ как и следовало ожидать от гипотезы Римана, и улучшает границу $N(\sigma ,T)\leq N^{{\frac {30}{13}}(1-\sigma )+\epsilon }$ или, что то же самое, асимптотика $x^{17/30}$ .

Теоретически Бейкера, Хармана и Пинца улучшения оценок для гипотезы Лежандра и улучшения областей, свободных от нулей Зигеля можно также ожидать .

L-функции

Дзета-функция Римана принадлежит к более общему семейству функций, называемых L-функциями . В 2010 году новые методы получения оценок субвыпуклости L-функций в случае PGL (2) были предложены Джозефом Бернштейном и Андре Резниковым. ^{[ 36 ]} и в случае GL(1) и GL(2) Акшая Венкатеша и Филиппа Мишеля . ^{[ 37 ]} и в 2021 году по делу GL( n ) Пола Нельсона. ^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}

См. также

Z-функция # Гипотеза Линделефа

Примечания и ссылки

^ см. Линделёф (1908)
^ Линделеф (1908)
^ Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1923). «О гипотезе Линделефа о дзета-функции Римана». Учеб. Р. Сок. А : 403–412.
^ Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . ISSN 0001-5962 .
^ Вальфиш, Арнольд (1924). «Об оценке ζ(½ + it)». Новости Гес. Геттинген, матем.-физ. Класс : 155–158.
^ Титчмарш, ЕС (1932). «О методе Ван дер Корпута и дзета-функции Римана (III)». Ежеквартальный математический журнал . ос-3 (1): 133–141. дои : 10.1093/qmath/os-3.1.133 . ISSN 0033-5606 .
^ Филлипс, Эрик (1933). «Дзета-функция Римана: дальнейшее развитие метода Ван дер Корпута». Ежеквартальный математический журнал . ос-4 (1): 209–225. дои : 10.1093/qmath/os-4.1.209 . ISSN 0033-5606 .
^ Рэнкин, Р.А. (1955). «Метод Ван дер Корпута и теория пар показателей». Ежеквартальный математический журнал . 6 (1): 147–153. дои : 10.1093/qmath/6.1.147 . ISSN 0033-5606 .
^ Титчмарш, EC (1942). «Порядка ζ(½+ it )». Ежеквартальный математический журнал . ос-13(1):11–17. дои : 10.1093/qmath/os-13.1.11 . ISSN 0033-5606 .
^ Мин, Сы-Хоа (1949). «Порядка 𝜁(1/2+𝑖𝑡)». Труды Американского математического общества . 65 (3): 448–472. дои : 10.1090/S0002-9947-1949-0030996-6 . ISSN 0002-9947 .
^ Ханеке, В. (1963). «Ужесточение оценки ξ(½+it)». Acta Arithmetica (на немецком языке). 8 (4): 357–430. дои : 10.4064/aa-8-4-357-430 . ISSN 0065-1036 .
^ Колесник, Г. А. (1973). «Об оценке некоторых тригонометрических сумм» . Acta Arithmetica (на русском языке). 25 (1): 7–30. ISSN 0065-1036 . Проверено 5 февраля 2024 г.
^ Колесник, Григорий (1 января 1982 г.). «О порядке ζ (1/2+ it ) и ∆( R )». Тихоокеанский математический журнал . 98 (1): 107–122. дои : 10.2140/pjm.1982.98.107 . ISSN 0030-8730 .
^ Колесник, Г. (1985). «О методе пар показателей». Акта Арифметика . 45 (2): 115–143. дои : 10.4064/aa-45-2-115-143 .
^ Бомбьери, Э.; Иванец, Х. (1986). «Порядка ζ (1/2+ it )». Анналы Scuola Normale Superiore Пизы - Класс естественных наук . 13 (3): 449–472.
^ Хаксли (2002) , Хаксли (2005)
^ Бургейн (2017)
^ Бургейн (2017)
^ Баклунд (1918–1919)
^ Хит-Браун (1979)
^ Ингхэм (1928)
^ Конри и Гош (1998)
^ Китинг и Снэйт (2000)
^ Крамер, Харальд (1936). «О порядке разницы между последовательными простыми числами». Акта Арифметика . 2 (1): 23–46. дои : 10.4064/aa-2-1-23-46 . ISSN 0065-1036 .
^ Бэнкс, Уильям; Форд, Кевин; Тао, Теренс (2023). «Большие простые пробелы и вероятностные модели». Математические изобретения . 233 (3): 1471–1518. arXiv : 1908.08613 . дои : 10.1007/s00222-023-01199-0 . ISSN 0020-9910 .
^ Трудджиан, Тимоти С.; Ян, Эндрю (2023). «К оптимальным парам показателей». arXiv : 2306.05599 [ math.NT ].
^ «25а» . aimath.org . Проверено 16 июля 2024 г.
^ «Гипотеза плотности — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 16 июля 2024 г.
^ «Новые границы для больших значений полиномов Дирихле, часть 1 — Видео | Институт перспективных исследований» . www.ias.edu . 04.06.2024 . Проверено 16 июля 2024 г.
^ «Новые границы для больших значений полиномов Дирихле, часть 2 — Видео | Институт перспективных исследований» . www.ias.edu . 04.06.2024 . Проверено 16 июля 2024 г.
^ Ингхэм, AE (1940). «ОБ ОЦЕНКЕ N (σ, T )» . Ежеквартальный математический журнал . ос-11(1): 201–202. дои : 10.1093/qmath/os-11.1.201 . ISSN 0033-5606 .
^ Хаксли, Миннесота (1971). «О различии последовательных простых чисел» . Математические изобретения . 15 (2): 164–170. дои : 10.1007/BF01418933 . ISSN 0020-9910 .
^ Гут, Ларри; Мейнард, Джеймс (2024). «Новые оценки больших значений полиномов Дирихле». arXiv : 2405.20552 [ math.NT ].
^ Бишофф, Манон. «Самая большая проблема математики наконец-то стала на шаг ближе к решению» . Научный американец . Проверено 16 июля 2024 г.
^ Цепелевич, Джордана (15 июля 2024 г.). « Сенсационное доказательство дает новое представление о простых числах» . Журнал Кванта . Проверено 16 июля 2024 г.
^ Бернштейн, Джозеф; Резников, Андре (05 октября 2010 г.). «Оценки подвыпуклости тройных L-функций и теория представлений» . Анналы математики . 172 (3): 1679–1718. arXiv : math/0608555 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.1679 . ISSN 0003-486X . S2CID 14745024 .
^ Мишель, Филипп ; Венкатеш, Акшай (2010). «Проблема о подвыпуклости для GL ₂ ». Публикации IHÉS по математике . 111 (1): 171–271. arXiv : 0903.3591 . CiteSeerX 10.1.1.750.8950 . дои : 10.1007/s10240-010-0025-8 . S2CID 14155294 .
^ Нельсон, Пол Д. (30 сентября 2021 г.). «Границы стандартных $L$-функций». arXiv : 2109.15230 [ math.NT ].
^ Хартнетт, Кевин (13 января 2022 г.). «Математики преодолевают препятствия в поисках расшифровки простых чисел» . Журнал Кванта . Проверено 17 февраля 2022 г.

