Проблема Римана–Гильберта

Об исходной проблеме Гильберта о существовании линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии, см. двадцать первую проблему Гильберта .

В математике , проблемы Римана–Гильберта , названные в честь Бернхарда Римана и Давида Гильберта представляют собой класс проблем, возникающих при изучении дифференциальных уравнений в комплексной плоскости . Несколько теорем существования для задач Римана–Гильберта были созданы Марком Крейном , Исраэлем Гохбергом и другими.

Проблема Римана

Предположим, что $\Sigma$ представляет собой плавный , простой, замкнутый контур в сложном $z$ самолет . Разделим плоскость на две части, обозначаемые $\Sigma _{+}$ (внутри) и $\Sigma _{-}$ (внешняя), определяемая индексом контура относительно точки. Классическая задача, рассмотренная Риманом в докторской диссертации, заключалась в нахождении функции

$M_{+}(t)=u(t)+iv(t),$

аналитика внутри $\Sigma _{+}$, такие, что граничные значения $M_{+}$ вдоль $\Sigma$ удовлетворить уравнение

$a(t)u(t)-b(t)v(t)=c(t),$

для $t\in \Sigma$, где $a(t)$, $b(t)$ и $c(t)$ даны вещественнозначные функции. Например, в частном случае, когда $a=1,b=0$ и $\Sigma$ является кругом, задача сводится к выводу формулы Пуассона .

По теореме Римана об отображении достаточно рассмотреть случай, когда $\Sigma$ это группа кругов ${\textstyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$. В этом случае можно искать $M_{+}(z)$ вместе с его отражением Шварца

$M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.$

Для $z\in \mathbb {T}$, у одного есть $z=1/{\bar {z}}$ и так

$M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}}.$

Следовательно, задача сводится к нахождению пары аналитических функций $M_{+}(z)$ и $M_{-}(z)$ соответственно внутри и снаружи единичного круга , так что на единичном круге

${\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),$

и притом так, чтобы выполнялось условие на бесконечности:

$\lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\overline {{M}_{+}(0)}}.$

Проблема Гильберта

См. Также: метод Винера-Хопфа.

В обобщении проблемы Гильбертом была попытка найти пару аналитических функций. $M_{+}(t)$ и $M_{-}(t)$ на внутренней и внешней стороне кривой соответственно $\Sigma$, такой, что для $t\in \Sigma$ у одного есть

$\alpha (t)M_{+}(t)+\beta (t)M_{-}(t)=\gamma (t)$

где $\alpha (t)$, $\beta (t)$ и $\gamma (t)$ даны комплекснозначные функции (а не просто комплексно-сопряженные).

Проблемы Римана–Гильберта

В задаче Римана, а также в обобщении Гильберта контур $\Sigma$ было просто. Полная задача Римана – Гильберта допускает, что контур может состоять из объединения нескольких ориентированных гладких кривых без пересечений. Стороны «+» и «-» «контура» затем могут быть определены в соответствии с индексом точки относительно $\Sigma$. Задача Римана–Гильберта состоит в нахождении пары аналитических функций. $M_{+}(t)$ и $M_{-}(t)$ со стороны «+» и «-» $\Sigma$соответственно, такой, что для $t\in \Sigma$ у одного есть

$\alpha (t)M_{+}(t)+\beta (z)M_{-}(t)=\gamma (t).$

где $\alpha (t)$, $\beta (t)$ и $\gamma (t)$ заданы комплекснозначные функции.

Матричные задачи Римана–Гильберта

Учитывая ориентированный контур $\Sigma$ (технически: ориентированное объединение гладких кривых без точек бесконечного самопересечения в комплексной плоскости), проблема факторизации Римана – Гильберта заключается в следующем.

Дана матричная функция $G(t)$ определяется по контуру $\Sigma$, найдите голоморфную матричную функцию $M(z)$ определяется дополнением $\Sigma$, такой, что выполняются следующие два условия

1. Если $M_{+}$ и $M_{-}$ обозначают некасательные пределы $M$ по мере нашего приближения $\Sigma$, затем $M_{+}(t)=G(t)M_{-}(t)$, во всех точках непересечения в $\Sigma$.
2. $M(z)$ стремится к единичной матрице $I_{N}$ как $z\to \infty$ в любом направлении снаружи $\Sigma$.

