Соответствие Римана – Гильберта

В математике термин « соответствие Римана–Гильберта» относится к соответствию между регулярными сингулярными плоскими связностями на алгебраических векторных расслоениях и представлениям фундаментальной группы, а в более общем плане — к одному из нескольких его обобщений. Исходная постановка, возникшая в двадцать первой проблеме Гильберта, относилась к сфере Римана, где речь шла о существовании систем линейных регулярных дифференциальных уравнений с предписанными представлениями монодромии . Сначала риманову сферу можно заменить произвольной римановой поверхностью , а затем, в более высоких измерениях, римановы поверхности заменяются комплексными многообразиями размерности > 1. Существует соответствие между некоторыми системами уравнений в частных производных (линейными и имеющими совершенно особые свойства своих решений) и возможными монодромиями их решений.

Такой результат был доказан для алгебраических связностей с регулярными особенностями Пьером Делинем (1970, обобщающим существующие работы на случай римановых поверхностей) и, в более общем плане, для регулярных голономных D-модулей Масаки Касиварой (1980, 1984) и Зогманом Мебхаутом (1980, 1980, 1980, 1984). 1984) независимо. В рамках неабелевой теории Ходжа соответствие Римана-Гильберта обеспечивает комплексный аналитический изоморфизм между двумя из трех естественных алгебраических структур в пространствах модулей и поэтому естественно рассматривается как неабелев аналог изоморфизма сравнения между когомологиями Де Рама и сингулярными /Когомологии Бетти.

Заявление

Предположим, что X — гладкое комплексное алгебраическое многообразие.

Соответствие Римана–Гильберта (для регулярных сингулярных связностей): существует функтор Sol , называемый функтором локальных решений, который является эквивалентностью категории плоских связностей на алгебраических векторных расслоениях на X с регулярными особенностями категории локальных систем конечномерных комплексных векторных пространств на X . Для связного X категория локальных систем также эквивалентна категории комплексных представлений группы X фундаментальной . Таким образом, такие связи дают чисто алгебраический способ доступа к конечномерным представлениям топологической фундаментальной группы.

Условие регулярных особенностей означает, что локально постоянные сечения расслоения (относительно плоской связности) имеют умеренный рост в точках Y − X , где Y — алгебраическая компактификация X . В частности, когда X компактно, условие регулярных особенностей бессмысленно.

В более общем плане существует

Соответствие Римана–Гильберта (для регулярных голономных D-модулей): существует функтор DR, называемый функтором де Рама, который является эквивалентностью категории голономных D-модулей на X с регулярными особенностями категории перверсивных пучков на X .

Учитывая неприводимые элементы каждой категории, это дает соответствие 1:1 между классами изоморфизма

• неприводимые голономные D-модули на X с регулярными особенностями,

и

• комплексы когомологий пересечения неприводимых замкнутых подмногообразий X с коэффициентами неприводимых локальных систем .

D -модуль — это что-то вроде системы дифференциальных уравнений на X , а локальная система на подмногообразии — это что-то вроде описания возможных монодромий, поэтому это соответствие можно рассматривать как описание некоторых систем дифференциальных уравнений в терминах монодромий. своих решений.

В случае, когда X имеет размерность один (комплексная алгебраическая кривая), тогда существует более общее соответствие Римана–Гильберта для алгебраических связностей без предположения регулярности (или для голономных D-модулей без предположения регулярности), описанное в Мальгранже (1991), Соответствие Римана–Гильберта–Биркгофа .

Примеры

Примером применения теоремы является дифференциальное уравнение

${\frac {df}{dz}}={\frac {a}{z}}f$

на проколотой аффинной линии A ¹ − {0} (т. е. на ненулевых комплексных числах C − {0}). Здесь а — фиксированное комплексное число. Это уравнение имеет регулярные особенности в точках 0 и ∞ на проективной прямой P ¹ . Локальные решения уравнения имеют вид cz ^а для констант c . Если a не целое число, то функция z ^а не может быть четко определен на всем C − {0}. Это означает, что уравнение обладает нетривиальной монодромией. В явном виде монодромия этого уравнения — это одномерное представление фундаментальной группы π ₁ ( A ¹ − {0}) = Z , в котором генератор (цикл вокруг начала координат) действует умножением на e ^{2 π иа} .