Баклунд, Р. (1918–1919), «О взаимосвязи между возрастанием и нулями дзета-функции» , Ofversigt Finska Vetensk. Соц. , 61 (9)
Бурген, Жан (2017), «Развязка, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана», Журнал Американского математического общества , 30 (1): 205–224, arXiv : 1408.5794 , doi : 10.1090/jams/860 , MR 3556291 , S2CID 118064221
Конри, Дж. Б.; Фермер, Д.В.; Китинг, Джонатан П.; Рубинштейн, Миссури; Снайт, Северная Каролина (2005), «Интегральные моменты L-функций», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 91 (1): 33–104, arXiv : math/0206018 , doi : 10.1112/S0024611504015175 , ISSN 0024-6115 , МР 2149530 , С2КИД 1435033
Конри, Дж. Б.; Фермер, Д.В.; Китинг, Джонатан П.; Рубинштейн, Миссури; Снайт, Северная Каролина (2008), «Члены низшего порядка в гипотезе полного момента для дзета-функции Римана», Journal of Number Theory , 128 (6): 1516–1554, arXiv : math/0612843 , doi : 10.1016/j.jnt .2007.05.013 , ISSN 0022-314С , МР 2419176 , С2КИД 15922788
Конри, Дж. Б.; Гош, А. (1998), «Гипотеза о моменте шестой степени дзета-функции Римана», International Mathematics Research Sciences , 1998 (15): 775–780, arXiv : math/9807187 , Bibcode : 1998math... ...7187C , дои : 10.1155/S1073792898000476 , ISSN 1073-7928 , MR 1639551
Эдвардс, HM (1974), Дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0 , МР 0466039 2001 г., репринт ПБК
Хит-Браун, Д.Р. (1979), «Четвертый степенной момент дзета-функции Римана», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 38 (3): 385–422, doi : 10.1112/plms/s3-38.3. 385 , ISSN 0024-6115 , МР 0532980
Хаксли, Миннесота (2002), «Целые точки, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана», Теория чисел для тысячелетия, II (Урбана, Иллинойс, 2000) , AK Peters , стр. 275–290, MR 1956254
Хаксли, Миннесота (2005), «Экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана. V», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 90 (1): 1–41, doi : 10.1112/S0024611504014959 , ISSN 0024-6115 , MR 2107036
Ингэм, А.Е. (1928), "Теоремы о среднем значении в теории дзета-функции Римана", Proc. Лондонская математика. Соц. , с2-27(1): 273–300, doi : 10.1112/plms/s2-27.1.273
Ингэм, AE (1940), «Об оценке N (σ, T)», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 11 (1): 291–292, Бибкод : 1940QJMat..11..201I , doi : 10.1093/qmath/os-11.1.201 , ISSN 0033-5606 , МР 0003649
Карацуба, Анатолий ; Воронин, Сергей (1992), Дзета-функция Римана , Expositions de Gruyter in Mathematics, vol. 5, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, ISBN 978-3-11-013170-3 , МР 1183467
Китинг, Джонатан П.; Снайт, Северная Каролина (2000), «Теория случайных матриц и ζ(1/2+it)», Communications in Mathematical Physics , 214 (1): 57–89, Бибкод : 2000CMaPh.214...57K , CiteSeerX 10.1.1.15 .8362 , дои : 10.1007/s002200000261 , ISSN 0010-3616 , MR 1794265 , S2CID 11095649
Линделёф, Эрнст (1908), «Некоторые замечания о росте функции ζ(s)» , Bull. наук. Математика. , 32 : 341–356
Мотохаси, Йыйичи (1995), «Связь между дзета-функцией Римана и гиперболическим лапласианом» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Научный класс. Серия IV , 22 (2): 299–313, ISSN 0391-173X , MR 1354909.
Мотохаси, Ёити (1995), «Дзета-функция Римана и неевклидов лапласиан», Sugaku Expositions , 8 (1): 59–87, ISSN 0898-9583 , MR 1335956
Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6 , МР 0882550
Воронин, С.М. (2001) [1994], «Гипотеза Линделёфа» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] см. Линделёф (1908)