В самом простом случае $G(t)$ является гладким и интегрируемым. В более сложных случаях оно может иметь особенности. Пределы $M_{+}$ и $M_{-}$ могли быть классическими и непрерывными, или они могли быть взяты в $L^{2}$-смысл . В конечных точках или точках пересечения контура $\Sigma$, условие перехода не определено; ограничения на рост $M$ вблизи этих точек необходимо поставить задачу для обеспечения уникальности (см. скалярную задачу ниже).

Пример: скалярная задача факторизации Римана – Гильберта.

Предполагать $G=2$ и $\Sigma =[-1,1]$. Предполагая $M$ ограничено, каково решение $M$?

Чтобы решить эту задачу, давайте прологарифмируем уравнение $M_{+}=GM_{-}$.

$\log M_{+}(z)=\log M_{-}(z)+\log 2.$

С $M(z)$ имеет тенденцию $1$, $\log M\to 0$ как $z\to \infty$.

Стандартный факт о преобразовании Коши заключается в том, что $C_{+}-C_{-}=I$ где $C_{+}$ и $C_{-}$ являются пределами преобразования Коши сверху и снизу $\Sigma$; следовательно, мы получаем

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{+}}{\frac {\log 2}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{-}}{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}\,d\zeta =\log 2$

когда $z\in \Sigma$. Поскольку решение проблемы факторизации Римана-Гильберта уникально (простое применение теоремы Лиувилля (комплексный анализ) ), теорема Сохоцкого-Племеля дает решение. Мы получаем

$\log M={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma }{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\int _{-1-z}^{1-z}{\frac {1}{\zeta }}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\log {\frac {z-1}{z+1}},$

и поэтому

$M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}},$

у которого есть срезанная по контуру ветка $\Sigma$.

Проверять:

${\begin{aligned}M_{+}(0)&=(e^{i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{\frac {\log 2}{2}}\\M_{-}(0)&=(e^{-i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{-{\frac {\log 2}{2}}}\end{aligned}}$

поэтому,

$M_{+}(0)=M_{-}(0)e^{\log {2}}=M_{-}(0)2.$

ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ 1. Если задача не является скалярной, невозможно легко взять логарифмы. В целом явные решения встречаются очень редко.

ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ 2: Ограниченность (или, по крайней мере, ограничение на разрушение) $M$ возле особых точек $1$ и $-1$ имеет решающее значение. В противном случае любая функция вида

$M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}}+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z+1}}$

это тоже решение. В общем случае условия роста необходимы в особых точках (концах контура скачка или точке пересечения), чтобы обеспечить корректность задачи.

Обобщения

проблема с БДАР

Основная статья: Проблема DBAR

Предполагать $D$ некоторая односвязная область комплекса — это $z$ самолет . Тогда скалярное уравнение

${\frac {\partial M(z,{\bar {z}})}{\partial {\bar {z}}}}=f(z,{\bar {z}}),\quad z\in D,$

является обобщением проблемы Римана-Гильберта, называемой проблемой DBAR (или ${\overline {\partial }}$ проблема ). Это комплексная форма неоднородных уравнений Коши-Римана . Чтобы показать это, позвольте

$M=u+iv,\quad f={\frac {g+ih}{2}},\quad z=x+iy,$

с $u(x,y)$, $v(x,y)$, $g(x,y)$ и $h(x,y)$ все вещественные функции действительных переменных $x$ и $y$. Затем, используя

${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$

проблема DBAR дает

${\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=g(x,y),\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=h(x,y).$

Таким образом, если $M$ голоморфен для $z\in D$, то должны выполняться уравнения Коши-Римана.

В случае $M\to 1$ как $z\to \infty$ и $D:=\mathbb {C}$, решение проблемы DBAR есть

$M(z,{\bar {z}})=1+{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {f(\zeta ,{\bar {\zeta }})}{\zeta -z}}\,d\zeta \wedge d{\bar {\zeta }},$

интегрировано по всей комплексной плоскости; обозначается $\mathbb {R} ^{2}$, и где произведение клина определяется как

$d\zeta \wedge d{\bar {\zeta }}=(d\xi +id\eta )\wedge (d\xi -id\eta )=-2id\xi d\eta .$

Обобщенные аналитические функции

Если функция $M(z)$ голоморфен в некоторой комплексной области $R$, затем

${\frac {\partial M}{\partial {\bar {z}}}}=0,$

в $R$. Для обобщенных аналитических функций это уравнение заменяется на

${\frac {\partial M}{\partial {\bar {z}}}}=A(z,{\bar {z}})M+B(z,{\bar {z}}){\overline {M}},$

в регионе $R$, где ${\overline {M}}$ представляет собой комплексное сопряжение $M$ и $A(z,{\bar {z}})$ и $B(z,{\bar {z}})$ являются функциями $z$ и ${\bar {z}}$.

