Формула Римана – фон Мангольдта

В математике формула Римана -фон Мангольдта , названная в честь Бернхарда Римана и Ганса Карла Фридриха фон Мангольдта , описывает распределение нулей дзета-функции Римана .

Формула утверждает, что число N ( T ) нулей дзета-функции с мнимой частью больше 0 и меньше или равной T удовлетворяет

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T}).$

Формула была сформулирована Риманом в его знаменитой статье « О числе простых чисел, меньших заданной величины » (1859 г.) и окончательно доказана Мангольдтом в 1905 г.

Баклунд дает явную форму ошибки для всех T > 2:

$\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\log T+0.443\log \log T+4.350\ .$

Согласно гипотезам Линделёфа и Римана, член ошибки можно улучшить до $o(\log {T})$ и $O(\log {T}/\log {\log {T}})$ соответственно.

Аналогично, для любого примитивного характера Дирихле χ по модулю q имеем

$N(T,\chi )={\frac {T}{\pi }}\log {\frac {qT}{2\pi e}}+O(\log {qT}),$

где N(T,χ) обозначает количество нулей L(s,χ) с мнимой частью между -T и T .

Ссылки

• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Чистая и прикладная математика. Том. 58. Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса. ISBN  0-12-232750-0 . Збл   0315.10035 .
• Ивич, Александр (2013). Харди Теория Z -функции . Кембриджские трактаты по математике. Том. 196. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-107-02883-8 . Збл   1269.11075 .
• Паттерсон, С.Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 14. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-33535-3 . Артикул   0641.10029 .
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853369-6 , МР   0882550