Теория Дональдсона-Томаса

В математике, особенно в алгебраической геометрии , теория Дональдсона-Томаса представляет собой теорию инвариантов Дональдсона-Томаса . Учитывая компактное пространство модулей в пучков трехмерном многообразии Калаби–Яу , его инвариант Дональдсона–Томаса представляет собой виртуальное число его точек, т. е. интеграл класса когомологий 1 против виртуального фундаментального класса . Инвариант Дональдсона–Томаса является голоморфным аналогом инварианта Кассона . Инварианты были введены Саймоном Дональдсоном и Ричардом Томасом ( 1998 ). Инварианты Дональдсона–Томаса тесно связаны с инвариантами Громова–Виттена алгебраических трехмерных многообразий и теорией стабильных пар Рахула Пандхарипанде и Томаса.

Теория Дональдсона-Томаса физически мотивирована определенными состояниями BPS , которые возникают в теории струн и калибровочной теории. ^{[ 1 ]}^{стр. 5}. Это связано с тем, что инварианты зависят от условия устойчивости производной категории. $D^{b}({\mathcal {M}})$ изучаемых пространств модулей. По сути, эти условия устойчивости соответствуют точкам в кэлеровом пространстве модулей многообразия Калаби-Яу, рассматриваемого в зеркальной симметрии , и результирующей подкатегории ${\mathcal {P}}\subset D^{b}({\mathcal {M}})$ — категория состояний BPS для соответствующего SCFT .

Определение и примеры

Основная идея инвариантов Громова – Виттена состоит в том, чтобы исследовать геометрию пространства путем изучения псевдоголоморфных отображений римановых поверхностей в гладкую мишень. Стек модулей всех таких карт допускает виртуальный фундаментальный класс, и теория пересечений в этом стеке дает числовые инварианты, которые часто могут содержать перечислительную информацию. Подобным же образом подход теории Дональдсона-Томаса заключается в изучении кривых в алгебраическом тройном многообразии с помощью их уравнений. Точнее, изучая идеальные пучки на пространстве. Это пространство модулей также допускает виртуальный фундаментальный класс и дает определенные числовые инварианты, которые являются перечислительными.

В то время как в теории Громова-Виттена карты могут быть множественными покрытиями и схлопнутыми компонентами кривой области, теория Дональдсона-Томаса допускает нильпотентную информацию, содержащуюся в пучках, однако это целочисленные инварианты. Существуют глубокие гипотезы, выдвинутые Давешем Мауликом , Андреем Окуньковым , Никитой Некрасовым и Рахулом Пандхарипанде , которые доказали все большую общность, что теории Громова-Виттена и Дональдсона-Томаса алгебраических трехмерных многообразий на самом деле эквивалентны. ^{[ 2 ]} Более конкретно, их производящие функции после соответствующей замены переменных равны. Для трехмерных многообразий Калаби–Яу инварианты Дональдсона–Томаса можно сформулировать как взвешенную эйлерову характеристику в пространстве модулей. Недавно также были обнаружены связи между этими инвариантами, мотивной алгеброй Холла и кольцом функций на квантовом торе. ^{[ нужны разъяснения ]}

Пространство модулей прямых на тройном многообразии квинтики представляет собой дискретный набор из 2875 точек. Виртуальное количество точек — это фактическое количество точек, и, следовательно, инвариант Дональдсона–Томаса этого пространства модулей — это целое число 2875.
Аналогично, инвариант Дональдсона – Томаса пространства модулей коник квинтики равен 609250.

Определение

Для троекратного Калаби-Яу $Y$ ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} и фиксированный класс когомологий $\alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )$ существует связанный стек модулей ${\mathcal {M}}(Y,\alpha )$ когерентных пучков с характером Черня $c({\mathcal {E}})=\alpha$ . В общем случае это неразделенный стек Артина бесконечного типа, для которого сложно определить числовые инварианты. Вместо этого есть открытые подстеки ${\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )$ параметризация таких когерентных пучков ${\mathcal {E}}$ которые имеют условие устойчивости $\sigma$ навязанные им, т.е. $\sigma$ -стабильные шкивы. Эти стеки модулей обладают гораздо более приятными свойствами, например, разделением конечного типа. Единственная техническая трудность состоит в том, что они могут иметь неприятные особенности из-за наличия препятствий деформациям неподвижного связки. В частности

${\begin{aligned}T_{[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ))&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}$

Теперь, потому что $Y$ является Калаби-Яу, из двойственности Серра следует

${\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\otimes \omega _{Y})^{\vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }$