Обобщенные аналитические функции имеют приложения в дифференциальной геометрии , при решении определенного типа многомерных нелинейных уравнений в частных производных и многомерного обратного рассеяния .

Приложения к теории интегрируемости

Проблемы Римана–Гильберта имеют приложения к нескольким смежным классам задач.

А. Интегрируемые модели

Обратная задача рассеяния или обратная спектральная задача, связанная с задачами Коши для 1+1-мерных уравнений в частных производных на прямой, или с периодическими задачами, или даже с начально-краевыми задачами ( Фокас (2002) ), может быть сформулирована как задача Римана – Проблема Гильберта. Аналогично, обратную задачу монодромии для уравнений Пенлеве можно сформулировать как задачу Римана–Гильберта.

Б. Ортогональные полиномы , Случайные матрицы

Учитывая вес на контуре, соответствующие ортогональные полиномы можно вычислить с помощью решения задачи факторизации Римана – Гильберта ( Фокас, Итс и Китаев (1992) ). Более того, распределение собственных значений случайных матриц в нескольких классических ансамблях сводится к вычислениям с использованием ортогональных полиномов (см., например, Deift (2000) ).

C. Комбинаторная вероятность

Самым знаменитым примером является теорема Байка, Дейфта и Йоханссона (1999) о распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Вместе с исследованием B, приведенным выше, это одно из оригинальных строгих исследований так называемой «интегрируемой вероятности». Но связь между теорией интегрируемости и различными классическими ансамблями случайных матриц восходит к работам Дайсона (см., например, Дайсон (1976) ).

D. Связь с теорией Дональдсона-Томаса

Работа Бриджленда Бриджленда (2019) изучает класс задач Римана-Гильберта, вытекающих из теории Дональдсона-Томаса, и устанавливает связи с теорией Громова-Виттена и точным ВКБ .

Численный анализ задач Римана–Гильберта может обеспечить эффективный способ численного решения интегрируемых УЧП (см., например, Трогдон и Олвер (2016) ).

Использование для асимптотики

В частности, задачи факторизации Римана–Гильберта используются для извлечения асимптотических значений для трех вышеуказанных задач (скажем, когда время стремится к бесконечности, или когда коэффициент дисперсии стремится к нулю, или когда степень полинома стремится к бесконечности, или когда размер перестановка стремится к бесконечности). Существует метод выделения асимптотического поведения решений задач Римана–Гильберта, аналогичный методу стационарной фазы и методу наискорейшего спуска, применимому к экспоненциальным интегралам.

По аналогии с классическими асимптотическими методами «деформируются» проблемы Римана–Гильберта, которые не являются явно разрешимыми, в проблемы, которые разрешены явно. Так называемый «нелинейный» метод стационарной фазы предложен Дейфтом и Чжоу (1993) , развивая предыдущую идею Итса (1982) и Манакова (1974) и используя технические результаты из Билса и Койфмана (1984) и Чжоу. (1989) . Важнейшим компонентом анализа Дейфта – Чжоу является асимптотический анализ сингулярных интегралов на контурах. Соответствующим ядром является стандартное ядро ​​Коши (см. Гахов (2001) ; также см. скалярный пример ниже).

так называемого преобразования g-функции с конечной щелью Существенным расширением нелинейного метода стационарной фазы стало введение Дейфтом, Венакидесом и Чжоу (1997) , которое имело решающее значение в большинстве приложений. Это было вдохновлено работой Лакса, Левермора и Венакидеса, которые свели анализ предела малой дисперсии уравнения КдФ к анализу задачи максимизации логарифмического потенциала в некотором внешнем поле: вариационной задачи «электростатического» типа ( см. Lax & Levermore (1983) ). g-функция представляет собой логарифмическое преобразование максимизирующей «равновесной» меры. Анализ предела малой дисперсии уравнения КдВ фактически послужил основой для анализа большинства работ, касающихся «реальных» ортогональных полиномов (т.е. с условием ортогональности, заданным на вещественной прямой) и эрмитовых случайных матриц.

