Novikov ring

В математике дана аддитивная подгруппа $\Gamma \subset \mathbb {R}$ , the Novikov ring $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ из $\Gamma$ является подкольцом $\mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]$ ^[1] состоящая из формальных сумм $\sum n_{\gamma _{i}}t^{\gamma _{i}}$ такой, что $\gamma _{1}>\gamma _{2}>\cdots$ и $\gamma _{i}\to -\infty$ . Это понятие было введено Сергеем Новиковым в работах, положивших начало обобщению теории Морса с использованием вместо функции замкнутой формы. Это понятие используется в квантовых когомологиях , среди прочего, .

The Novikov ring $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ является областью главного идеала . Пусть S — подмножество $\mathbb {Z} [\Gamma ]$ состоящее из элементов со старшим членом 1. Поскольку элементы S являются единичными элементами $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ , локализация $\operatorname {Nov} (\Gamma )[S^{-1}]$ из $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ относительно S является подкольцом $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ называется «рациональной частью» $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ ; это также область главных идеалов .

Novikov numbers [ edit ]

Дана гладкая функция f на гладком многообразии. $M$ с невырожденными критическими точками обычная теория Морса строит комплекс свободной цепи $C_{*}(f)$ такой, что (целый) ранг $C_{p}$ — количество критических точек f индекса p (называемое числом Морса). Он вычисляет (интегральную гомологию ) $M$ (ср. гомологии Морса ):

H^{*}(C_{*}(f))\cong H^{*}(M,\mathbb {Z} )

По аналогии с этим можно определить «числа Новикова». Пусть X — связный многогранник с базовой точкой. Каждый класс когомологий $\xi \in H^{1}(X,\mathbb {R} )$ можно рассматривать как линейный функционал на первой группе гомологий $H_{1}(X,\mathbb {R} )$ ; в сочетании с гомоморфизмом Гуревича его можно рассматривать как групповой гомоморфизм. $\xi \colon \pi =\pi _{1}(X)\to \mathbb {R}$ . По свойству универсальности это отображение в свою очередь дает кольцевой гомоморфизм:

\phi _{\xi }\colon \mathbb {Z} [\pi ]\to \operatorname {Nov} =\operatorname {Nov} (\mathbb {R} )

,

изготовление $\operatorname {Nov}$ модуль над $\mathbb {Z} [\pi ]$ . Поскольку X — связный многогранник, локальная система коэффициентов над ним взаимно однозначно соответствует $\mathbb {Z} [\pi ]$ -модуль. Позволять $L_{\xi }$ — локальная система коэффициентов, соответствующая $\operatorname {Nov}$ со структурой модуля, заданной $\phi _{\xi }$ . Группа гомологии $H_{p}(X,L_{\xi })$ является конечно порожденным модулем над $\operatorname {Nov} ,$ который по структурной теореме является прямой суммой его свободной части и крутильной части. Ранг свободной части называется числом Новикова Бетти и обозначается $b_{p}(\xi )$ . Число циклических модулей в торсионной части обозначим через $q_{p}(\xi )$ . Если $\xi =0$ , $L_{\xi }$ тривиально и $b_{p}(0)$ обычное число Бетти для X. —

Аналог неравенств Морса справедлив и для чисел Новикова (см. пока ссылку).

Примечания [ править ]

^ Здесь, $\mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]$ — кольцо, состоящее из формальных сумм $\sum _{\gamma \in \Gamma }n_{\gamma }t^{\gamma }$ , $n_{\gamma }$ целые числа и t - формальная переменная, такая, что умножение является расширением умножения в целочисленном групповом кольце. $\mathbb {Z} [\Gamma ]$ .

Ссылки [ править ]

Фарбер, Майкл (2004). Топология замкнутых одноформ . Математические обзоры и монографии. Том. 108. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3531-9 . Збл 1052.58016 .
С. П. Новиков, Многозначные функции и функционалы: аналог теории Морса. Советская математика - Доклады 24 (1981), 222–226.
С. П. Новиков: Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Российские математические обзоры 35:5 (1982), 1–56.

Внешние ссылки [ править ]

Различные определения кольца Новикова?

[1] Здесь, $\mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]$ — кольцо, состоящее из формальных сумм $\sum _{\gamma \in \Gamma }n_{\gamma }t^{\gamma }$ , $n_{\gamma }$ целые числа и t - формальная переменная, такая, что умножение является расширением умножения в целочисленном групповом кольце. $\mathbb {Z} [\Gamma ]$ .

[1]