Квантовые когомологии

В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , квантовых когомологий кольцо расширением обычного кольца когомологий замкнутого является симплектического многообразия . Он поставляется в двух версиях: маленькой и большой ; как правило, последний сложнее и содержит больше информации, чем первый. В каждом случае выбор кольца коэффициентов (обычно кольца Новикова , описанного ниже) также существенно влияет на его структуру.

В то время как произведение чашек обычных когомологий описывает, как подмногообразия многообразия пересекаются друг с другом, произведение квантовых чашек квантовых когомологий описывает, как подпространства пересекаются «нечетким», «квантовым» способом. Точнее, они пересекаются, если соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми . Инварианты Громова–Виттена , которые учитывают эти кривые, появляются как коэффициенты в разложениях произведения квантовой чаши.

Поскольку квантовая когомология выражает структуру или образец инвариантов Громова–Виттена, она имеет важные последствия для перечислительной геометрии . Это также связано со многими идеями математической физики и зеркальной симметрии . В частности, оно кольцево изоморфно симплектическим гомологиям Флоера .

На протяжении всей статьи X — замкнутое симплектическое многообразие с симплектической формой ω.

Novikov ring

See also: Novikov ring

различные варианты выбора кольца коэффициентов для квантовых когомологий X. Возможны Обычно выбирают кольцо, которое кодирует информацию гомологии X. о второй позволяет продукту квантовой чашки, определенному ниже, записывать информацию о псевдоголоморфных кривых в X. Это Например, пусть

$H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion}$

быть второй гомологией модулю кручения по . Пусть R — любое коммутативное кольцо с единицей, а Λ — кольцо формальных степенных рядов вида

$\lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},$

где

• коэффициенты $\lambda _{A}$ родом из Р ,
• тот $e^{A}$ являются формальными переменными, подчиняющимися соотношению $e^{A}e^{B}=e^{A+B}$,
• для каждого действительного числа C только конечное число A с ω( A ) меньшим или равным C имеет ненулевые коэффициенты $\lambda _{A}$.

Переменная $e^{A}$ считается имеющим степень $2c_{1}(A)$, где $c_{1}$ является первым классом Чженя касательного расслоения TX , рассматриваемого как комплексное векторное расслоение путем выбора любой почти комплексной структуры, совместимой с ω. Таким образом, Λ — градуированное кольцо, называемое кольцом Новикова для ω. (Альтернативные определения распространены.)

Малые квантовые когомологии

Позволять

$H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion}$

— когомологии X по модулю кручения. Определим малые квантовые когомологии с коэффициентами из Λ как

$QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .$

Его элементы представляют собой конечные суммы вида

$\sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.$

Малые квантовые когомологии представляют собой градуированный R -модуль с

$\deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).$

Обыкновенные когомологии H *( X ) вкладываются в QH *( X , Λ) посредством $a\mapsto a\otimes 1$, а QH *( X , Λ) порождается как Λ-модуль H *( X ).

Для любых двух классов когомологий a , b в H *( X ) чистой степени и для любого A в $H_{2}(X)$определим ( a ∗ b ) _A как единственный элемент H *( X ) такой, что

$\int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).$

(Правая часть представляет собой 3-точечный инвариант Громова – Виттена рода 0.) Затем определим

$a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.$

По линейности это распространяется на корректно определенное Λ-билинейное отображение

$QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )$

называется продуктом «малая квантовая чашка» .