Чтобы убедиться в необходимости гипотезы регулярных особенностей, рассмотрим дифференциальное уравнение

${\frac {df}{dz}}=f$

на аффинной прямой A ¹ (т. е. на комплексных числах C ). Это уравнение соответствует плоской связности на тривиальном алгебраическом линейном расслоении над A ¹ . Решения уравнения имеют вид ce ^С для констант c . Поскольку эти решения не имеют полиномиального роста на некоторых секторах вокруг точки ∞ проективной прямой P ¹ , уравнение не имеет регулярных особенностей в точке ∞. (Это также можно увидеть, переписав уравнение в терминах переменной w := 1/ z , где оно становится

${\frac {df}{dw}}=-{\frac {1}{w^{2}}}f.$

Полюс порядка 2 в коэффициентах означает, что уравнение не имеет регулярных особенностей при w = 0, согласно теореме Фукса .)

Поскольку функции ce ^С определены на всей аффинной прямой A ¹ , монодромия этой плоской связности тривиальна. Но эта плоская связность не изоморфна очевидной плоской связности на тривиальном линейном расслоении над A. ¹ (как алгебраическое векторное расслоение с плоской связностью), поскольку его решения не имеют умеренного роста в точке ∞. Это показывает необходимость ограничиться плоскими связностями с регулярными особенностями в соответствии Римана–Гильберта. С другой стороны, если мы работаем с голоморфными (а не алгебраическими) векторными расслоениями с плоской связностью на некомпактном комплексном многообразии, таком как A ¹ = C , то понятие регулярных особенностей не определено. Гораздо более элементарная теорема, чем соответствие Римана–Гильберта, утверждает, что плоские связности на голоморфных векторных расслоениях определяются с точностью до изоморфизма их монодромией.

В характеристике р

Для схем с характеристикой p > 0 Эмертон и Кисин (2004) (позже развитые при менее ограничительных предположениях в Бхатте и Лурье (2019) ) устанавливают соответствие Римана-Гильберта, которое, в частности, утверждает, что этальные когомологии этальных пучков с Z / p -коэффициенты могут быть вычислены в терминах действия эндоморфизма Фробениуса на когерентных когомологиях .

В более общем смысле, существуют эквивалентности категорий между конструктивными (соответственно извращенными) этальными Z / p -пучками и левыми (соответственно правыми) модулями с действием Фробениуса (соответственно Картье). Это можно рассматривать как положительный характеристический аналог классической теории, где можно обнаружить аналогичное взаимодействие конструктивных и перверсивных t-структур.

См. также

• Проблема Римана–Гильберта

Ссылки

• Эмертон, Мэтью; Кисин, Марк (2004), «Соответствие Римана-Гильберта для единичных F-кристаллов», Asterisque , 293 : 1–268
• Бхатт, Бхаргав; Лурье, Джейкоб (2019), «Соответствие Римана-Гильберта в положительной характеристике», Cambridge Journal of Mathematics , 7 (1–2): 71–217, arXiv : 1711.04148 , doi : 10.4310/CJM.2019.v7.n1. а3 , МР   3922360 , S2CID   119147066
• Димка, Александру, Пучки в топологии , стр. 206–207 (дает явное представление соответствия Римана – Гильберта для слоя Милнора с изолированной гиперповерхностной особенностью)
• Борель, Арманд (1987), Алгебраические D-модули , Перспективы математики, том. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-117740-9 , МР   0882000
• Делинь, Пьер (1970), Дифференциальные уравнения с регулярными особыми точками , Конспект лекций по математике, вып. 163, Шпрингер-Верлаг , ISBN  3540051902 , МР   0417174 , OCLC   169357
• Кашивара, Масаки (1980), «Конструируемые балки и голономиальные системы линейных уравнений в частных производных с регулярными особыми точками», семинар Гулаука-Шварца, 1979–80, лекция 19 , Палезо: Политехническая школа, MR   0600704
• Кашивара, Масаки (1984), «Проблема Римана-Гильберта для голономных систем» , Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 20 (2): 319–365, doi : 10.2977/prims/1195181610 , MR   0743382
• Мальгранж, Бернар (1991), Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами , Progress in Mathematics, vol. 96, Биркхойзер , ISBN  0-8176-3556-4 , МР   1117227
• Мебхаут, Зогман (1980), «Sur le problėme de Hilbert-Riemann», Комплексный анализ, микролокальное исчисление и релятивистская квантовая теория (Les Houches, 1979) , Конспекты лекций по физике, том. 126, Springer Verlag , стр. 90–110, ISBN  3-540-09996-4 , МР   0579742
• Мебхаут, Зогман (1984), «Другая эквивалентность категорий» , Compositio Mathematica , 51 (1): 63–88, MR   0734785