Возможно, наиболее сложное расширение теории до сих пор применялось к «несамосопряженному» случаю, т.е. когда основной оператор Лакса (первый компонент пары Лакса ) не является самосопряженным , Камвиссисом, Маклафлином и Миллер (2003) . В этом случае определяются и рассчитываются фактические «контуры наикрутейшего спуска». Соответствующая вариационная задача представляет собой задачу максимизации: ищут контур, который минимизирует «равновесную» меру. Исследование вариационной задачи и доказательство существования регулярного решения при некоторых условиях на внешнее поле было сделано в Камвиссисе и Рахманове (2005) ; возникающий контур представляет собой «S-образную кривую», определенную и изученную в 1980-х годах Гербертом Р. Сталем, Андреем А. Гончаром и Евгением А. Рахмановым.

Альтернативный асимптотический анализ задач факторизации Римана – Гильберта представлен в McLaughlin & Miller (2006) , что особенно удобно, когда матрицы скачков не имеют аналитических расширений. Их метод основан на анализе задач d-бара, а не на асимптотическом анализе сингулярных интегралов на контурах. Альтернативный способ работы с матрицами скачка без аналитических расширений был предложен Варзугиным (1996) .

Другое расширение теории появляется в работе Камвиссиса и Тешля (2012) , где основным пространством проблемы Римана–Гильберта является компактная гиперэллиптическая риманова поверхность . Правильная проблема факторизации не более голоморфна, а скорее мероморфна в силу теоремы Римана-Роха . Соответствующее сингулярное ядро ​​— это не обычное ядро ​​Коши, а скорее более общее ядро, включающее мероморфные дифференциалы, естественным образом определенные на поверхности (см., например, приложение в Kamvissis & Teschl (2012) ). Теория деформации задачи Римана–Гильберта применяется к проблеме устойчивости бесконечной периодической решетки Тоды при «близкодействующем» возмущении (например, возмущении конечного числа частиц).

Большинство задач факторизации Римана–Гильберта, изучаемых в литературе, являются двумерными, т. е. неизвестные матрицы имеют размерность 2. Проблемы более высокой размерности изучались Арно Куйлаарсом и его сотрудниками, см., например, Kuijlaars & López (2015) .