[2] Линделеф (1908)

[Hardy_&_Littlewood_1923_pp._403–412-3] Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1923). «О гипотезе Линделефа о дзета-функции Римана». Учеб. Р. Сок. А : 403–412.

[Hardy_Littlewood_1916_pp._119–196-4] Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . ISSN 0001-5962 .

[Walfisz_1924_pp._115-143-5] Вальфиш, Арнольд (1924). «Об оценке ζ(½ + it)». Новости Гес. Геттинген, матем.-физ. Класс : 155–158.

[Titchmarsh_1932_pp._133–141-6] Титчмарш, ЕС (1932). «О методе Ван дер Корпута и дзета-функции Римана (III)». Ежеквартальный математический журнал . ос-3 (1): 133–141. дои : 10.1093/qmath/os-3.1.133 . ISSN 0033-5606 .

[Phillips_1933_pp._209–225-7] Филлипс, Эрик (1933). «Дзета-функция Римана: дальнейшее развитие метода Ван дер Корпута». Ежеквартальный математический журнал . ос-4 (1): 209–225. дои : 10.1093/qmath/os-4.1.209 . ISSN 0033-5606 .

[Rankin_1955_pp._147–153-8] Рэнкин, Р.А. (1955). «Метод Ван дер Корпута и теория пар показателей». Ежеквартальный математический журнал . 6 (1): 147–153. дои : 10.1093/qmath/6.1.147 . ISSN 0033-5606 .

[Titchmarsh_1942_pp._11–17-9] Титчмарш, EC (1942). «Порядка ζ(½+ it )». Ежеквартальный математический журнал . ос-13(1):11–17. дои : 10.1093/qmath/os-13.1.11 . ISSN 0033-5606 .

[Min_1949_pp._448–472-10] Мин, Сы-Хоа (1949). «Порядка 𝜁(1/2+𝑖𝑡)». Труды Американского математического общества . 65 (3): 448–472. дои : 10.1090/S0002-9947-1949-0030996-6 . ISSN 0002-9947 .

[Haneke_1963_pp._357–430-11] Ханеке, В. (1963). «Ужесточение оценки ξ(½+it)». Acta Arithmetica (на немецком языке). 8 (4): 357–430. дои : 10.4064/aa-8-4-357-430 . ISSN 0065-1036 .

[Kolesnik_1973_pp._7-30-12] Колесник, Г. А. (1973). «Об оценке некоторых тригонометрических сумм» . Acta Arithmetica (на русском языке). 25 (1): 7–30. ISSN 0065-1036 . Проверено 5 февраля 2024 г.

[Kolesnik_1982_pp._107–122-13] Колесник, Григорий (1 января 1982 г.). «О порядке ζ (1/2+ it ) и ∆( R )». Тихоокеанский математический журнал . 98 (1): 107–122. дои : 10.2140/pjm.1982.98.107 . ISSN 0030-8730 .

[Kolesnik_1985_pp._115-143-14] Колесник, Г. (1985). «О методе пар показателей». Акта Арифметика . 45 (2): 115–143. дои : 10.4064/aa-45-2-115-143 .

