Теорема Сохоцкого–Племеля.

Теорема Сохоцкого-Племеля (по-польски Sochocki ) — теорема комплексного анализа , которая помогает в вычислении некоторых интегралов. Его реальная версия ( см. ниже ) часто используется в физике, хотя редко упоминается по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого , который доказал ее в 1868 году, и Иосипа Племеля , который заново открыл ее как основной ингредиент своего решения проблемы Римана-Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C — гладкая замкнутая простая кривая на плоскости и $\varphi$ аналитическая функция на C . Заметим, что интеграл типа Коши

\phi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},

не может быть вычислено ни для какого на кривой C. z Однако внутри и снаружи кривой интеграл дает аналитические функции, которые будут обозначаться $\phi _{i}$ внутри C и $\phi _{e}$ снаружи. Формулы Сохоцкого–Племеля связывают предельные граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение Коши ${\mathcal {P}}$ интеграла:

\lim _{w\to z}\phi _{i}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),

\lim _{w\to z}\phi _{e}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

Последующие обобщения ослабляют требования гладкости к кривой C и функции φ .

Версия для реальной линии

Особенно важен вариант для интегралов по прямой.

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\mp i\pi \delta (x)+{\mathcal {P}}{{\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}}.

где $\delta (x)$ - дельта-функция Дирака , где ${\mathcal {P}}$ обозначает главное значение Коши . Из разницы этих двух равенств можно получить

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[{\frac {1}{x-i\varepsilon }}-{\frac {1}{x+i\varepsilon }}\right]=2\pi i\delta (x).

Эти формулы следует интерпретировать как интегральные равенства следующим образом: пусть $f$ — комплексная -значная функция, определенная и непрерывная на вещественной прямой, и пусть $a$ и $b$ — вещественные константы с $a<0<b$ . Затем

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx

и

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)}{x-i\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{x+i\varepsilon }}\right]\,dx=2\pi if(0)

Обратите внимание, что эта версия не использует аналитичность.

Доказательство реальной версии

Простое доказательство состоит в следующем.

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.

Для первого члена отметим, что ε ⁄ $π$ ( х ² + е ²) является зарождающейся дельта-функцией и, следовательно, приближается к дельта-функции Дирака в пределе . Следовательно, первый член равен ∓ i $π$ f (0).

Для второго члена заметим, что множитель х ²⁄ ( х ² + е ²) приближается к 1 для | х | ≫ ε приближается к 0 для | х | ≪ ε и точно симметричен относительно 0. Поэтому в пределе он превращает интеграл в интеграл главного значения Коши .

Приложение по физике

В квантовой механике и квантовой теории поля часто приходится вычислять интегралы вида

\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt)

где E — некоторая энергия, а t — время. Это выражение в том виде, в каком оно написано, является неопределенным (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно модифицируют путем добавления отрицательного вещественного члена к -iEt в экспоненте, а затем приравнивания его к нулю, т.е.:

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)=-i\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

где на последнем этапе используется реальная версия теоремы.

Функция Гейтлера

В теоретической квантовой оптике для вывода главного уравнения в форме Линдблада часто требуется следующая интегральная функция: ^{[ 1 ]} которая является прямым следствием теоремы Сохоцкого–Племеля и часто называется функцией Гейтлера :

\int _{0}^{\infty }d\tau \,\exp(-i(\omega \pm \nu )\tau )=\pi \delta (\omega \pm \nu )-i{\mathcal {P}}{\Big (}{\frac {1}{\omega \pm \nu }}{\Big )}

См. также

Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых (учет теоремы Сохоцкого–Племеля для единичной окружности и замкнутой жордановой кривой)
Отношения Крамерса – Кронига
Преобразование Гильберта

Ссылки

^ Брейер, Хайнц-Петер; Петруччионе, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. п. 145. дои : 10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001 . ISBN 978-0-19-852063-4 .

Литература

Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-55001-7 . Глава 3.1.
Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1 . Приложение А, уравнение (П.19).
Хенрици, Питер (1986). Прикладной и вычислительный комплексный анализ. 3 . Уилли, Джон и сыновья, Inc.
Племель, Иосип (1964). Проблемы в смысле Римана и Клейна . Нью-Йорк: Издательство Interscience.
Гахов Ф.Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Мусхелишвили, Н. И. (1949). Сингулярные интегральные уравнения, краевые задачи теории функций и их приложение к математической физике . Мельбурн: Департамент снабжения и развития, лаборатории авиационных исследований.
Бланшар, Брюнинг: Математические методы в физике (Биркхаузер 2003), пример 3.3.1 4
Сохоцкий Ю.В. (1873). Об определенных интегралах и функциях, используемых при разложении в ряд . Санкт-Петербург. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1] Брейер, Хайнц-Петер; Петруччионе, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. п. 145. дои : 10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001 . ISBN 978-0-19-852063-4 .

[ 1 ]