что дает совершенную теорию препятствий размерности 0. В частности, из этого следует соответствующий виртуальный фундаментальный класс

$[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )$

находится в гомологической степени $0$ . Тогда мы можем определить DT-инвариант как

$\int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1$

которая зависит от условия устойчивости $\sigma$ и класс когомологий $\alpha$ . Томасом было доказано, что для гладкой семьи $Y_{t}$ определенный выше инвариант не меняется. Вначале исследователи выбрали условие устойчивости Гизекера, но в последние годы другие DT-инварианты изучались на основе других условий устойчивости, что привело к формулам пересечения стенок. ^{[ 5 ]}

Факты

Дональдсона–Томаса пространства модулей M равен взвешенной эйлеровой характеристике M Инвариант . Весовая функция сопоставляет каждой точке из M аналог числа Милнора особенности гиперплоскости.

Обобщения

Вместо пространств модулей пучков рассматриваются пространства модулей объектов производных категорий . Это дает инварианты Пандхарипанде–Томаса , которые считают стабильные пары трехмерного многообразия Калаби–Яу.
Вместо целочисленных инвариантов рассматриваются мотивные инварианты.

См. также

Ссылки

^ Бриджленд, Том (8 февраля 2006 г.). «Условия устойчивости на триангулированных категориях». arXiv : math/0212237 .
^ Маулик, Д.; Некрасов Н.; Окуньков А.; Пандхарипанде, Р. (2006). «Теория Громова – Виттена и теория Дональдсона – Томаса, I». Математическая композиция . 142 (5): 1263–1285. arXiv : math/0312059 . дои : 10.1112/S0010437X06002302 . S2CID 5760317 .
^ Сзендрой, Балаж (2016). «Когомологическая теория Дональдсона – Томаса». Струнно-математика 2014 . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 93. Американское математическое общество. стр. 363–396. arXiv : 1503.07349 . doi : 10.1090/pspum/093/01589 (неактивен 23 июня 2024 г.). ISBN 978-1-4704-1992-9 . МР 3526001 . {{cite conference}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июнь 2024 г. ( ссылка )
^ Томас, РП (2000). «Голоморфный инвариант Кэссона для трехмерных многообразий Калаби-Яу и расслоений на расслоениях $K3$» . Журнал дифференциальной геометрии . 54 (2): 367–438. arXiv : математика/9806111 . дои : 10.4310/jdg/1214341649 . МР 1818182 .
^ Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (16 ноября 2008 г.). «Структуры устойчивости, мотивные инварианты Дональдсона-Томаса и кластерные преобразования». arXiv : 0811.2435 [ math.AG ].

Дональдсон, Саймон К .; Томас, Ричард П. (1998), «Калибровочная теория в более высоких измерениях», в Хаггетте, ЮАР; Мейсон, LJ; Тод, КП; Цоу, СТ; Вудхаус, NMJ (ред.), Геометрическая вселенная (Оксфорд, 1996) , Oxford University Press , стр. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9 , МР 1634503
Концевич, Максим (2007), Инварианты Дональдсона – Томаса (PDF) , Математическая мастерская, Бонн {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1] Бриджленд, Том (8 февраля 2006 г.). «Условия устойчивости на триангулированных категориях». arXiv : math/0212237 .

[2] Маулик, Д.; Некрасов Н.; Окуньков А.; Пандхарипанде, Р. (2006). «Теория Громова – Виттена и теория Дональдсона – Томаса, I». Математическая композиция . 142 (5): 1263–1285. arXiv : math/0312059 . дои : 10.1112/S0010437X06002302 . S2CID 5760317 .

[3] Сзендрой, Балаж (2016). «Когомологическая теория Дональдсона – Томаса». Струнно-математика 2014 . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 93. Американское математическое общество. стр. 363–396. arXiv : 1503.07349 . doi : 10.1090/pspum/093/01589 (неактивен 23 июня 2024 г.). ISBN 978-1-4704-1992-9 . МР 3526001 . {{cite conference}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июнь 2024 г. ( ссылка )

[4] Томас, РП (2000). «Голоморфный инвариант Кэссона для трехмерных многообразий Калаби-Яу и расслоений на расслоениях $K3$» . Журнал дифференциальной геометрии . 54 (2): 367–438. arXiv : математика/9806111 . дои : 10.4310/jdg/1214341649 . МР 1818182 .

[5] Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (16 ноября 2008 г.). «Структуры устойчивости, мотивные инварианты Дональдсона-Томаса и кластерные преобразования». arXiv : 0811.2435 [ math.AG ].

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]