Геометрическая интерпретация

Единственными псевдоголоморфными кривыми в классе A = 0 являются постоянные отображения, образами которых являются точки. Отсюда следует, что

$GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;$

другими словами,

$(a*b)_{0}=a\smile b.$

Таким образом, продукт квантовой чашки содержит обычный продукт чашки; расширяет обычный стаканчик до ненулевых классов A. он

В общем, двойственный Пуанкаре к ( a ∗ b ) _A соответствует пространству псевдоголоморфных кривых класса A, проходящих через двойственные Пуанкаре к a и b . Таким образом, в то время как обычные когомологии считают, что a и b пересекаются только тогда, когда они встречаются в одной или нескольких точках, квантовые когомологии фиксируют ненулевое пересечение для a и b всякий раз, когда они соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми. Кольцо Новикова просто обеспечивает достаточно большую систему учета, чтобы записывать информацию о пересечении для всех A. классов

Пример

Пусть X — комплексная проективная плоскость со стандартной симплектической формой (соответствующей метрике Фубини–Студи ) и комплексной структурой. Позволять $\ell \in H^{2}(X)$ быть двойственным Пуанкаре прямой L . Затем

$H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.$

Единственными ненулевыми инвариантами Громова–Виттена являются инварианты класса A = 0 или A = L . Оказывается,

$\int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)$

и

$\int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),$

где δ — дельта Кронекера . Поэтому,

$\ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},$

$\ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.$

В этом случае удобно переименовать $e^{L}$ в качестве q и используйте более простое кольцо коэффициентов Z [ q ]. Это q имеет степень $6=2c_{1}(L)$. Затем

$QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).$

Свойства продукта из маленькой квантовой чашки

Для a , b чистой степени,

$\deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)$

и

$b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.$

Произведение малых квантовых чашек дистрибутивно и Λ-билинейно. Элемент идентификации $1\in H^{0}(X)$ также является единичным элементом для малых квантовых когомологий.

Маленькое произведение квантовой чашки также ассоциативно . Это следствие закона склейки инвариантов Громова–Виттена, сложный технический результат. Это равносильно тому, что потенциал Громова–Виттена ( производящая функция для инвариантов Громова–Виттена рода 0) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению третьего порядка, известному как уравнение ВДВВ .

Пара пересечений

$QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R$

определяется

$\left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.$

(Индексы 0 обозначают коэффициент A = 0.) Это спаривание удовлетворяет свойству ассоциативности.

$\langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .$

Дубровинская связь

Когда базовым кольцом R является C , можно рассматривать равномерно градуированную часть H векторного пространства QH *( X , Λ) как комплексное многообразие. Небольшое произведение квантовой чашки ограничивается четко определенным коммутативным произведением на H . При мягких предположениях H с парой пересечений $\langle ,\rangle$ тогда является алгеброй Фробениуса .

Произведение квантовой чашки можно рассматривать как связность на касательном расслоении TH , называемую связностью Дубровина . Тогда коммутативность и ассоциативность произведения квантовой чашки соответствуют условиям нулевого кручения и нулевой кривизны в этой связи.

Большие квантовые когомологии

Существует окрестность U точки 0 ∈ H такая, что $\langle ,\rangle$ и связность Дубровина придают U структуру многообразия Фробениуса . Любой a в U определяет произведение квантовой чашки.

$*_{a}:H\otimes H\to H$

по формуле

$\langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).$

В совокупности эти произведения на H называются большими квантовыми когомологиями . Из него восстанавливаются все инварианты Громова – Виттена рода 0; в общем, то же самое нельзя сказать о более простых малых квантовых когомологиях.

Малые квантовые когомологии содержат информацию только о 3-точечных инвариантах Громова–Виттена, но большие квантовые когомологии имеют все (n ⩾ 4) n-точечные инварианты Громова–Виттена. Чтобы получить перечислительную геометрическую информацию для некоторых многообразий, нам необходимо использовать большие квантовые когомологии. Малые квантовые когомологии будут соответствовать 3-точечным корреляционным функциям в физике, тогда как большие квантовые когомологии будут соответствовать всем n-точечным корреляционным функциям.

Ссылки

• Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN   0-8218-3485-1 .
• Фултон, В; Пандхарипанде, Р. (1996). «Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях». arXiv : alg-geom/9608011 .
• Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Матиас (1996). Симплектическая теория Флоера–Дональдсона и квантовые когомологии. В CB Thomas (ред.), Контактная и симплектическая геометрия , стр. 171–200. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-57086-7