См. также

• Соответствие Римана – Гильберта
• Метод Винера-Хопфа

Ссылки

• Абловиц, Марк Дж.; Фокас, А.С. (2003). Комплексные переменные . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-53429-1 .
• Байк, Дж.; Дейфт, П.; Йоханссон, К. (1999), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок» , Журнал Американского математического общества , 12 (4): 1119–1178, doi : 10.1090/S0894-0347-99 -00307-0 .
• Билс, Р.; Койфман, Р.Р. (1984), «Рассеяние и обратное рассеяние для систем первого порядка», Communications on Pure and Applied Mathematics , 37 : 39–90, doi : 10.1002/cpa.3160370105 .
• Бицадзе, А.В. (2001) [1994], "Краевые задачи аналитической теории функций" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бриджленд, Т. (2019), «Задачи Римана–Гильберта из теории Дональдсона–Томаса», Inventiones Mathematicae , 216 (1): 69–124, arXiv : 1611.03697 , Bibcode : 2019InMat.216...69B , doi : 10.1007/s00222-018-0843-8 .
• Кланси, К.; Гоберг, И. (1981), Факторизация матриц-функций и сингулярных интегральных операторов , Oper. Теория: Достижения и приложения, вып. 3, Базель-Бостон-Штутгарт: Birkhäuser Verlag .
• Дейфт, Перси А. (2000), Ортогональные полиномы и случайные матрицы , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2695-9 .
• Дейфт, Перси; Венакидес, С.; Чжоу, X. (1997), Новые результаты в области малой дисперсии KdV путем расширения метода наискорейшего спуска для задач Римана – Гильберта , Международные уведомления о математических исследованиях, стр. 286–299 .
• Дейт, Перси ; Чжоу, X. (1993), «Метод наискорейшего спуска для колебательных задач Римана – Гильберта; асимптотика для уравнения MKdV», Annals of Mathematics , Second Series, 137 (2): 295–368, arXiv : math/9201261 , doi : 10.2307/2946540 , JSTOR   2946540 , S2CID   12699956 .
• Дайсон, Фриман (1976), «Определители Фредгольма и обратные задачи рассеяния» , Communications in Mathematical Physics , 47 (3): 171–183, Бибкод : 1976CMaPh..47..171D , doi : 10.1007/BF01608375 , S2CID   122511904 .
• Фокас, А.С. (2002), «Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения на полупрямой», Communications in Mathematical Physics , 230 (1): 1–39, Bibcode : 2002CMaPh.230....1F , doi : 10.1007/s00220- 002-0681-8 , С2КИД   118630271 .
• Фокас, А.С.; Это, АР; Китаев, А.В. (1992), «Изомонодромный подход к матричным моделям в двумерной квантовой гравитации», Communications in Mathematical Physics , 147 (2): 395–430, Bibcode : 1992CMaPh.147..395F , doi : 10.1007/BF02096594 , S2CID   118343085 .
• Гахов, Ф.Д. (2001) [1994], «Проблема Римана–Гильберта» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Химшиашвили, Г. (2001) [1994], «Факторизация Биркгофа» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Итс, А.Р. (1982), "Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений", Советская математика - Доклады , 24 (3): 14–18 .
• Its, AR (2003), «Проблема Римана–Гильберта и интегрируемые системы» (PDF) , Уведомления AMS , 50 (11): 1389–1400 .
• Камвиссис, С.; Маклафлин, К.; Миллер, П. (2003), Квазиклассические солитонные ансамбли для фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера , Annals of Mathematics Study, vol. 154, Принстон: Издательство Принстонского университета .
• Камвиссис, С.; Рахманов, Е.А. (2005), «Существование и регулярность задачи максимизации энергии в двух измерениях», Журнал математической физики , 46 (8): 083505, arXiv : 0907.5571 , Bibcode : 2005JMP....46h3505K , doi : 10.1063/1.1985069 , S2CID   17284652 .
• Камвиссис, С.; Тешль, Г. (2012), «Долговременная асимптотика периодической решетки Тоды при короткодействующих возмущениях», J. Math. Физ. , 53 (7): 073706, arXiv : 0705.0346 , Bibcode : 2012JMP....53g3706K , doi : 10.1063/1.4731768 , S2CID   2579238 .
• Куйлаарс, Арно; Лопес, Абей (2015), «Векторная задача равновесия для модели нормальной матрицы и множественные ортогональные полиномы на звезде», Nonlinearity , 28 (2): 347–406, arXiv : 1401.2419 , Bibcode : 2015Nonli..28.. 347К , дои : 10.1088/0951-7715/28/2/347 , S2CID   119171871 .
• Лакс, Питер Д .; Левермор, CD (1983), «Предел нулевой дисперсии для уравнения КдВ I-III», Communications on Pure and Applied Mathematics , 36 (3): 253–290, 571–593, 809–829, doi : 10.1002/cpa .3160360302 .
• Манаков С.В. (1974), "Нелинейная дифракция Фраунгофера", Сов. Физ. ЖЭТФ , 38 : 693–696, Бибкод : 1974ЖЭТФ...38..693М .
• Маклафлин, К.; Миллер, П. (2006), «Метод наискорейшего спуска d-бара и асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на единичной окружности с фиксированными и экспоненциально изменяющимися неаналитическими весами», IMRP : 1–77 .
• Ноубл, Бен (1958). Методы решения уравнений в частных производных, основанные на методе Винера-Хопфа . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис США. ISBN  978-0-8284-0332-0 .
• Панди, Дж. Н. (1996), Преобразование Гильберта распределений Шварца и приложений , Wiley-Interscience .
• Варзугин, Г.Г. (1996), «Асимптотика колебательных задач Римана-Гильберта», Журнал математической физики , 37 (11): 5869–5892, Бибкод : 1996JMP....37.5869V , doi : 10.1063/1.531706
• Векуа, Индиана (2014). Обобщенные аналитические функции . Мартино. ISBN  978-1-61427-611-1 .
• Трогдон, Томас; Олвер, Шихан (2016), Проблемы Римана–Гильберта, их численное решение и вычисление нелинейных специальных функций , SIAM .
• Чжоу, Синь (1989), «Проблема Римана – Гильберта и обратное рассеяние», SIAM J. Math. Анальный. , 20 (4): 966–986, doi : 10.1137/0520065 .