[15] Бомбьери, Э.; Иванец, Х. (1986). «Порядка ζ (1/2+ it )». Анналы Scuola Normale Superiore Пизы - Класс естественных наук . 13 (3): 449–472.

[16] Хаксли (2002) , Хаксли (2005)

[17] Бургейн (2017)

[18] Бургейн (2017)

[19] Баклунд (1918–1919)

[20] Хит-Браун (1979)

[21] Ингхэм (1928)

[22] Конри и Гош (1998)

[23] Китинг и Снэйт (2000)

[Cramér1936-24] Крамер, Харальд (1936). «О порядке разницы между последовательными простыми числами». Акта Арифметика . 2 (1): 23–46. дои : 10.4064/aa-2-1-23-46 . ISSN 0065-1036 .

[Banks_Ford_Tao_2023_pp._1471–1518-25] Бэнкс, Уильям; Форд, Кевин; Тао, Теренс (2023). «Большие простые пробелы и вероятностные модели». Математические изобретения . 233 (3): 1471–1518. arXiv : 1908.08613 . дои : 10.1007/s00222-023-01199-0 . ISSN 0020-9910 .

[26] Трудджиан, Тимоти С.; Ян, Эндрю (2023). «К оптимальным парам показателей». arXiv : 2306.05599 [ math.NT ].

[27] «25а» . aimath.org . Проверено 16 июля 2024 г.

[28] «Гипотеза плотности — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 16 июля 2024 г.

[29] «Новые границы для больших значений полиномов Дирихле, часть 1 — Видео | Институт перспективных исследований» . www.ias.edu . 04.06.2024 . Проверено 16 июля 2024 г.

[30] «Новые границы для больших значений полиномов Дирихле, часть 2 — Видео | Институт перспективных исследований» . www.ias.edu . 04.06.2024 . Проверено 16 июля 2024 г.

[31] Ингхэм, AE (1940). «ОБ ОЦЕНКЕ N (σ, T )» . Ежеквартальный математический журнал . ос-11(1): 201–202. дои : 10.1093/qmath/os-11.1.201 . ISSN 0033-5606 .

[32] Хаксли, Миннесота (1971). «О различии последовательных простых чисел» . Математические изобретения . 15 (2): 164–170. дои : 10.1007/BF01418933 . ISSN 0020-9910 .

[33] Гут, Ларри; Мейнард, Джеймс (2024). «Новые оценки больших значений полиномов Дирихле». arXiv : 2405.20552 [ math.NT ].

[34] Бишофф, Манон. «Самая большая проблема математики наконец-то стала на шаг ближе к решению» . Научный американец . Проверено 16 июля 2024 г.

[35] Цепелевич, Джордана (15 июля 2024 г.). « Сенсационное доказательство дает новое представление о простых числах» . Журнал Кванта . Проверено 16 июля 2024 г.

[36] Бернштейн, Джозеф; Резников, Андре (05 октября 2010 г.). «Оценки подвыпуклости тройных L-функций и теория представлений» . Анналы математики . 172 (3): 1679–1718. arXiv : math/0608555 . дои : 10.4007/анналы.2010.172.1679 . ISSN 0003-486X . S2CID 14745024 .

[SubconvexityGL2-37] Мишель, Филипп ; Венкатеш, Акшай (2010). «Проблема о подвыпуклости для GL ₂ ». Публикации IHÉS по математике . 111 (1): 171–271. arXiv : 0903.3591 . CiteSeerX 10.1.1.750.8950 . дои : 10.1007/s10240-010-0025-8 . S2CID 14155294 .

[38] Нельсон, Пол Д. (30 сентября 2021 г.). «Границы стандартных $L$-функций». arXiv : 2109.15230 [ math.NT ].

[39] Хартнетт, Кевин (13 января 2022 г.). «Математики преодолевают препятствия в поисках расшифровки простых чисел» . Журнал Кванта . Проверено 17 февраля 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

v т и L -функции в теории чисел
Аналитические примеры	Дзета-функция Римана Дирихле L -функции L -функции характеров Гекке Автоморфные L -функции класс Сельберга
Алгебраические примеры	Дзета-функции Дедекинда Артина L -функции Хассе–Вейля L -функции Мотивические L -функции
Теоремы	Формула номера аналитического класса Формула Римана – фон Мангольдта Предположения Вейля
Аналитические догадки	Гипотеза Римана Обобщенная гипотеза Римана Гипотеза Линделефа Гипотеза Рамануджана-Петерссона Гипотеза Артина
Алгебраические гипотезы	Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера Гипотеза Делиня Гипотезы Бейлинсона Гипотеза Блоха – Като Гипотеза Ленглендса
p -адические L -функции	Основная гипотеза теории Ивасавы Группа Зельмера система Эйлера